23个基础的圆锥曲线问题 23-高中数学资料文档

23个基础的圆锥曲线专题

221

1、设椭圆E：三+上不=1,其焦点在X轴上，若其准焦距（焦点到准线的距离）〃=），求

a11-a24

椭圆的方程.

22/T

2、设椭圆E:三+==1①〉匕>0）的离心率6=,，其通径（过焦点且垂直于长轴的焦直

/b12

径）d=l,分,弓为两焦点，P是E上除长轴端点外的任一点，/勺尸弓的角平分线加交

长轴于M（zn,0）,求相的取值范围.

1*424I

3、设椭圆E：f+\=13>人>0）的离心率6=—,乙为两焦点，椭圆E与），轴的交点

a1b2212

为A（0,3）,求三角形的面积4。=?

SZAXr»iA//,

2,2

4,如图，设椭圆E:=+二=1（a>/?>0）,A/,N为长轴顶

a2//

点，过左焦点尸、斜率为％=道的直线/交椭圆E于A、B

5

两点，若|E4|=2|EB|,求A£AM.=?

S^FBN

5、设椭圆E：W+g=l（a>h>0）,其离心率6=9，其通径4=季，①求椭圆E的方

M//33

程.②两条焦直径（过焦点的弦）AB与CD互相垂直.求1二+1二=?

\AB\\CD\

6、设椭圆石：匚+二=1,左焦点为尸，在椭圆上任取三个不同

3627

27r

点牛马、弓，使得/弓叫=/弓％=/4巧=7,求：

_L+_L+_L=9

网圈陶

22

7、如图所示，椭圆E:回上+匕=1,过原点的两条直线交圆

169

于ABC。，AO与CB的延长线相交于M,4c与。8的延长线

相交于N,求MN所在的直线方程.

8、设椭圆氏=+二=1(。>匕>0),过右焦点的直线/：x+y-石=0交E于4B两点,P为

AB中点.

⑴若OP的斜率为：k=L求椭圆E的方程；

2

⑵若直线根:x—y—W=0交E于C、。两点，AQ与8C相交于Q,求。点的坐标.

22

9、设椭圆E:^+1-=l的长轴端点为A、B,与y轴平行的直线交椭圆E于P、Q两点,

PA.Q8的延长线相交于S点，求S点的轨迹.

10、已知抛物线P：，=2px(p>0),F为P的焦点，M为P上任一点，/为过M点的切线,

求证：与/的夹角等于/与x轴的夹角.

11、已知抛物线P的顶点为原点，其焦点尸(0,c)到直线/:x-y-2=0的距离为〃=4，M

在/上，过“作抛物线P的两条切线M4、MB,其中A、B为切点.

⑴当M的坐标为(4,2)时，求AB的直线方程；

(2)当M在/上移动时，求目的最小值.

12、过抛物线P:/=2“y(p>0)的焦点/作斜率分别为勺、左2两条不同弦A3和CQ,

勺+勺=2,以A3、CO为直径的圆M圆N(M、N为圆心)的公共弦所在的直线记为/,

7R

若圆心M到/距离的最小值为年，求抛物线P的方程.

13、已知动圆。过定点A(4,0),且在)，轴上截得的弦用N的长为8,

求动圆圆心C的轨迹方程.

14、如图已知，在抛物线P:y2=4x的焦点为F,其准线与x轴的

交点为A.过原点的圆。其圆心在抛物线P上，与抛物线的准

线/交于不同的两点“、N,若|AFF=MMHAN|,求圆。的

半径.

15、如图，抛物线6：，=4),抛物线弓：*2=_2py(p>0),点

M(X0,)b)在抛物线弓上，过M作6的两条切线M4和M8,

当

第2页，共23页

&=1-0时，切线M4的斜率为攵=-L

02

⑴求：AB所在的直线方程；

(2)当点M在抛物线马上运动时，求43中点的轨迹方程.

16、已知抛物线P:，=8x,焦弦43被尸分为|刑、|冏两段,

求：1—[+1—[=?

解\FB\

17、如图，在正方形中，。为坐标原点，点A的坐标为(10,0),

点C的坐标为(0,10),分别将线段。4和A3等分成十等

分，分点分别记为屯,…，出和阵/，…，号,连接。鸟，

过A,作轴的垂线与。与交于点弓(ze/V*,l<z<9).

(1)求：点弓的轨迹方程；

(2)求：过点弓的切线方程。

22

18、已知，双曲线H：亍=过右焦点F的直线交”于4B两点,以|A8|为直径的圆C

与”的准线还有另外两个交点M、N,与原点。构成的三角形，求：S&WON的最小值・

19、如图椭圆：p=—^―,

l-ecos0

焦弦A3交椭圆A,5.

户为左焦点，

P,。为椭圆顶点，

连结Q4的直线交准线与M,

连结。B的直线交准线与N,

MN是准线：pcos0=-p.

或*M,N=-土，长轴于准线交点为Z。求证：MFkNF

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23个基础的圆锥曲线专题解答

22a

1,设椭圆氏三+，=1,其焦点在x轴上，若其准焦距(焦点到准线的距离)〃=』，求椭圆

a11-a24

的方程.

