第24课图形的位似（教师版）-九年级数学上册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（浙教版）

第24课图形的位似目标导航目标导航学习目标1.了解位似图形的概念.2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的图形位似的性质.3.能利用位似将一个图形放大或缩小.知识精讲知识精讲知识点01位似图形的概念如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。知识点02位似图形的性质1.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（），位似图形与原图形的位似比为，则位似图形上的对应点的坐标为或能力拓展考点01位似图形的概念能力拓展【典例1】在下列图形中，不是位似图形的是（）A．B．C． D．【思路点拨】根据位似图形的性质判断即可．【解析】解：据位似图形的概念可知，A、B、C三组图形中的两个图形都是位似图形；D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选：D．【点评】本题主要考查了位似图形的性质，准确分析判断是解题的关键．【即学即练1】下面4组图中，不是位似图形的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【思路点拨】根据位似图形的定义对四组图形进行判断即可．【解析】解：如图，第1个图形中的两个梯形不是位似图形；第2个图形中的两个正方形不是位似图形；第3个图形中的两个梯形是位似图形；第4个图形中的两个正方形是位似图形．故选：C．【点评】本题考查了位似变换：两个为似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行或共线．考点02位似图形的性质【典例2】（1）在网格内画出△OBC以点O为位似中心，且相似比为2的△OB1C1．（2）C1的坐标是（﹣4，﹣2），如果S△OBC＝，则＝10．【思路点拨】（1）延长CO到C1，使OC1＝2OC，同理得到点B的对应点B1，再与点O首尾顺次连接即可；（2）结合图形可得点C1的坐标，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案．【解析】解：（1）如图所示，△OB1C1即为所求．（2）由图知，C1的坐标是（﹣4，﹣2），∵S△OBC＝，且S△OBC：＝1：4，∴＝4S△OBC＝4×＝10，故答案为：（﹣4，﹣2），10．【点评】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义和性质．【即学即练2】如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝AA′，S△ABC＝4，S△A′B′C′＝16．【思路点拨】△ABC与△A′B′C′是位似图形，由OA＝AA′可得两个图形的位似比，面积的比等于位似比的平方．【解析】解：△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝AA′．可得两位似图形的位似比为1：2，所以两位似图形的面积比为1：4，又∵S△ABC＝4，∴S△A'B'C'＝4×4＝16．故答案为：16．【点评】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，利用已知得出两位似图形的面积比为4：9是解题关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1.如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】根据位似图形的概念判断即可．【解析】解：图1、图3、图4是位似图形，图2的对应边不平行，不是位似图形，故选：C．【点评】本题考查的是位似图形的概念，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，则两个图形是位似图形．2.如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（）A．8 B．12 C．16 D．36【思路点拨】根据位似比等于三角形的相似比，再结合面积之比等于相似比的平方计算即可．【解析】解∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，，∴∴，∵△ABC的面积为4，∴△DEF的面积是36．故选：D．【点评】本题主要考查了位似的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．3.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，BC＝2，则EF的长度为（）A．3 B．4 C．6 D．8【思路点拨】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为1：2，然后根据相似三角形的性质求解．【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，位似比为1：2，∴△ABC∽△DEF，相似比为1：2，∴BC：EF＝1：2，即2：EF＝1：2，解得EF＝4，即EF的长度为4．故选：B．【点评】本题考查了位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点；位似比等于相似比．4.如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形．若BE＝OB，则下列结论正确的是（）A．B．C． D．【思路点拨】利用位似变换的性质推出△ABC∽△DEF，AB∥DE，可得＝，再利用相似三角形的性质解决问题即可．【解析】解：∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴＝，∵BE＝OB，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选项D正确，故选：D．