第02讲 二次函数y=ax²的图像和性质（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第02讲二次函数的图像和性质会用描点法画出二次函数（a≠0）的图像，并结合图像理解抛物线、对称轴、顶点坐标及开口方向等概念。；掌握二次函数（a≠0）的图像和性质，并解决简单的应用；知识点1y=ax²的图像画法：应先列表，（2）再描点，（3）最后连线。列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势。【问题1】在平面直角坐标系中画出y＝x2的图象并简单描述其性质。【解答】解：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…41014…（2）描点、连线：．二次函数y＝x2的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向上（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而减少，当x＞0时，y随x的增大而增大；（6）有最低点.【问题2】在平面直角坐标系中画出y＝﹣x2函数的图象．【解答】解：列表得：﹣2﹣1012y＝﹣x2﹣4﹣10﹣1﹣4描点、连线可得图象为：．二次函数y＝-x2的性质：（1）y＝-x2图像是一条抛物线（2）关于y轴对称（3）开口向下（4）顶点（0，0）（5）当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减少；（6）有最高点.总结：y=ax²的图像的性质小结：从二次函数的图象可以看出，对于抛物线y=ax²来说，越大，抛物线的开口越小知识点2：二次函数y=ax²的图像及性质的应用二次函数y=ax²的图像关于y轴对称，因此图像左右两部分折叠可以重合，在比较二次函数大小时，我们可以根据图中点具有的对称性转变到同一变化区域；根据图像中函数值高低去比较；对于不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解。【题型1二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】【典例1】抛物线y=3x2A．直线x=3B．直线x=-3C．直线x=0D．直线y=0【答案】C【解答】解：对称轴为直线：x=-b2a其中，a=3，b=0，∴x=0，故答案为：C．【变式1-1】（2022九上·定南期中）抛物线y=2x2的图象的对称轴是【答案】y轴【解析】解：∵二次函数y=2x2的对称轴为直线x=-b2a，a=2∴x=0，即二次函数的对称轴为y轴．故答案为：y轴【变式1-2】抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是；对称轴是【答案】（0，0）；y轴或x=0【解答】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标是（0，0）；对称轴是y轴或x=0【题型2二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】【典例2】抛物线y＝2x2与y＝－2x2相同的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．有最低点D．对称轴是x轴【答案】B【解答】解：抛物线y=2x2的开口向上，对称轴为y抛物线y=-2x2开口向下，对称轴为y故抛物线y=2x2与y=-2x2相同的性质是对称轴都是故答案为：B.【变式2-1】（2022九上·青秀月考）二次函数y=-xA．向下 B．向上 C．向左 D．向右【答案】A【解析】解：∵二次函数y=-x2∴二次函数y=-x故答案为：A【变式2-2】（2022九上·瑞安期中）已知抛物线y=ax2（A．-2 B．14 C．1 D．【答案】A【解析】解：抛物线y=ax2（a≠0）的开口向下，∴a＜0，故只有A选项符合题意.故答案为：A.【典例3】（2021秋•武冈市期末）已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是．（请用“＞”连接排序）【答案】a1＞a2＞a3＞a4【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案为：a1＞a2＞a3＞a4【变式3-1】（2022九上·上思月考）在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=【答案】a3＞a2＞a1【解析】解：由函数图象可知：a3＞a2＞a1.故答案为：a3＞a2＞a1【变式3-2】（秋•建邺区期末）已知两个二次函数的图象如图所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【答案】＞【解答】解：如图所示y＝a1x2的开口大于y＝a2x2的开口，开口向下，则a2＜a1＜0，故答案为：＞．【变式3-3】如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为．【答案】a＞b＞d＞c【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．【题型3二次函数y=ax²图像性质】【典例4】关于抛物线y＝3x2，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点坐标为（0，3）C．对称轴为y轴D．当x＜0时，函数y随x的增大而增大【答案】C【解答】解：∵y＝3x2，∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，0），∴A、B都不符合题意，C符合题意，∵a＝3＞0，对称轴为x＝0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∴D不符合题意，故答案为：C．