扬州中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题（解析版）

江苏省扬州中学2021-2022学年度第一学期期中试题高一数学2021.11一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.1.已知全集，且，求集合A的子集个数是（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出集合，然后再用公式求集合A子集的个数.【详解】因为全集，且，所以，所以集合A的子集个数是.故选：C.2.“或”的充要条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据充要条件的定义，判断各选项与“或”是否互为推出关系即可.【详解】A：必有且，不合要求；B：必有且，不合要求；C：当有或，当或有，互为充要条件，符合要求；D：有互为相反数，不合要求.故选：C3.若“，”是假命题，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题得，，再对分两种情况讨论得解.【详解】由题得，，当时，，符合题意；当时，，解之得.综上，.故选：D4.若函数y=f（x）的定义域是[1，2021]，则函数的定义域是（）A.[0，1010] B.[0，1）∪（1，1010]C.[0，2021] D.(0，1）∪（1，1010]【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域的性质进行求解即可.【详解】因为函数y=f（x）的定义域是[1，2021]，所以有，故选：B5.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质可知，，即可解出．【详解】依题意可知，，所以，解得．故选：B．6.函数的图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】化简函数的解析式为，结合一次函数的图象与性质，即可求解【详解】由题意，函数，当时，；当时，，即，结合一次函数的图象与性质，可得选项B符合.故选：B.7.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中某类物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（）（参考数据：）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化以及对数的运算法则即可解出．【详解】因为，所以，，，所以．故选：C．8.设函数为定义在R上的奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质可知，函数在内是增函数，然后根据单调性解出和，再根据符号法则即可解出不等式．【详解】因为函数为定义在R上奇函数，且在内是增函数，又，所以，且函数在内是增函数，因此或，或，等价于或，解得或．故选：D．二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，集合，使的实数的值可以是（）A.0 B.-2 C.4 D.6【答案】ACD【解析】【分析】结合数轴由集合的运算可得答案.【详解】由集合，，要使，所以，实数的值可以是0，4，6.故选：ACD.10.一次函数满足：，则的解析式可以是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根据待定系数法，设出，可得，再根据对应项系数相等即可求出．【详解】设，则，所以，解得或，即或．故选：AD．11.若，，，则下列命题正确的是（）A.若且，则 B.若，则C.若且，则 D.【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质、作差比较法对选项逐一进行判断.【详解】A.当，时，，故错误；B.因为，，所以，故正确；C.因为且，所以故，所以C正确；D.因为，故正确；故选：BCD12.已知函数是偶函数，且当时，，那么函数的零点个数可能是（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】BC【解析】【分析】函数零点可转化为方程根的个数问题，利用偶函数的对称性，可转化为研究时根的情况，从而求出定义域上根的个数.【详解】因为时，，时，可得，当时，令，即，若时，显然无解，若时，，即时，在上有一个零点，当时，在上没有零点，综上，由函数是偶函数知，时，函数有4个零点，当时，函数有6个零点.故选：BC【点睛】关键点点睛，原问题可转化为根的个数，根据是偶函数，先研究时，根的个数情况，再根据函数是偶函数，扩展到定义域R上根的情况，属于中档题.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13.已知，为实数，设，则___________.【答案】1【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，对数的运算性质即可解出．【详解】因为，所以，，因此．故答案为：1．14.已知函数为定义在R上的奇函数，当时，，则的值为___________.【答案】-2021【解析】【分析】根据奇函数的定义即可解出．【详解】．故答案为：-2021．15.用一根铁丝折成面积为的长方形的四条边，则所用铁丝的长度最短为___________.