【点评】本题考查位似变换，相似三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5.下列说法正确的个数是（）①位似图形一定是相似图形；②相似图形一定是位似图形；③两个位似图形的面积比等于位似比的平方；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似图形，且位似比相等；⑤两个位似图形上的对应线段必平行；⑥位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由位似图形是特殊相似图形以及位似图形的性质，即可求得答案．【解析】解：①位似图形一定是相似图形，故正确；②相似图形不一定是位似图形，故错误；③两个位似图形的面积比等于位似比的平方，故正确；④若五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′位似，则其中△ABC与△A′B′C′也是位似图形，且位似比相等．故正确；⑤两个位似图形上的对应线段平行或在同一条直线上，故错误；⑥位似图形上两对应点与位似中心的距离之比等于位似比，故错误，故选：C．【点评】此题考查了位似图形的性质，注意掌握位似图形的性质与相似图形的关系是关键．6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若＝2，△ABC的周长为14，则△DEF的周长为7．【思路点拨】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AC∥DF，证明△AOC∽△DOF，根据相似三角形的性质解答即可．【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，AC∥DF，∴△AOC∽△DOF，∴＝＝2，∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2，∵△ABC的周长为14，∴△DEF的周长为7，故答案为：7．【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．7.如图，以点O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形A′B′C′D′，已知，若四边形ABCD的周长为8，则四边形A′B′C′D′的周长为28．【思路点拨】根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，根据相似三角形的性质得到＝＝，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解析】解：∵，∴OA：OA′＝2：7，∵四边形ABCD与四边形A'B'C′D'是位似图形，∴四边形ABCD∽四边形A'B'C′D'，AB∥A′B′，∴△OAB∽△OA′B′，∴＝＝，∴四边形ABCD的周长：四边形A'B'C′D'的周长＝2：7，∵四边形ABCD的周长是8，∴四边形A'B'C′D'的周长为28，故答案为：28．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．8.下面每组图形中都有两个图形（1）哪一组中的每两个图形是位似图形？（2）作出位似图形的位似中心【思路点拨】（1）根据位似变换的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形判断即可；（2）根据位似中心一定在对应点的连线上确定即可．【解析】解：（1）是位似图形的有第（1）、（3）、（5）这3组；（2）位似中心如图：【点评】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，找出对应点连接是解题关键．9.如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，3）．（1）以原点O为位似中心在第三象限内画一个△A1B1C1，使它与△ABC位似，且相似比为2：1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标；（2）直接写出△OAB与△OA1B1的面积比是1：4．【思路点拨】（1）根据位似的性质作图，即可得出答案．（2）根据相似三角形的性质可得答案．【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求.点A1（﹣2，﹣4），B1（﹣6，﹣2），C1（﹣4，﹣6）．（2）由题意可得，△OAB与△OA1B1相似，相似比为1：2，∴△OAB与△OA1B1的面积比是1：4．故答案为：1：4．【点评】本题考查作图﹣位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．ABCD及点O，试以点O为位似中心，将如图所示四边形放大为原来的2倍．【思路点拨】根据以点O为位似中心，将如图所示四边形放大为原来的2倍，则找到各点的对应点，顺次连接即可．【解析】解：如图所示：【点评】本题考查了画位似图形．画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．题组B能力提升练11.如图，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，则位似中心的坐标为（）A．（0，0） B．（0，1） C．（﹣1，0） D．（0，﹣1）【思路点拨】直接利用位似图形的性质得出位似中心即可．【解析】解：如图所示：位似中心的坐标为（0，﹣1）．故选：D．【点评】本题主要考查了位似变换，解题的关键是正确掌握位似图形的性质．12.如图，正方形网格图中的△ABC与△A'B'C'是位似关系图，则位似中心是（）A．点O B．点P C．点Q D．点R【思路点拨】连接AA'，CC'交于点O，即可得到位似中心．【解析】解：如图，连接AA'，CC'交于点O，∴位似中心是点O．故选：A．【点评】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．13.如图，A，B、C是直角坐标系中的三个点，点A的坐标为（﹣1，1），C（0，3），BC＝1，BC⊥y轴．现以坐标原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A′B′C′，点A与点A′对应，点C的对应点C′纵坐标为﹣1，则下列点的坐标正确的是（）A．