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第二章直线和圆的方程章节验收测评卷(综合卷)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末)直线SKIPIF1<0的倾斜角是(
)A.30° B.60° C.120° D.150°【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,所以其倾斜角为30°.故选:A.2.(2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习)已知命题SKIPIF1<0:直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行,命题SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以命题SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,命题SKIPIF1<0.则由命题SKIPIF1<0不能得到命题SKIPIF1<0,但由命题SKIPIF1<0可得到命题SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分不必要条件.故选:A.3.(2023春·河南开封·高二统考期末)已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称,则圆SKIPIF1<0的标准方程为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【详解】由题意可得,圆SKIPIF1<0的圆心坐标为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,设圆心SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.故选:A4.(2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末)已知圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0有公共点,则SKIPIF1<0的取值范围为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】由题知:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0有公共点,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0.故选:C5.(2023秋·广东深圳·高二统考期末)已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,且与线段SKIPIF1<0有交点,则SKIPIF1<0的斜率的取值范围为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】D【详解】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,垂足为点SKIPIF1<0,如图所示:设直线SKIPIF1<0交线段SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0在从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0(不包括点SKIPIF1<0)时,直线SKIPIF1<0的倾斜角逐渐增大,此时SKIPIF1<0;当点SKIPIF1<0在从点SKIPIF1<0运动到点SKIPIF1<0时,直线SKIPIF1<0的倾斜角逐渐增大,此时SKIPIF1<0.综上所述,直线SKIPIF1<0的斜率的取值范围是SKIPIF1<0.故选:D.6.(2023秋·高一单元测试)已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最大值是(
)A.SKIPIF1<0 B.4 C.SKIPIF1<0 D.7【答案】C【详解】法一:令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,代入原式化简得SKIPIF1<0,因为存在实数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0,法二:SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0,法三:由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则圆心到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0故选:C.7.(2023·全国·模拟预测)设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0均为正实数,若直线SKIPIF1<0被圆SKIPIF1<0截得的弦长为2,则SKIPIF1<0的取值范围是(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,由题意可知,圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,两边平方并整理,得SKIPIF1<0,由基本不等式可知,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时,取等号,于是有SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选:C.8.(2023秋·湖南张家界·高二统考期末)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻且系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点SKIPIF1<0与两定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0,那么点SKIPIF1<0的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点SKIPIF1<0与两定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0时的阿波罗尼斯圆为SKIPIF1<0.下面,我们来研究与此相关的一个问题:已知圆SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0和定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【详解】如图,点M在圆SKIPIF1<0上,取点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0不共线时,SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,当点SKIPIF1<0共线时,有SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,当且仅当点M是线段BN与圆O的交点时取等号,所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选:C二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.(2023·江苏·高二假期作业)以SKIPIF1<0为顶点的三角形,下列结论正确的有(
)A.SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0C.以SKIPIF1<0点为直角顶点的直角三角形D.以SKIPIF1<0点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【详解】对于A,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以A正确,对于B,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以B错误,对于C,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0以SKIPIF1<0点为直角顶点的直角三角形,所以C正确,对于D,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以D错误,故选:AC10.(2023春·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考期中)已知圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0外切,则SKIPIF1<0的值可以为(
)A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】AC【详解】圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0,圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0,因为圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0:SKIPIF1<0外切,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选:AC.11.(2023春·湖南·高三校联考阶段练习)已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0,则(
)A.直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0一定相交 B.直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0C.圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0距离的最大值是SKIPIF1<0 D.使得圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为2的直线SKIPIF1<0有2条【答案】AB【详解】SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0,对于B,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0,B正确;SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0,所以圆心SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,半径为3.对于A,SKIPIF1<0,则点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0内,从而直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0一定相交,故A正确;对于C,设圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,则C错误;对于D,因为圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为2,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以使得圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为2的直线SKIPIF1<0有且仅有1条,则D错误.故选:AB12.(2023春·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习)已知SKIPIF1<0分别为圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0上的两个动点,SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一点,则(