【变式4-1】（2021九上·肥东期末）二次函数y=x2的图象经过的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【解析]解：∵y=x2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），∴抛物线经过第一，二象限．故答案为：A【变式4-2】（2022九上·河西期中）在抛物线y=xA．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，1）【答案】C【解析】解：A.0≠1，故A选项不符合题意；B.2≠4，故B选项不符合题意；C.1=1，故C选项不符合题意；D.1≠0，故D选项不符合题意．故答案为：C．【变式4-3】（2022九上·萧山期中）对于y=-xA．开口向下 B．对称轴为直线x=0C．顶点为(0，0) D．y随【答案】D【解析】解：y=-x2中a=-1<0，开口向下，对称轴为直线x=0，B正确，不符合题意；顶点为(0，0)，当x<0时y随着x的增大而增大，D错误，符合题意，故答案为：D.【题型4二次函数y=ax²平移规律】【典例5】（2022秋•津南区期末）抛物线y＝（x﹣2）2是由抛物线y＝x2平移得到的，下列平移正确的是（）A．向上平移2个单位长度 B．向下平移2个单位长度 C．向左平移2个单位长度 D．向右平移2个单位长度【答案】D【解答】解：将抛物线y＝（x﹣2）2平移得到抛物线y＝x2，则这个平移过程正确的是向右平移了2个单位，故选：D．【变式5-1】（2022九上·密云期末）将抛物线y=xA．y=(x+1)2B．y=(x-1)2【答案】B【解析】解：抛物线y=x2向右平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是故答案为：B．【变式5-2】（2022九上·门头沟期末）如果将抛物线y=x2向上平移A．y=(x+3)2 B．y=(x-3)2C．y=【答案】C【解析】解：抛物线y=x2向上平移3个单位长度可得故答案为：C【变式5-3】（2023九上·南宁期末）抛物线y=xA．y=(x+1)2 B．y=(x-1)2 C【答案】D【解析】解：抛物线y=x2向下平移一个单位得到抛物线解析式为：故答案为：D.【题型5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】【典例6】（2022九上·普陀期中）已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在抛物线y=-x2上，如果x1<x【答案】＜【解析】解：∵y=-x∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∵x1∴y1【变式6】若点A(-1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，则y1，y2的大小关系为：【答案】＜【解答】解：∵若点A(−1,y1)，B(2,y2)在抛物线y=2x2上，y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，∵2＜8，∴y1﹤y2．故答案为：﹤.【题型6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】【典例7】（榆社县期末）在同一坐标系中，函数y＝ax2与y＝ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵a＜0，∴二次函数y＝ax2的图象的开口方向是向下；一次函数y＝ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；故选：B．【变式7-1】（2022九上·桐庐月考）已知a≠0，在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故A错误；B、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B错误；C、函数y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但当x＝1时，两函数图象有交点（1，a），故C正确；D、函数y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D错误．故答案为：C．【变式7-2】（2021九上·鄂尔多斯期中）二次函数y＝ax2与一次函数A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），排除A、B；当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当故答案为：D．【题型7二次函数y=ax²图像及性质的实际应用】【典例8】（2020•兰州）如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB时，宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m．（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？【答案】（1）（2）5小时【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可设D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就达到警戒线CD，则B（10，b﹣3），把D、B的坐标分别代入y＝ax2得：，解得．∴y＝；（2）∵b＝﹣1，∴拱桥顶O到CD的距离为1m，∴＝5（小时）．所以再持续5小时到达拱桥顶．【变式8-1】（2022九上·中山期中）如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建立平面直角坐标系，作出函数y=13x2与y=-1【答案】8【解析】解：∵函数y=13x2与∴图中的阴影部分的面积是图中正方形面积的一半，∵正方形的边长为4，∴S故答案为：8．