黑龙江省哈尔滨市第三中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学

哈三中2023—2024学年上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.2.双曲线的焦点坐标为（）A. B.C D.3.若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.4.若直线与直线平行，则的值为（）A.3 B. C.3或 D.25.如图，一抛物线型拱桥的拱顶比水面高2米，水面宽度米．水面下降1米后水面宽（）米A. B. C. D.6.已知双曲线，直线，若直线与双曲线两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.7.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（）A.1 B. C. D.8.已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆，圆，则（）A.圆与圆内切B.直线是两圆一条公切线C.直线被圆截得的最短弦长为D.过点作圆的切线有两条10.已知同时为椭圆与双曲线左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若则11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（）A.的最小值是6 B.若点，则的最小值是4C. D.若，则直线的斜率为12.已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程是C.直线与的斜率之积为4 D.若，则的面积为4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13.设点为圆上一点，则点到直线距离的最小值为______．14.已知椭圆的离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于______．15.已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．16.抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线．（1）若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率；（2）时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度．18.已知半径为4的圆与双曲线的渐近线相切，且圆心在轴正半轴上．（1）求圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线交圆于两点，若，求直线的方程．19.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．20.已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6．（1）求椭圆标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围．21.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点．22.有一个半径为的圆形纸片，设纸片上一定点到纸片圆心的距离为，将纸片折叠，使圆周上一点与点重合，以点所在的直线为轴，线段的中点为原点建立平面直角坐标系．记折痕与的交点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）为曲线上第一象限内的一点，过点作圆的两条切线，分别交轴于两点，且，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，直线与曲线交于两点，且直线的倾斜角互补，判断直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

哈三中2023—2024学年上学期高二学年期中考试数学试卷考试说明：（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线的准线方程即可求解.【详解】抛物线中，，所以，故抛物线的准线方程为，即，故选：C2.双曲线的焦点坐标为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将双曲线的方程化为标准方程判断焦点位置，写出焦点坐标即可.【详解】因为双曲线方程为，化为标准方程为：，所以，由于焦点在轴上，所以焦点坐标为：.故选：C.3.若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】由于点到点的距离比它到直线的距离小1，故点到点的距离比它到直线的距离相等，故点是在以为焦点，以为准线的抛物线上，故轨迹为，故选：A4.若直线与直线平行，则的值为（）A.3 B. C.3或 D.2【答案】B【解析】【分析】根据两条直线平行的充要条件，列出方程组，解出即可.【详解】因为两条直线平行，所以，解得，故选：5.如图，一抛物线型拱桥的拱顶比水面高2米，水面宽度米．水面下降1米后水面宽（）米A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件求出抛物线方程即可.【详解】如图建系，设抛物线方程为由可得所以抛物线方程为，和相交于故水面宽米故选：C.6.已知双曲线，直线，若直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，则的取值范围是（）A.