八级数下册第一章三角形的证明4角平分线第课时三角形三个内角的平分线课件新版北师大版

第2课时三角形三个内角的平分线新课导入作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什么？

发现：三角形的三个内角的角平分线交于一点．这一点到三角形三边的距离相等．新课探究例2求证：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

已知：如图，在△ABC

中，角平分线BM

与角平分线CN

相交于点P，过点P

分别作AB，BC，AC

的垂线，垂足分别为D，E，F.

求证：P

点在∠BAC

的角平分线上.ABCPEFMDN证明：∵BM

是△ABC

的角平分线，点P

在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E，∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.同理：PE=PF.∴PD=PE=PF.∴点P

在∠A

的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），即∠A的平分线经过点P.ABCPEFMDN比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等练习

如图：直线l1、l2、l3

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？PP1l3l2l1CBA满足条件共4个例3如图，在△ABC

中.AC=BC，∠C=90°，AD

是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.（1）已知CD=4cm，求AC

的长；（2）求证：AB=AC+CD.

ACBED（1）解：∵AD

是△ABC

的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB，垂足为E，

∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∵AC=BC∴∠B=∠BAC（等边对等角）∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角对等边）.在等腰直角三角形BDE中

cm（勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.12ACBED（2）证明：由（1）的求解过程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED随堂演练

1.已知：OE

平分∠AOB，P

为OE

上一点，PC⊥OA

于C，且PC=5，则P点到OB

的距离为_____.5AOEBPC2.已知：如图，在Rt△ACB

中，∠ACB=90°，∠B=40°，AD

平分∠CAB

交

BC于D

点，DE⊥AB

于E，则∠CAD=________.25°ACBDE3.已知：如图，P

是∠AOB

平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为

C、D.

求证：（1）OC=OD；（2）OP是

CD

的垂直平分线.OCDBPEA

证明：（1）P

是∠AOB

角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）.

在Rt△OPC

和Rt△OPD中，

OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）.∴OC=OD（全等三角形对应边相等）.OCDBPEA（2）∵

OP是∠AOB

的角平分线，∴OP

是

CD

的垂直平分线（等腰三角形“三线合一”定理）.OCDBPEA4.已知：如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE.ACBEDACBEDF证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F.

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF，AE＝AF

（角平分线性质），∠CEB＝∠CFD＝90°.

∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠CDF，

∴△CBE