永磁同步电动机系统的非线性控制

永磁同步电动机系统的非线性控制

永速机系统是一个非线性的多变量系统。由于可控对象的非线性和强耦合，因此无法应用线性控制理论系统的能控性和能观性分析。近20年来,微分几何方法在非线性系统控制理论中得到了广泛的应用,并取得了一系列重要成果,发展成一种相当完善的理论与方法——非线性控制系统的几何理论.从非线性控制系统的几何理论观点来看,永磁同步电动机系统属于一类仿射非线性系统,因此,可以应用非线性控制系统的几何理论对永磁同步电动机系统的结构性质进行分析.在此方面,已经有一系列针对异步电动机系统的研究成果,文献从能控性李代数概念出发证明了异步电动机系统是局部弱能控的,文献从不变的最小分布的概念出发证明了感应电动机系统是弱能控和弱能观的.永磁同步电动机是由绕线式同步电动机系统发展而来,也是一类交流电机,它的转子利用永磁体代替电励磁,定子仍要求输入三相对称正弦电流,它与异步电动机在结构和模型上有相似和相异之处.本文应用非线性控制系统的几何方法,对永磁同步电动系统的能控性与能观性进行分析.1[1f]系统考虑仿射非线性控制系统{⋅x=f(x,u)=f(x)+m∑i=1gi(x)ui(t)‚yi(t)=hi(x),i=1,2,⋯,m.(1.1)其中,状态x∈M,控制u∈N,输出y∈W,M、N、W分别为n、m、r维微分流形,f(x)、g(x)、h(x)都是x的解析函数.我们不加证明地引述下列定理:定理1.1考虑f(x,u)在u为不同常数下构成的向量场集合F≜{f(x,u)|u=const}‚(1.2)记F所生成的李代数为˜F,则˜F中任意有限个元f1,f2,…,fs,s<∞作成的李括号[f1,f2,…,fs]在RL上的线性组合所形成的集合,即˜F={F}LA={t∑λ=1rλ[fλ1,fλ2‚⋯,fλsλ]|rλ∈RL‚fλj∈F‚j=1,2,⋯‚sλ‚sλ<∞‚t<∞}.(1.3)上式所定义的˜F称为系统(1.1)的能控性李代数,如果系统的能控性李代数在某一点x0满秩,即dim{˜F)|x=x0=n,(1.4)则系统在点x0处局部弱能控.定理1.2解析非线性系统在x0点强可接近的充要条件为dim{F0}x0=n,(1.5)且对任一T>0,R(x0,t)的内点在R(x0,t)中稠.其中:F0={p∑i=1λiXi+Y|λi∈RL‚p∑i=1λi=0,Xi∈˜F,Y∈F′};F={f(x,u)|u=const};˜F={F}LA={t∑λ=1rλ[fλ1,fλ2‚⋯,fλsλ]|rλ∈RL‚fλj∈F‚j=1,2,⋯,sλ‚sλ<∞‚t<∞}；F′={∑iri[Xi1,Xi2‚⋯,Xisi]|ri∈RL‚i<∞‚Xij∈F‚j=1,2,⋯,si‚2≤si<∞}.定理1.3构造一簇C∞函数Η={p∑i=1λiLix1Lix2⋯Lixsi(hj)|p<∞‚λi∈RL‚xi1‚xi2‚⋯‚xisi∈F‚si<∞}‚(1.6)定义能观性余分布H={dc|c∈H},如果系统(1.1)在点x0处的能观性余分布满秩,即dim{H}|x0=n,(1.7)则系统在x0处局部弱能观.2永磁同步发电机系统的解析确定在一般情况下,永磁同步电动机的输入为三相交流电压,当采用电压型SPWM逆变器供电时,为简化数学模型,作如下假设:①忽略铁心饱和;②不计涡流和磁滞损耗;③转子上没有阻尼绕组;④永磁材料的电导率为零;⑤相绕组感应电动势是正弦的.运用坐标变换可以得到永磁同步电动机系统在任意旋转的d、q坐标系上的数学模型.d、q轴磁链方程:ψd=Ldid+ψf‚(2.1)ψq=Lqid；(2.2)d、q轴电压方程:ud=Rid+Ldpid-ω1Lqiq‚(2.3)uq=Riq+Lqpiq+ω1Ldid+ω1ψf；(2.4)转矩方程和运动方程:Τe=np[ψfiq+(Ld-Lq)iqid]‚(2.5)Τe=ΤL+RΩωr+Jdωrdt.(2.6)其中:R为绕组电阻,L为绕组等效电感,i为绕组电流,ψ为绕组磁链,ωr为转子机械角速度,下标d、q表示旋转坐标轴,下标f表示永磁体,Te为电磁转矩,TL为负载转矩,RΩ为粘滞摩擦系数,J为转动惯量,np为极对数,ω1为d、q旋转坐标系旋转速度.