)A.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0D.SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】AC【详解】圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0,所以其圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0,所以其圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.如图,连接SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,此时SKIPIF1<0三点共线,SKIPIF1<0最小,则SKIPIF1<0最小,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<03,故A正确、B错误;因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0取到最大值且点SKIPIF1<0共线时,SKIPIF1<0SKIPIF1<0取到最大值.由图可知,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0,故C正确;SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0不能共线,SKIPIF1<0最小值不存在,D错误.故选:AC三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分,其中第16题第一空2分,第二空3分.)13.(2023春·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考期末)若两条平行直线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0与SKIPIF1<0:SKIPIF1<0间的距离为2,则SKIPIF1<0______.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】由题意可得:SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.14.(2023秋·高一单元测试)已知圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0内切,则SKIPIF1<0的最小值为_______【答案】2【详解】圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0,半径为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两圆的圆心距SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两圆内切,SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0时,取得最小值,SKIPIF1<0的最小值为2.故答案为:2.15.(2023春·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中)已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是曲线SKIPIF1<0上的动点,SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0上的一个动点,则SKIPIF1<0的最小值为______.【答案】SKIPIF1<0【详解】如图,曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心,以SKIPIF1<0为半径的圆,则根据圆的性质可知,SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0,则可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,连接SKIPIF1<0,分别交直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0三点共线时取等号,此时取得最小值SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<016.(2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末)对非原点O的点M,若点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,则称SKIPIF1<0为M的“r-圆称点”,图形G上的所有点的“r-圆称点”组成的图形SKIPIF1<0称为G的“r-圆称形”.SKIPIF1<0的“3-圆称点”为______,圆SKIPIF1<0(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为______.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】由题意得:SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上,即在SKIPIF1<0轴正半轴上,故SKIPIF1<0的“3-圆称点”为SKIPIF1<0;设圆SKIPIF1<0(不包含原点)的一点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设其“r-圆称点”为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又点SKIPIF1<0在射线SKIPIF1<0上,不妨设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,整理得:SKIPIF1<0,综上,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,故圆SKIPIF1<0(不包含原点)的“3-圆称形”的方程为SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.四、解答题(本题共6小题,共70分,其中第17题10分,其它每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(2023春·江苏扬州·高二统考开学考试)已知直线SKIPIF1<0,求:(1)过点SKIPIF1<0且与直线l平行的直线的方程;(2)过点SKIPIF1<0且与直线l垂直的直线的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】(1)因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,所以与直线l平行的直线的斜率为SKIPIF1<0,又所求直线过SKIPIF1<0,所以所求直线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.(2)因为直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,所以与直线l垂直的直线的斜率为SKIPIF1<0,又所求直线过SKIPIF1<0,所以所求直线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.18.(2023春·上海宝山·高二统考期末)已知直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0,求实数SKIPIF1<0的值;(2)若直线SKIPIF1<0在两个坐标轴上的截距相等,求实数SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】(1)直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0重合,不符合题意;当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不重合,符合题意,故SKIPIF1<0.(2)当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0在两坐标轴上的截距为SKIPIF1<0,满足直线SKIPIF1<0在两个坐标轴上的截距相等;当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时,则直线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0轴上的截距为SKIPIF1<0,由题意可知,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时直线SKIPIF1<0,显然不符合题意,综上所述,SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.19.(2023春·重庆沙坪坝·高一重庆一中校考期末)在平面直角坐标系中,圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且圆心SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)求圆SKIPIF1<0的方程;(2)若已知点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线,求切线的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】(1)因为圆SKIPIF1<0过SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的中垂线过圆心SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,又圆心在SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因此圆心SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0,所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.
.(2)因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0外,过SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线,若切线斜率不存在时,则切线方程为SKIPIF1<0,满足与圆SKIPIF1<0相切,若切线斜率存在时,设切线方程SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以切线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.综上:切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.20.(2023秋·重庆长寿·高二统考期末)已知圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且________.从下列3个条件中选取一个,补充在上面的横线处,并解答.①过直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点SKIPIF1<0;②圆SKIPIF1<0恒被直线SKIPIF1<0平分;③与SKIPIF1<0轴相切.(1)求圆SKIPIF1<0的方程;(2)求过点SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0的切线方程.【答案】(1)选择见解析,SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【详解】(1)选择①:联立SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三点均在圆上,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0;选择②:直线SKIPIF1<0的方程可化为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0上式恒成立,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0为圆心SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0;选择③:设圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,由题可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0;(2)因为SKIPIF1<0,所以点P在圆E外,①若直线斜率不存在,直线方程为SKIPIF1<0,圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为5,满足题意;②当直线斜率存在时,设切线的斜率为SKIPIF1<0,则切线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因为直线与圆SKIPIF1<0相切,所以圆心SKIPIF1<0到直线的距离SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以直线的方程为SKIPIF1<0,综上可得:过点SKIPIF1<0的圆SKIPIF1<0的切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.
21.(2023秋·高一单元测试)已知直线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0与圆O:SKIPIF1<0相交于不重合的A,B两点,O是坐标原点,且A,B,O三点构成三角形.
(1)求SKIPIF1<0的取值范围;(2)SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值,并求取得最大值时SKIPIF1<0的值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0的最大值为2,取得最大值时SKIPIF1<0【详解】(1)解法一:由题意知:圆心到直线的距离SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0与圆O相交于不重合的A,B两点,且A,B,O三点构成三角形,所以SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.解法二:联立SKIPIF1<0,化简得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,因为A,B,O三点构成三角形,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.(2)直线SKIPIF1<0:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,点O到直线SKIPIF1<0距离:SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为2,取得最大值时SKIPIF1<0.22.(2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中)已知过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0是弦SKIPIF1<0的中点,且直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0.(1)当直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直时,求证:直线SKIPIF1<0经过圆心SKIPIF1<0;(2)当弦长SKIPIF1<0时,求直线SK
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