5.4三角函数的图象与性质（精讲）（原卷版）

5.4三角函数的图象与性质（精讲）三角函数的图像及性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{xeq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x∈R，且))x≠kπ＋eq\f(π,2)}值域[－1，1][－1，1]R最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无二．周期函数条件①对于函数f(x)，存在一个非零常数T(T>0)②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)结论函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期条件如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数结论这个最小正数叫做f(x)的最小正周期一．用三角函数图象解三角不等式(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0，2π]上的图象；(2)写出适合不等式在区间[0，2π]上的解集；(3)根据公式一写出不等式的解集.二．求三角函数周期(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝eq\f(2π,|ω|).(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.三．判断函数奇偶性(1)看函数的定义域是否关于原点对称；(2)看f(－x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.四．单调区间的求法求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间，要先把ω化为正数．(1)当A>0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递增区间．(2)当A<0时，把ωx＋φ整体代入y＝sinx或y＝cosx的单调递增区间内，求得的x的范围即为函数的单调递减区间；代入y＝sinx或y＝cosx的单调递减区间内，可求得函数的单调递增区间．五．比较三角函数值大小(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．六．求三角函数值域或最值（1）形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sint的最值(值域).(2)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sinx，将函数y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值).(3)对于形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值还要注意对a的讨论.考点一“五点法”作图的应用【例11】（2022·全国·高一专题练习）作出下列函数在一个周期图象的简图：(1)；(2)；(3)；(4)．【例12】（2023秋·高一课时练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？（1）；（2）；（3）.考点二正弦、余弦函数的周期【例21】（2023湖南）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin D．y＝cos【例22】（2023秋·高一课时练习）下列函数，最小正周期为的是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）函数的最小正周期是（

）A． B． C． D．2．（2023北京）下列函数中，最小正周期为π的函数是（

）A． B．C． D．3．（2023·全国·高一假期作业）（多选）下列函数中，是周期函数的是（）A． B．C． D．4．（2023春·江西上饶·高一校联考期中）（多选）下列函数，最小正周期为的有（

）A． B．C． D．考点三正弦、余弦函数的奇偶性【例31】7．（2023春·四川眉山·高一校考期中）下列函数中是奇函数，且最小正周期是的函数是（

）A． B． C． D．【例32】（2021春·陕西榆林·高一校考阶段练习）若函数）是奇函数，则的最小值为（

）A． B． C． D．【例33】（2023秋·高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．(1)；(2)；(3).【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数（

）A．是奇函数，但不是偶函数B．是偶函数，但不是奇函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数2．（2023春·云南·高一校考阶段练习）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（）A． B．C． D．3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知函数是奇函数，则的值可以是（

）A．0 B．C． D．4．（2023秋·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期末）（多选）以下函数是偶函数的是（

）A． B． C． D．考点四正弦、余弦函数的对称性【例41】（2023春·北京·高一北京市第一六一中学校考期中）函数的图象（

）A．关于直线对称 B．关于直线对称C．关于点对称 D．关于点对称【例42】（2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知常数，如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023云南）函数图象的一个对称中心可以是（）A． B． C． D．2．（2023春·四川成都·高一校考期中）下列直线中，可以作为曲线的对称轴的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·河南驻马店·高一统考阶段练习）（多选）已知函数，则（

）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称考点五正弦、余弦函数的单调性【例51】（2023春·重庆江津·高一校考期中）（多选）函数在（

）A．区间上是增函数 B．区间上是增函数C．区间上是减函数 D．区间上是减函数【例52】（2022春·上海浦东新·高一校考期末）函数的单调递增区间是.【例53】（2023春·广西钦州·高一校考期中）（多选）下列函数在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【例54】（2023春·安徽马鞍山·高一安徽省当涂第一中学校考期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【一隅三反】1．（2023春·宁夏吴忠·高一青铜峡市高级中学校考期中）函数的一个单调减区间是（）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一专题练习）函数的一个单调递减区间为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·高一课时练习）函数的单调递减区间为.4．（2023·全国·高一课堂例题）函数的单调递增区间为．5．（2023秋·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期末）已知函数其中．若在区间上单调递增，则ω的取值范围是（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．考点六正弦、余弦函数的单调性的应用【例61】（2023春·福建泉州·高一校联考期中）下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【例62】（2023春·江苏苏州·高一统考期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023春·广西钦州·高一校考期中），，的大小顺序是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一假期作业）下列选项中错误的是（

）A． B．C． D．3．（2023春·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期中）设，则大小关系（

）A． B．C． D．考点七正弦、余弦函数的最值(值域)问题【例71】（2023春·四川眉山·高一校考期中）已知函数，则的值域是（

）A． B． C． D．【例72】（2023·全国·高一专题练习）函数的最小值是．【例73】（2023春·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）函数的值域为．【例74】（2023春·四川眉山·高一校联考期中）已知函数的值域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【一隅三反】1（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期末）函数的值域是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·陕西安康·高一校联考期末）函数的最小值是．3．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数，若在上的值域是，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（2023春·四川南充·高一四川省南充市白塔中学校考期中）函数的值域为.考点八正切函数图像及性质【例8】（2024秋·广东）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．的最小正周期为B．在上单调递减C．D．的定义域为【一隅三反】1．（2023春·辽宁大连·高