A′（﹣3，3）B．A′ C．B′ D．B′【思路点拨】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．【解析】解：如图，点A的坐标为（﹣1，1），C（0，3），BC＝1，则B（1，3）．∵C（0，3），点C的对应点C′纵坐标为﹣1，∴两个图形△ABC和△A′B′C′的位似比为﹣，∴A'的坐标为：（，﹣），B'的坐标为：（﹣，﹣1），故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．14.如图，△AOB与△CDB关于点B位似，其中B（1，1），D（3，3），若S△AOB＝2，则S△CDB＝8．【思路点拨】根据位似变换的概念得到△AOB∽△CDB，根据两点间的距离公式分别求出OB、BD，进而求出△AOB与△CDB的相似比，根据相似三角形的性质计算即可．【解析】解：∵△AOB与△CDB关于点B位似，∴△AOB∽△CDB，∵B（1，1），D（3，3），∴OB＝＝，BD＝＝2，∴△AOB与△CDB的相似比为1：2，∴△AOB与△CDB的面积比为1：4，∵S△AOB＝2，∴S△CDB＝8，故答案为：8．【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12.在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，画△A′B′O，使它与△ABO位似，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标是（﹣3，﹣2）或（3，2）．【思路点拨】根据位似变换的性质计算，得到答案．【解析】解：∵△A′B′O与△ABO位似，以原点O为位似中心，且相似比为1：2，B（﹣6，﹣4），∴点B的对应点B′的坐标是（﹣6×，﹣4×）或（﹣6×（﹣），﹣4×（﹣）），即（﹣3，﹣2）或（3，2），故答案为：（﹣3，﹣2）或（3，2）．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．题组C培优拔尖练16.如图，已知△ABC和△A'B'C是以点C为位似中心的位似图形，且△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，点C的坐标为（﹣1，0），若点B的对应点B'的横坐标为5，则点B的横坐标为﹣4．【思路点拨】过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，得到△BCE∽△B′CF，根据相似三角形的性质求出△ABC和△A'B'C的相似比，进而求出EC，根据坐标与图形性质解答即可．【解析】解：过点B作BE⊥x作于E，过点B′作B′F⊥x轴于F，则BE∥B′F，∴△BCE∽△B′CF，∴＝，∵点C的坐标为（﹣1，0），点B'的横坐标为5，∴CF＝6，∵△ABC和△A'B'C的周长之比为1：2，∴△ABC和△A'B'C的相似比为1：2，即＝，∴＝，解得：EC＝3，∴点B的横坐标为﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．17.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C在x轴上，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A1B1C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，设点A的纵坐标是n，则点A1的纵坐标是﹣2n．【思路点拨】根据两个三角形的相似比是1：2计算即可．【解析】解：根据题意知，△ABC与△A1B1C的位似，且相似比是1：2，∵点A的纵坐标是n，∴点A1的纵坐标是|2n|，因为点A位于第一象限，所以n＞0．因为点A1的位于第三象限，所以点A1的纵坐标是﹣2n．故答案为：﹣2n．【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的竖直距离等于对应边的比是解题的关键．18.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，2），以点O为位似中心，在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2；再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2⋯⋯以此类推，则点B2023的坐标为（﹣22023，﹣22024）．【思路点拨】结合位似图形的性质，确定点Bn的变化规律，即可获得答案．【解析】解：根据题意，点B的坐标为（1，2），在点O的异侧作△OAB的位似图形△OA1B1，使△OAB与△OA1B1的相似比为1：2，则B1（﹣2，﹣4），再以点O为位似中心，在点O的异侧作△OA1B1的位似图形△OA2B2，使△OA1B1与△OA2B2的相似比为1：2，则B2（4，8），……所以，点，故点B2023的坐标为（﹣22023，﹣22024）．故答案为：（﹣22023，﹣22024）．【点评】本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点Bn的变化规律是解题关键．19.如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且B（3，1），B′（6，2）．（1）请你根据位似图形的特征，并结合点B的坐标变换回答下列问题：①若点A的坐标为（2.5，3），则点A′的坐标为．②△ABC与△A′B′C′的相似比为．（2）若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积（用含m的代数式表示）．【思路点拨】（1）①观察点B点和B′点的坐标得到位似比为2，然后根据此规律确定A′的坐标（5，6）；②易得△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2；（2）根据三角形相似的性质求解．【解析】解：（1）①∵点B（3，1），B′（6，2），∴位似比为2，∴点A（，3），则A′的坐标（5，6）；②△ABC与△A′B′