【答案】【解析】【分析】设长方形的长宽分别为，所以，根据基本不等式即可求出．【详解】设长方形长宽分别为，所以，所用铁丝的长度为，当且仅当时取等号．故答案为：．16.设.若，则=___________；若，则的取值范围是___________.【答案】①.-4②.【解析】【分析】（1）依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程组，即可求出、的值，即可得解；（2）设，则，即可求出的值，所以、，所以0和为方程的根或方程无解，则，即可求出参数的的取值范围；【详解】解：因为的解集为，即和为方程的两根，所以，即，所以，因为，设，则，所以，所以，令得或，当时，，此时，所以；当时，所以0和为方程的根或方程无解；当为方程的根，即，不符合题意；当为方程的根，即，即，不符合题意；所以0和不是的根，故，解得：，则，综上所述，的取值范围是：，即．故答案为：；四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.计算：(1)；(2).【答案】（1）3；（2）520.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出.（2）利用对数的运算性质即可得出.【详解】（1）原式（2）原式18.（1）已知，，，求的最大值；（2）若正数，满足，求的最小值．【答案】（1）2；（2）8.【解析】【分析】（1）由基本不等式可求得答案；（2）由已知得，根据基本不等式可求得答案；【详解】解：（1），当且仅当即时取等号．故的最大值为2．（2），即，∵，故，当且仅当时等号成立，又，∴时，．19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：已知集合.（1）当时，求；（2）若___________，求实数a取值范围.注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答计分.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据分式不等式的解法求出集合，再根据并集的运算即可解出；（2）若选①，则由，可得，再按照子集的定义以及与分类讨论即可解出；若选②，根据补集运算求出，由，可得，再按照子集的定义以及与分类讨论即可解出；若选③，按照交集的定义以及与分类讨论即可解出．【小问1详解】当时，，，所以.【小问2详解】选①，因为，可得.当时，即当时，，合乎题意；当时，即当时，，由可得，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是或；选②，由（1）可得或，因为，则.当时，即当时，，合乎题意；当时，即当时，，由可得或，解得或，此时或.综上所述，实数的取值范围是或；选③，当时，即当时，，，满足题意；当时，即当时，，因为，则或，解得或，此时或.综上所述，实数的取值范围是或.20.设函数.（1）讨论函数的奇偶性，并证明你的结论；（2）若，试判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义加以证明.【答案】（1）答案见解析（2）函数在区间上单调递增，证明见解析【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义以及与分类讨论，即可判断；（2）根据单调性证明的步骤，取值、作差、变形、定号等步骤即可判断和证明．【小问1详解】①当时，函数，定义域关于x轴对称，，所以是奇函数.②当时，函数，定义域关于x轴对称，，所以既不是偶函数，也不是奇函数.【小问2详解】当时，函数在区间上单调递增.证明：在上任取，不妨设，则因为，所以，又，，所以则，即函数在区间上单调递增.21.已知函数.（1）当，且时，求的值；（2）若存在正实数a､b（）使得函数的定义域为时，值域为（），求m的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的单调性可知，可等价于，即可解得的值；（2）根据函数在上单调性，按照，且，以及分类，即可确定在上的值域，从而建立方程组，根据方程根与系数的关系即可解出m的取值范围．【小问1详解】∵，∴在上为减函数，在上为增函数，由且，可得且，故.【小问2详解】若存在正实数a､b（），使得函数的定义域为时，值域为，.①当a，时，由于在上是减函数，故.此时得，得与条件矛盾，所以a､b不存在②当，时，易知0在值域内，值域不可能是，所以a､b不存在.③故只有a，.∵在上是增函数，∴，即，所以a､b是方程的两个根，即关于x的方程有两个大于1的不等实根.设这两个根为､，则，.∴，1-4m>0，∴，即，解得.故m的取值范围是.22.已知函数，函数，实数.（1）当时，解不等式；（2）令函数，对于给定的正实数a，方程有三个不同的实根､､，且，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）当时，；当时，；当时，【解析】【分析】（1）根据题意，去绝对值讨论，即可求解；（2）根据题意，去绝对值转化为分段函数，结合图象交点，即可求解.【小问1详解】根据题意，由，得.当时，，即，解得；当时，，即，解得综上所述，不等式的解集为.【小问2详解】根据题意，得.（i）当时，函数，易知函数在上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.当时，直线与函数的图象有三个交点，，，，当时，，可知，又，即恒成立；①当时，即当时，令，解得或（舍），此时，，即；②当时，即当时，令，可得（舍）或，此