人教A版 必修2 1.1 第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合体的结构特征

【课标要求】1．理解旋转体的形成过程和简单组合体的构成．2．掌握圆柱、圆锥、圆台、球体的几何结构特征.【核心扫描】1．轴截面在旋转体计算中的作用．(重点)2．旋转体的侧面展开图的应用，进一步体会转化思想．

(难点)第2课时圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及简单组合

体的结构特征由一个平面图形绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条_______叫做旋转体的轴．温馨提示：同一个平面图形绕它所在平面内不同的轴旋转所形成的旋转体不同．新知导学1．旋转体的概念定直线定直线2．简单的旋转体——圆柱、圆锥、圆台、球旋转体结构特征图形表示法圆柱以___________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的_______叫做圆柱，_______叫做圆柱的轴；_________的边旋转而成的_____叫做圆柱的底面；___________的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，___________的边都叫做圆柱侧面的母线圆柱用表示它的轴的字母表示，左图中圆柱表示为圆柱OO′矩形的一边旋转体旋转轴垂直于轴圆面平不垂直于轴行于轴圆锥以直角三角形的____________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥圆锥用表示它的轴的字母表示，左图中圆锥表示为圆锥SO圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与_____之间的部分叫做_____．与圆柱和圆锥一样，圆台也有___、_____、_____、_____圆台用表示轴的字母表示，左图中圆台表示为圆台OO′一截面圆台轴底面侧面母线条直角边球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球球常用表示球心的字母表示，左图中的球表示为球O.(1)概念：由___________组合而成的几何体叫做简单组合体．常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的．(2)基本形式：一种是由简单几何体_____而成，另一种是由简单几何体_____或_____一部分而成．3．简单组合体简单几何体拼接截去挖去探究点1平面直角坐标系中的曲线y＝x2(其中－1≤x≤1)绕y轴旋转180°所形成的几何体是圆锥吗？是半球吗？画出它的示意图．

提示既不是圆锥、也不是半球．几何体的示意图为

.互动探究探究点2(1)画出长为2、宽为1的矩形绕其一边所在直线旋转

一周所形成的几何体．提示(2)画出上、下底分别为1，2，高为1的直角梯形绕直角腰所在直线旋转360°的几何体提示(3)乒乓球、铅球哪一个是球，哪一个是球面？提示铅球是球，乒乓球是球面．探究点3将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到图2

所示的几何体的是________．提示

②类型一旋转体的结构特征(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．[思路探索]利用旋转体的定义和结构特征判定．【例1】判断下列各命题是否正确；解

(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．[规律方法]准确理解旋转体的定义、把握其结构特征，多角度思考全面地进行分析才能正确地作出判定．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3解析

①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．故四句话全不正确．答案

A【活学活用1】下列叙述中正确的个数是

(

)．[思路探索]由平面图形可以看出，该平面图形旋转后形成的几何体是组合体，可对所给平面图形进行适当的分割，再进行空间想象．类型二

简单组合体的结构特征【例2】若右图中的平面图形绕直线l旋转一周，试说

明形成的几何体的结构特征．解过原图中的折点向旋转轴引垂线，这样便可得到三个规则图形：矩形、直角梯形、直角三角形，旋转一周后便得到一个组合体，该组合体是由圆锥、圆台和圆柱组合而成的．[规律方法]对于不规则平面图形绕轴旋转问题，首先要对原平面图形作适当的分割，一般分割成矩形、梯形、三角形或圆(半圆或四分之一圆周)等基本图形，然后结合圆柱、圆锥、圆台、球的形成过程进行分析．【活学活用2】说出下列几何体的结构特征，如下图所示：解图(1)是由两个同底的四棱锥拼接而成的简单组合体；图(2)是由一个圆台挖去一个圆锥后剩下的部分得到的组合体；图(3)是由一个四棱锥和一个四棱柱拼接而成的组合体．图(4)是由一个圆柱挖去一个三棱柱所剩下部分得到的组合体．【例3】圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和． [思路探索]把圆台补成圆锥、利用轴截面图形求解．类型三

轴截面、截面的应用∴SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，∴r＝a.∴S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.∴圆台的上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.[规律方法]

(1)求解有关旋转体的基本量问题，一般借助于轴截面构造直角三角形．(2)把圆台补成圆锥是求解圆台问题的常用方法技巧．【活学活用3】已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离为1，那么这个球的半径为多少？[错解]

甲中几何体是圆柱，乙中几何体是圆锥．易错辨析

判断依据不充分而致错【示例】如图甲中几何体是圆柱吗？乙中几何体是圆锥吗？[错因分析]

(1)仅凭个别特征或直觉作出判断；(2)未形成根据定义全面思考进行判断的习惯．[正解]图甲不是圆柱，因为上、下两面不平行(或不是由一个矩形旋转而成)；图乙不是由一个直角三角形旋转而成，故不是圆锥．[防范措施](1)准确理解定义，把握几何体的结构特征是正确判定此类问题的基础．(2)数学中的判断必须有充分的根据，不能仅凭感觉，要思维敏捷、推理严密.A．一个棱柱中挖去一个棱柱B．一个棱柱中挖去一个圆柱C．一个圆柱中挖去一个棱锥D．一个棱台中挖去一个圆柱解析一个六棱柱挖去一个等高的圆柱．答案

B课堂达标1．(2012·台州高一检测)在日常生活中，常用到的螺母可以看

成一个组合体，其结构特征是

(

)．2．下面几何体的截面一定是圆面的是

(

)． A．圆台

B．球

C．圆柱

D．棱柱

解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．

答案

B3．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是________．解析当截面过轴时，组合体的上底面已经挖去，故②错；当截面不过轴时，与圆锥的截线不可能是直线，故③④错．答案

①⑤5．用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长．(1)圆台、棱台可以看作是用一平行于底面的平面去截圆锥、棱锥得到的底面与截面之间的部分；圆台、棱台