由上面各方程可得:[diddtdiqdtdωrdt]=[-RLdid-RLqiq-RΩJωr+np(Ld-Lq)Jidiq+npψfJiq]+[1Ld00]ud+[01Lq0]uq+[LqLdiq-LdLqid-ψfLq]ω1+[00-1J]ΤL.(2.7)设x=[x1x2x3]Τ=[ωridiq]Τ‚u=[u1u2u3]Τ=[uduqω1]Τ‚令a=npJψf‚b=npJ(Ld-Lq)‚c=RΩJ‚k1=LqLd,k2=RLd,k3=1Ld,k4=RLq,k5=ψfLq,k6=1Lq,因而系统永磁同步电动机系统可表示为定义在Ω={x∈R3}上的仿射非线性系统,如下所示:{⋅x=f(x)+g(x)u(t)=f(x)+3∑i=1gi(x)ui(t)+p(x)ΤL‚yi(t)=hi(x),i=1,2,3‚(2.8)其中:f(x)=[ax3+bx2x3-cx1-k2x2-k4x3]‚g1(x)=[0k30]‚g2(x)=[00k6]‚g3(x)=[0k1x3-k5-1k1x2]‚p(x)=[-1J00]‚输出h1(x)=x1,h2(x)=x2,h3(x)=x3.命题2.1永磁同步电动机系统在Ω={x∈R3|x3≠0}上是局部弱能控的.证明:设TL=0,则永磁同步电动机系统(2.8)式为⋅x=f(x)+g(x)u(t)=f(x)+3∑i=1gi(x)ui(t).(2.9)经计算可得:[f,g1]=∂g1∂xf-∂f∂xg1=[bk3x3-k2k30]‚系统的能控性李代数为:˜F={f,g1,g2}LA‚(2.10)可得系统的能控性李代数˜F的秩:dim{˜F}|x3≠0=dim{g1,g2‚[f,g1]}|x3≠0=3.(2.11)由定理1.1可知,系统(2.8)在Ω={x∈R3|x3≠0}是局部弱能控的.下面对永磁同步电动机系统(2.8)的可接近性进行研究.命题2.2永磁同步电动机系统在Ω={x∈R3|x3≠0}是强可接近的.证明:因为f(x)、g(x)、h(x)都是x的解析函数,不难证明永磁同步电动机系统(2.8)是解析的非线性系统(证明过程略).经计算可得:˜F={f,g1,g2}LA‚F0={adkfgi|i=1,2,3;k≥0}‚因为{g1,g2‚[f,g1]}⊂F0‚而在证明永磁同步电动机系统得弱能控性时我们已经求得dim{g1,g2,[f,g1]}|x3≠0=3,所以有dim{F0}|x3≠0=3.(2.12)从而根据定理1.2可知,永磁同步电动机系统(2.8)在Ω={x∈R3|x3≠0}上是强可接近的.命题2.3永磁同步电动机系统在Ω={x∈R3}是局部弱能观的.证明:dh1=(100),dh2=(010),dh3=(001),Lfh2=-k2x2,d(Lfh2)=(0-k20),Lfh3=-k4x3,d(Lfh3)=(00-k4),H=span{dh1,dh2,dh3,d(Lfh1),d(Lfh2)},由上可得:dim{H}=3.(2.13)由定理1.3可知永磁同步电动机系统(2.8)是局部弱能观的.在上面的分析所得出的结论中,存在一个前提条件x3≠0,即iq≠0;从永磁同步电动机的转矩方程可以看出,如果iq=0,则电动机的电磁转矩为零.3永磁同步电动系统的结构特性,原理如下结论1一般情况下,非线性系统的弱能控性并不能直接反映系统输入控制状态运动的能力.我们研究永磁同步电动机系统的弱能控性,是为了能够对系统进行类似线性系统的局部能控性分解和Kalman分解等结构分析工作.通过上述分析可知,永磁同步电动机系统在Ω={x∈R3|x3≠0}上是局部弱能控的,说明系统不存在不可控的结构分解形式.结论2永磁同步电动机系统在Ω={x∈R3|x3≠0}上是强可接近的,也就是说,对于永磁同步电动机系统的每个状态xT(xT=[ωidiq]T),在Ω上都可以找到适当的控制u(u=[uduqω1]T),在Ω内使系统的状态轨迹从初始状态x0到达所需要的状态xT,当然状态x的值必须在所规定的电动机的额定值范围内.结论3永磁同步电动机系统是局部弱能观的表明系统的状态x∈R3