【变式8-2】（2020九上·临江期末）如图，A、B为抛物线y＝x2上的两点，且AB//x轴，与y轴交于点C，以点O为圆心，OC为半径画圆，若AB＝22，则图中阴影部分的面积为【答案】π【解析】解：∵AB=22，∴BC=12AB=12×22=2∴点B的横坐标为2，代入抛物线解析式得，y=（2）2=2，∴OC=2，即圆的半径为2，由图可知，阴影部分的面积等于圆的面积的14，即为14×π×22故答案为：π．1．（2023•宾阳县一模）抛物线y＝x2向上平移2个单位，所得抛物线的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【答案】A【解答】解：∵抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴向上平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（0，2），∴新抛物线解析式为y＝x2+2．故选：A．2．（2022•黑龙江）若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【答案】A【解答】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．故选：A．3．（2023•延安一模）如图是四个二次函数的图象，则a、b、c、d的大小关系为（）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a【答案】B【解答】解：因为直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），所以，a＞b＞c＞d．故选：B．4．（2023•增城区一模）已知A（0，y1），B（3，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定【答案】A【解答】解：将A（0，y1），B（3，y2）代入y＝（x﹣2）2，得：，，∴y1＞y2．故选：A．1．若二次函数y＝ax2的图象经过点(1，－2)，则它也经过（）A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)【答案】A【解答】解：∵图象经过点（1，-2），∴a=-2，∴y=-2x2，AB、当x=-1时，y=-2×（-1）2=-2，∴A正确，B错误；C、当x=1时，y=-2×12=-2，错误；D、当x=2时，y=-2×22=-4，错误.故答案为：A.2．下列关于二次函数y＝2x2的说法正确的是（）A．它的图象经过点（－1，－2）B．它的图象的对称轴是直线x＝2C．当x＜0时，y随x的增大而增大D．当－1≤x≤2时，y有最大值为8，最小值为0【答案】D【解答】解：二次函数y=2x2，当x=-1时，y=2，故它的图象不经过点（-1，-2），故选项A不合题意；二次函数y=2x2的图象的对称轴是y轴，故选项B不合题意；该函数开口向上，对称轴是y轴，所以当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项C不合题意；二次函数y=2x2，在-1≤x≤2的取值范围内，当x=2时，有最大值8；当x=0时，y有最小值为0，故选项D符合题意.故答案为：D.3．二次函数y=x2，当-1≤x≤3时，函数值yA．1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．0≤y≤1 D．y≥0【答案】B【解答】解：∵y=x2∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，当-1≤x≤0时，y随x的增大而减小，∴当x=-1时，y有最大值1，当x=0时，y有最小值0，当0≤x≤3时，y随x的增大而增大，∴当x=3时，y有最大值9，当x=0时，y有最小值0，∴当-1≤x≤3时，y的取值范围是0≤y≤9，故答案为：B．4．已知二次函数y＝（a﹣1）x2，当x≥0时，y随x增大而增大，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a＞1 C．a≥1 D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y=(a-1)x2的对称轴为y轴，当x>0∴二次函数y=(∴a-1>0，即：a>1，故答案为：B.5．若抛物线y=ax2经过点A．(4,-7)B．(7,4)【答案】B【解答】解：由抛物线y=ax2可知抛物线的对称轴为∵抛物线y=ax2经过∴点(-7,4)关于y∴它也经过点(7故答案为：B．6．二次函数y＝ax2与一次函数A． B．C． D．【答案】D【解答】解：由一次函数y＝ax+a可知，一次函数的图象与x轴交于点（-1，0），排除A、B；当a>0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当故答案为：D．7.（秋•龙岩期末）将抛物线y＝x2通过一次平移可得到抛物线y＝（x+5）2，对这一平移过程描述正确的是（）A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度【答案】C【解答】解：将抛物线y＝x2平移得到抛物线y＝（x+5）2，则这个平移过程正确的是向左平移了5个单位，故选：C．8．苹果熟了，从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足S＝12gt2（g＝9.8），则s与t的函数图象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解答】解：∵s＝12gt2∴二次函数的图象是一条抛物线．又∵12g＞0∴应该开口向上，∵自变量t为非负数，∴s为非负数．∴图象是抛物线在第一象限的部分．故答案为：B．9．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=2，与二次函数y=x2，y=ax2分别交于A、B和C、D，若CD=2ABA．4 B．14 C．2 D．【答案】B【解答】解：如图，设直线AB交y轴于点E，∵直线y=2与二次函数y=x2交于A、∴当y=2时，x2=2，得x=±∴A(2,2),B(-∴AB=22∵CD=2AB，∴CD=42，由二