基本不等式-高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第3章不等式

把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a.如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同(其他因素不计)，那么a

并非物体的实际质量.不过，我们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b.那么如何合理地表示物体的质量呢?

算术平均数与几何平均数●两个正数a，b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系?3.2.1基本不等式的证明

也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等.下面证明上述猜想是正确的.证法1对于正数a，b，有

证法2

证法3对于正数a，b，有

当且仅当a＝b时，等号成立.(1)公式：①条件：a，b是正数；②结论：____________；③等号成立：当且仅当a＝b时.一、基本不等式

当a，b≥0时，这个不等式仍然成立.

(3)变形式：

当a＞0，b＞0时，请用基本不等式证明这两个不等式.

这两个不等式通常可以直接使用.【思考】(1)基本不等式成立的条件能省略吗?

(2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义是什么?

二、基本不等式求最值的结论*

大小a＝b例1设a，b

为正数，证明下列不等式成立：

例2

【基础小测】

✘

✘

✔

B解析：因为不等式成立的前提条件是各项均为正，

所以x－2y＞0，即x＞2y.解析3.设x，y

满足x＋y＝40，且x，y

都是正数，则

xy

的最大值为_________.

400

解析【跟踪训练】1.已知ab＝4，a＞0，b＞0，则a＋b

的最小值为(

).

A.1 B.2 C.4 D.8C

解析

B

解析

C

解析

解析

x＜y

解析练习1.计算下列两个数的算术平均数与几何平均数(其中p＞0)：(1)2，8；(2)3，12；(3)p，9p；(4)2，2p2.

(3)p，9p；(4)2，2p2.解：(3)p，9p的算术平均数为5p，几何平均数为3p；(4)2，2p2的算术平均数为1＋p2，

几何平均数为2p；2.如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角

形围成的.设直角三角形的直角边长为a，b，根据图

示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积之和

存在不等关系，用a，b

表示这种关系.

3.证明：

证明：∵0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°，∴sin2α∈(0，1]，∴1＋sin2α∈(1，2]，∴(sinα＋cosα)2∈(1，2]，∴1＜(sinα＋cosα)2≤2，∴1＜(sinα＋cosα)2≤2，得证.3.2.2基本不等式的应用

例3用长为4a

的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大?

上式当且仅当x＝2a－x，即x＝a

时，等号成立.由此可知，当x＝a时，S＝(2a－x)取得最大值a2.答将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为a2.例4某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m，深度为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价为多少元?

对于正数a，b，在运用基本不等式时，应注意：例5

例6如图3-2-3，一份印刷品的排版面积(矩形)为A，它的两边都留有宽为a

的空白，顶部和底部都留有宽为的空白如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少?解

设纸张的面积为S，排版矩形的长和宽分别是x，y(x＞0，y＞0)，则xy＝A.

【跟踪训练】

D

解析

D

解析

4

解析4.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元,其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元.若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱?

练习

D

D3.设x＞0，y＞0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值.

4.将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能

使横截面的面积最大?

故AB＝2rcosα，BC＝2rsinα，故S＝4r2sinαcosα＝2r2sin2α≤2r2，故当α＝45°时，sin2α

取得最大值1，此时面积S取得最大值S＝2r2.5.如图，质量是W

的重物挂在杆上距支点a处.质量均

的杆子每单位长度的质量为m.杠杆应当多长，才能

使得加在另一端用来平衡重物的力F最小?

习题3.2感受·理解1.证明下列不等式：(1)a2＋b2≥2a＋2b－2；证明：∵a2＋1＞2a，b2＋1＞2b，

∴a2＋b2＋2≥2a＋2b，

即a2＋b2≥2a＋2b－2.

3.证明：

6.如图，墙角线互相垂直，长为am的木棒AB的两个端

点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区

域的面积最大?解：如图，设AO＝am，BO＝ym.∵OA⊥OB∴OA2＋OB2＝AB2∴

x2＋y2＝a2

证明：设点A(b，a)，B(－c,－c)，C(－d，－d)，∵a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，∴点A在第一象限，点B在第三象限，

点C第三象限，

且点B、点C都在直线y＝x上，

思考·运用

解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，

方案甲：(1＋p%)(1＋q%)

＝1＋p%＋q%＋0.01pq%；方案乙：(1＋q%)(1＋p%)

＝1＋p%＋q%＋