或 B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】联立直线与双曲线方程，再结合一元二次方程判别式及韦达定理列式求解即得.【详解】由消去y并整理得：，由直线与双曲线的两个交点分别在双曲线的两支上，得，解得，所以的取值范围是.故选：B7.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．斜率为的直线经过点，且与的交点为．若，则直线的斜率为（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由椭圆与抛物线的定义与性质计算即可.【详解】由椭圆方程可知，则，由题意可设直线的方程为：，，与抛物线方程联立可知，即，又，所以.故选：D8.已知圆，若曲线上存在四个点，过点作圆的两条切线，为切点，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，根据题意利用推出，确定在圆上，继而将问题转化为和有两个交点的问题，利用圆心到直线的距离小于半径，即可求得答案.【详解】设，由题意知，则，则，即，整理得，解得或，由于在圆外，故，则，即的轨迹方程为圆，曲线过定点，由射线和射线组成，且和关于直线对称，结合图象可知要使曲线上存在四个点满足题意，需使得和有两个交点，故需有且，解得，即，故选：B【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要满足曲线上存在四个点，使得，因而要由此推出的轨迹方程，进而将问题转化为和有两个交点的问题，即可求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知圆，圆，则（）A.圆与圆内切B.直线是两圆的一条公切线C.直线被圆截得的最短弦长为D.过点作圆的切线有两条【答案】BCD【解析】【分析】由两圆的标准方程得出圆心和半径，利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系分别判断即可．【详解】由题意得，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径；对于A，，，即，两圆外切，故A错误；对于B，圆心到直线的距离，则与圆相切，圆心到直线的距离，则与圆相切，所以是两圆的一条公切线，故B正确；对于C，直线恒过点，连接，过作，交于圆于点，如图所示，则即为直线被圆截得的最短弦，则，由勾股定理得，，则，所以直线被圆截得最短弦长为，故C正确；对于D，因为，所以在圆外部，所以过点作圆的切线有两条，故D正确；故选：BCD．10.已知同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，则下列结论正确的是（）A. B.若，则C.若，则 D.若则【答案】AB【解析】【分析】利用椭圆与双曲线的定义及性质，结合余弦定理，三角形三边关系计算即可.【详解】对于A项，由题意可设，则，故A正确；对于B项，在中，设，则有，由余弦定理可知，显然，故B正确；对于C项，若，结合B项及勾股定理可知，，故C错误；对于D项，若，则，故D错误.故选：AB11.已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两个不同点，则下列结论正确的是（）A.的最小值是6 B.若点，则的最小值是4C. D.若，则直线的斜率为【答案】ABD【解析】【分析】A，根据结合基本不等式即可判断；B，由抛物线定义知当三点共线时；C，D，设直线方程，联立抛物线，应用韦达定理即可求解.【详解】对A，设，因为这些倾斜角不为0，则设直线的方程为，联立抛物线得，则，所以，则（当且仅当时等号成立），A正确；对B，如图抛物线准线，要使其最小，即三点共线时取得最小值，即，B正确；对C，由，C错误；对D，，解得,D正确故选：ABD.12.已知为坐标原点，分别是双曲线的左，右焦点，直线与双曲线交于两点，．为双曲线上异于的点，且与坐标轴不垂直，过作平分线的垂线，垂足为，则下列结论正确的是（）A.双曲线的离心率为 B.双曲线的渐近线方程是C.直线与的斜率之积为4 D.若，则的面积为4【答案】BCD【解析】【分析】由直线斜率为可知，不妨设在第一象限，即可得到，代入双曲线方程，即可得到关于的方程，从而求出离心率，则渐近线方程可求，即可判断A、B，则双曲线方程可化为，设，根据对称性得，利用点差法判断C，求出动点的轨迹方程，即可得到，从而求出的面积，即可判断D.【详解】依题意得直线与双曲线两交点关于原点对称，不妨设在第一象限，由，所以，设，由直线斜率为可知，则，，则，代入双曲线方程有，即，化简得，化简得，，解得，则，故A错误；由，所以，所以双曲线的渐近线方程是，故B正确；由，则双曲线方程可化为，设，根据对称性得，根据点在双曲线上则有，①②得，即，，故C正确；点关于的角平分线的对称点在直线的延长线上，故，又是中位线，故，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，则点的轨迹方程为，因为，所以，所以双曲线方程为，所以，则，又，所以，故D正确；故选：BCD【点睛】关键点睛：由直线的斜率表示出点坐标，从而求出离心率是解决ABC的关键，D选项的关键是求出动点的轨迹方程.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13.设点为圆上一点，则点到直线距离的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】先判断圆与直线相离，故而圆上的点到直线的距离的最小值等于圆心到直线距离.【详解】由圆的圆心为，半径为所以圆心到直线的距离为：，所以圆与直线相离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为：，故答案为：.14.已知椭圆离心率为，点为其长轴两端点，点为椭圆上异于的一点，则直线和的斜率之积等于______．