北师版高数必修五第12讲：基本不等式

均值不等式____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________教学重点：掌握均值不等式的证明及应用，会用均值不等式求函数的最大值或最小值；教学难点：利用均值不等式的证明。算术平均值与几何平均值算术平均值：对任意两个正实数，数___________叫做的算术平均值几何平均值：对任意两个正实数，数__________叫做的几何平均值均值定理如果，那么____________，当且仅当__________时，等号成立均值不等式的常见变形（1）（2）（3）（同号且不为0）（4）类型一：均值不等式的理解设，则下列不等式不成立的是（）A.B.C.D.练习1.若a、b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2练习2.设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2)D．eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b类型二：均值不等式与最值例2.若正数x、y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．6练习3.设x、y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值为()A．10B．6eq\r(3)C．4eq\r(6)D．18eq\r(3)练习4.已知正项等差数列{an}中，a5＋a16＝10则a5a16的最大值为(A．100B．75C．50D．25类型三：利用均值不等式证明不等式及应用例3.已知a、b、c∈R，求证：eq\r(a2＋b2)＋eq\r(b2＋c2)＋eq\r(c2＋a2)≥eq\r(2)(a＋b＋c)．练习5.已知a、b是正数，试比较eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))与eq\r(ab)的大小．练习6.若x>0，y>0，x＋y＝1，求证：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9..例4.在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是()A．θ＝1，r＝eq\r(S)B．θ＝2，r＝eq\r(4,S)C．θ＝2，r＝eq\r(3,S)D．θ＝2，r＝eq\r(S)练习7.设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是(A．(38－3eq\r(73))m3B．16m3C．4eq\r(2)m3D．14m3练习8.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在()A．每个95元B．每个100元C．每个105元D．每个110元1.若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是()A．eq\f(1,x＋y)≤eq\f(1,4)B．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)≥1C．eq\r(xy)≥2D．eq\f(1,xy)≥12.已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．103.若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．eq\f(1,ab)>eq\f(1,2)B．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≤1C．eq\r(ab)≥2D．eq\f(1,a2＋b2)≤eq\f(1,8)4.实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．2eq\r(3)D．eq\r(4,3)5．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．3eq\r(3,9)C．1＋2eq\r(2)D．56.设a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a与3b的等比中项，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．8B．4C．1D．eq\f(1,4)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固1.若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，2ab，a2＋b2中最大的一个是()A．a2＋b2B．2eq\r(ab)C．2abD．a＋b2.若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是()A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]3.已知x、y∈R＋，且满足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，则xy的最大值为________．4.已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为__________5.a、b、c是互不相等的正数，且a2＋c2＝2bc，则下列关系中可能成立的是()A．a>b>cB．c>a>bC．b>a>c D．a>c>b6.设{an}是正数等差数列，{bn}是正数等比数列，且a1＝b1，a21＝b21，则()A．a11＝b11B．a11>b11C．a11<b11D．a11≥b117.已知a>1，b>1，且lga＋lgb＝6，则lga·lgb的最大值为()A．6B．9C．12 D．8.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为eq\f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A．60件B．80件C．100件D．120件9.已知eq\f(2,x)＋eq\f(3,y)＝2(x>0，y>0)，则xy的最小值是________．10.若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．11.做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是A．mB．mC．5mD．5.212.光线透过一块玻璃，其强度要减弱eq\f(1,10).要使光线的强度减弱到原来的eq\f(1,3)以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝，lg3＝13.一个矩形的周长为l，面积为S，给出下列实数对：①(4,1)；②(8,6)；③(10,8)；④(3，eq\f(1,2))．其中可作为(l，S)的取值的实数对的序号是________．`14.已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值．能力提升15.已知x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．2eq\r(3)16.设函数f(x)＝2x＋eq\f(1,x)－1(x<0)，则f(x)()A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数17.已知x>0，y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则eq\f(a＋b2,cd)的最小值是()A．0B．1C．2D．418.若a、b、c、d、x、y是正实数，且P＝eq\r(ab)＋eq\r(cd)，Q＝eq\r(ax＋cy)·eq\r(\f(b,x)＋\f(d,y))，则有()A．P＝QB．P≥QC．P≤QD．P>Q19.已知x≥eq\f(5,2)，则f(x)＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,4)B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1D．最小值120.已知y>x>0，且x＋y＝1，那么()A．x<eq\f(x＋y,2)<y<2xyB．2xy<x<eq\f(x＋y,2)<yC．x<eq\f(x＋y,2)<2xy<yD．x<2xy<eq\f(x＋y,2)<y21.设a、b是正实数，给出以下不等式：①eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)；②a>|a－b|－b；③a2＋b2>4ab－3b2；④ab＋eq\f(2,ab)>2，其中恒成立的序号为()A．①③B．①④C．②③D．②④22.已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b2)－1))的最小值为()A．6B．7C．8D．923.若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,2)C．2D．424.当x>1时，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]25.已知正数x、y满足eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝1，则xy有()A．最小值eq\f(1,16)B．最大值16C．最小值16D．最大值eq\f(1,16)26.若正实数x、y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________27.已知函数f(x)＝lgx(x∈R＋)，若x1、x2∈R＋，判断eq\f(1,2)[f(x1)＋f(x2)]与f(eq\f(x1＋x2,2))的大小并加以证明．28.已知a、b、c∈R＋，求证：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋C29．求函数y＝1－2x－eq\f(3,x