中考专题梯形 公开课教学设计

教学内容：梯形

【重点、难点、考点】重点：等腰梯形的概念、性质和判定；平行线等分线段定理；三角形、梯形中位线定理．难点：综合运用三角形、平行四边形的知识来解决梯形的有关问题．考点：应用等腰梯形的概念、性质、判定，平行线等分线段定理，三角形的中位线、梯形的中位线定理进行有关的计算和证明。这部分内容考量较少。

【经典范例引路】例1如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，若∠C＝3O°，AD＝2cm，BC＝8cm，求AB的长．解如图，分别过上底两端点A、D作下底的垂线，垂足分别为E、F∵∠C＝3O°，∠B＋∠C＝90°，∴∠B=60°，∠BAE＝30°设BE＝x，则AB＝2x，AE=DF＝=x,∴FC＝BC-BE-EF＝BC-AD-BE＝8-2-x＝6-x，在Rt△DFC中，由勾股定理有：DF2+FC2＝DC2，即（）x2+(6-x)2=(2)2,即2x2-3x-9=0，∴x=，∴AB=2x=3，故AB的长为3cm。

【解题技巧点拨】过梯形的上底的两个端点分别作下底的垂线，是解决梯形问题的常见辅助线之一，它把一般的梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，从而利用直角三角形和矩形的性质使问题得到解决。例2如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别AD、BC的中点，若∠B与∠C互余，试证：2MN＝BC—AD。证明：如图，过点M分别作ME∥AB，MF∥DC，交BC于点E、F，则∠1＝∠B，∠2＝∠C，又AD∥BC，∴四边形ABEM和四边形DCFM均为平行四边形，∴BE＝AM，FC＝MD，∴EF=BC-BE-FC=BC-AM-MD＝BC-AD．∵M、N分别是AD、BC的中点，∴N点也为EF的中点又∠B＋∠C＝90°，∠1=∠B，∠2＝∠C，∴∠1+∠2＝90°∴△MEF为Rt△，且MN为其斜边上的中线．∴MN＝EF，即2MN=EF，故2MN=BC-AD。

【解题技巧点拨】平移梯形的一腰或两腰是解决梯形问题的常见辅助线之一，本题中通过平移两腰，将原梯形分割成两个平行四边形和一个三角形，而这个三角形又恰好集中了原梯形的两腰和上、下两底之差等重要几何元素，这为解决问题创造了极为有利的条件。

【综合能力训练】一、填空题1.下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是梯形；②一组对边平行且不相等的四边形是梯形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形；④一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形，其中真命题的序号是.2.（2001年杭州市中考题）梯形上、下两底（上底小于下底）的差为6，中位线的长为5，那么上、下底的长各为.3.（2001年杭州市中考题）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线EF分别与BD、AC交于点G、H，若AD＝6，BC＝10，则GH=。4.（2001年江西省中考题）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，AE⊥BC于点E，AE＝AD＝2cm，则这个梯形的中位线长为.5.（2001年厦门市中考题）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD∶BC＝3∶5，梯形ABCD的面积是8cm2，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM、CM的中点，则四边形MENF的面积是cm2.6.从△ABC的顶点A向∠C的平分线作垂线AD，垂足为D，过D作BD的平行线交AB于E，若AB＝10cm，则BE＝。7．如图，下面的结论：①若l1∥l2，BC＝AB，则AE＝EF；②若l1∥l2，BC=CD，则EF＝FG；③l1∥l2∥l3，若BC＝CD，则EF=FG；④若l2∥l3，AC＝2CD，则AF=2FG，其中正确结论的序号是。8．梯形中位线被两条对角线分成三部分，中间一段长7cm，则梯形下底与上底之差等于。9．一梯形的两条对角线互相垂直，上、下底之和为3，则梯形两条对角线的平方和等于。10．梯形ABCD中，AB∥CD、AD=BC，BD平分∠ABC，若∠A＝60°梯形的周长为30cm，则梯形的面积等于。

二、选择题11．（2001年陕西省中考题）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）A．1对 B．2对 对 D．4对12．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，中位线EF＝15cm，∠DAB=60°，且AC平分∠DAB，则梯形ABCD的周长是（）A．60cm B．50cm C．40cm D．30cm13．梯形ABCD中，AB∥CD，AB最长，AD＝BC＝12cm，对角线分中位线EG为EF＝10cm，FG＝4cm，则∠B为（）A．30° B．45° C．60° D．72°14．以线段16、13、10、6为边作梯形，这样的梯形可以作（）A．1个 B．2个 C．3个 D．多于3个15.（2001年北京市东城区中考题）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD+BC＜DC，若腰DC上有点P，使AP⊥BP，则这样的点（）A．不存在 B．只有一个 C．只有两个 D．有无数个16．梯形的上底为a，下底为b，则梯形被其中位线分成的两部分面积之比为（）A. B. C. D.

三、解答下列各题：17.（2001年北京市海淀区）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠D＝120°，对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长为20，求AC的长及梯形面积S．

18.如图，已知在四边形ABCD中，有AB＝DC，∠B＝∠C，AD<BC，求证：四边形ABCD为等腰梯形．

19．已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B＝90°，BC=6cm,AD＝8cm，AB＝3CD，求此梯形的中位线长及面积．

20.如图，P是四边形ABCD内一点，PA＝PB＝PC＝PD，又AB＝CD，试确定ABCD的形状，并证明．

21．（2001年乌鲁木齐市中考题）如图，正方形ABCD的边长为，有一点P在BC上运动，设PB＝X，梯形APCD的面积为Y，（1）写出Y与X的函数关系式；（2）如果S△ABP=S梯形APCD，试确定P点的位置．

【创新备考训练】22．（2001年常州市中考题）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD=，AD=1，∠B＝45°，动点E在折线BA－AD－DC上移动，过点E作EP⊥BC于点P，设BP＝X，请写出题中所有能用X的代数式表示的图形的面积．

23．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD＝3，P是BC上一点，PE∥AB，PF∥CD分别交AC、BD于E、F，设PE、PF的长分别为m，n，X＝m＋n，那么当P点在BC上移动时，X值是否变化？若变化，求出X的取值范围；若不变，求出X的值，并说明理由．

参考答案【综合能力训练】一、1.②、85.cm27.①③④二、三、=4,S=1218.提示：延长两腰或平移AB或平移DC