【答案】或【解析】【分析】讨论若的大小，若，设，根据点在椭圆上可得，结合化简可得，再根据椭圆离心率求出，同理可求时情况，即可得答案.【详解】由题意知若，则不妨取，设，则，则，则，由于椭圆的离心率为，即，即，故；若，则不妨取，设，则，则，则，由于椭圆离心率为，即，即，故，故答案为：或15.已知直线与椭圆相交于两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．【答案】##【解析】【分析】联立，得到线段的中点为，设与的交点分别为，，利用点差法能求出椭圆的离心率.【详解】联立得：，所以直线与直线的交点坐标为，所以线段的中点为，设与的交点分别为，，所以，，则，，分别把，代入到椭圆得：，两式相减得：，因为直线为：，所以，且，所以，所以，即，所以，所以，所以，所以.故答案为：16.抛物线的焦点为，准线为，,是抛物线上的两个动点，且满足.设线段的中点在上的投影为，则的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】根据抛物线的定义和几何性质，可得，，可得，进而可得的最大值为.【详解】如图，过点作，过作，设，，则由抛物线的定义知，，由题意知，因得，，因，当且仅当，即时等号成立，所以，，所以，故答案为：四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知直线．（1）若经过两点的直线与直线垂直，求此时直线的斜率；（2）时，若点关于直线的对称点为点，求线段的长度．【答案】（1）（2）5【解析】分析】（1）根据两点坐标求解斜率，即可根据垂直关系求解，（2）根据点关于直线对称，求解，即可由两点间距离公式求解.【小问1详解】由得，由于，所以，【小问2详解】当时，设点关于直线的对称点为点，则，解得,故，所以18.已知半径为4的圆与双曲线的渐近线相切，且圆心在轴正半轴上．（1）求圆的方程；（2）经过点，且斜率为的直线交圆于两点，若，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）相切转化为距离关系即可.（2）弦长转化为圆心到直线的距离即可.【详解】（1）因为圆心点在轴正半轴上，设圆心．圆的标准方程为：．双曲线的渐近线方程为：．因为双曲线的渐近线与圆相切，所以圆心到双曲线一条渐近线的距离与圆的半径相等．，解得，所以圆心坐标为，圆的标准方程为（2）如图，设直线的斜率为，则直线的方程为：，即．因为直线截圆所得线段长度，设圆心到直线的距离为，则，解得．由解得或．故直线的方程为：或19.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．（1）求抛物线的标准方程；（2）抛物线的准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于两点，若以为直径的圆过点，求直线的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式及点在抛物线上可列方程组，解得，确定抛物线方程；（2）设直线方程，直曲联立，结合可求出直线方程.【小问1详解】由已知可知，所以，所以．又点在抛物线上，所以，又，所以，所以抛物线的标准方程为．【小问2详解】由题意，，当直线斜率为0时，显然不成立，所以直线斜率不为0，设直线方程为，设由消元得，所以，，因直线交抛物线于两点，所以，解得，即或,因为以为直径的圆过点,所以又所以所以，所以符合题意，所以直线的方程为，即或.20.已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点在轴上，离心率为，点在上，且的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线交椭圆于两点，求面积的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率为，的周长为6求出可得答案；（2）当的斜率不存在时，令求出可得的面积；当的斜率存在时，设与椭圆方程联立，利用弦长公式求出、点到直线的距离公式求出点到直线的距离，可得的面积为，令得，再由的范围可得答案．【小问1详解】设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为，因为，则，因为，则，即，于是，解得，从而，因为椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是；【小问2详解】由（1）知，，故，当的斜率不存在时，令得，，故，故，故的面积为，当的斜率存在时，设，联立得，因为直线过椭圆内的点，所以，设，则，则，设点到直线的距离为，则，故的面积为，令，则，则，因为，所以，故，，故，综上：面积的取值范围是．【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是利用弦长公式求出、点到直线的距离公式求出点到直线的距离，可得的面积．21.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，且双曲线经过点．（1）求双曲线的标准方程；（2）设为双曲线上异于点的两点，记直线的斜率为，若．求直线恒过的定点．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据焦点坐标以及经过的点，代入即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，根据两点斜率公式求解两直线的斜率，代入韦达定理化简即可求解.【小问1详解】椭圆的焦点坐标为故为双曲线的焦点，故双曲线，设双曲线的方程为：，代入点，，可得或，又因为双曲线中，故，双曲线方程为．【小问2详解】当直线斜率为0时，易得直线方程为：，此时，符合，此时直线经过，直线斜率不为0时，设直线，联立直线与双曲线方程可得：．设，则直线斜率，直线斜率．由易知：．代入可得：．又因为．原式可转化为，由韦达定理可得：，代入式子中化