解：⑴先求/的范围：

由焦点在X轴上，贝!I：a2>l-a2,即：a2>-；

2

另外，b2=l-a2>0,所以膜<1；所以/eg,1).

⑵求君的值：

焦点坐标：c2=a2-b2=iz2-(l-fl2)=2o2-1；

2

椭圆的准线：x=—；

C

2221212o

准焦距：p=L-c=^~^=」『a=」

c。c7^4

贝(I：16(l-a2)2=9(2a2-l),即：16«4-50«2+25=0

一“上HAM250+305、,&、j250-305,1,、,,25

方程有两个解：a-.....=—>1(舍)，和a=------=—e(—,1),故a--.

32232828

⑶确定椭圆方程：

将“2=3,i—。2=3代入方程得：§?+8?=1

8853

22r

2、设椭圆E:三+二=1(a>/2>0)的离心率6=半，其通径(过焦点且垂直于长轴的焦直

a1产2

径)d=l,弓,弓为两焦点，P是£上除长轴端点外的任一点，/々P%的角平分线PM交

长轴于M(m,0),求〃?的取值范围.

解：⑴通径，即x=c时的八儿.

户22_2,2

当x=c时代入方程得：4=1—==巴苧-=」，

b1crcr/

即：9故通径：d-Ay=2"=1,即：a=2b^①

Ca2Cu0

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⑵由离心率e=£=-立，即：心了=3，即：g=L

«Va12J4.4

贝U：a=2b②

联立①②解得：a=2,b=l,则c=6

2

⑶写出椭圆E的方程：—%+/=1③

4

⑷求/々/的角平分线PM的直线方程：

%x

由③得过P(X0,y0)点的切线方程为：手+为y=1

即…=J_(1一〃)=J_一显，其斜率为：k=F

V04>04)'o4yo

根据椭圆的切线定理，PM是过「(叼,为)点的法线，其斜率为：K==?

4为

则PM的直线方程为:，一九丁…。)

0

4y()

将M(m,0)代入上式得：0-均=U(〃LX())

0

x3%

即：m-x=--—,故：m=--④

(n)44

(5)求出团的范围

因为「(々，为)点是E上除长轴端点外的任一点，故：E(-a,a),

即：e(-2,2).代入④式得：/〃€(-]，5).

221

3、设椭圆E:上y+q=l(a>〃>0)的离心率e=],々，%为两焦点，椭圆E与)，轴的交点

为40,3),求三角形的面积

解：⑴先求E的方程：

将A(0,3)代入E的方程得：—+—=1,故：b=3

a1

再由e=£=:,即：A-,=：,a2=^-/j2=12,

。22a243

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则：a-2^3,c--=_^/3£的方程为：—+-—=1①

22129

⑵求三角形的强的面积“々人%：

第%的高，即|3=8=3;

钙A%的底，即焦距近引=2c=2g；

故：S:例他巧归向。川=；.243=36

⑶另外，第4%是椭圆的焦点三角形，可以用椭圆的焦点三角形公式秒之.

S入口APtan—=/?C=3A/3

△弓圾2b

%2

4、如图，设椭圆E:±y+1(a>/?>0),M,N为长轴顶

点，过左焦点产、斜率为％=G的直线/交椭圆E于A、B

两点，若|E4|=2|EB|,求A&M=?

S^FBN

解：本题由于直线/过左焦点/，所以采用以左焦点为原点的

极坐标，可使问题大大简化.

椭圆的极坐标方程为：p-^―①

l-ecosff

直线」的方程为：。后②

epep2ep

那么：I刑=4=乙-------------=----;

7ie2-e

一31-ecos—1——

32

_ep_ep_2ep

l-ecos(y+^-)1+；2+，

1_22

代入|冏=2］冏得:,即：2+e=2(2-e)=4-2e,故:e=—

2—e2+e3

叩epepep

FM；|孙=血=乃=匚

于是:\\=P\O=O1-ecosO1-eecos/rl+e

.2

1+

凡2|FM|_l+g_3^5_5

故:

两'

\FN\1-el21

3

第6页，共23页

—§B||FA||FM|sin«lFA|lFM|

所以：MAM=2------------------=1——U-----1=2x5=10

SbFBN口阳「村卜由二|阳怛M

5、设椭圆E：W+g=l(a>b>0),其离心率6=至，其通径〃=孥，①求椭圆E的方

a1b133

程.②两条焦直径（过焦点的弦）AB与CD互相垂直.求1二+1二=?

解：⑴先求椭圆E的方程：

由离心率e=£=坐得：4=七岐=?，贝!I：4=1①

a3a1a13a13

由通径d=8=超得：成=空②

a3a3

联立①②得…=6…故椭圆£的方程为：争

⑵两条焦直径都过焦点，所以采用以焦点为原点的极坐标解题更便捷.

以左焦点为原点的椭圆极坐标方程为：p="八③

1-ecos。

那么，设：A（q,e）,则:8（22，夕+乃），以勺外乡，。（。44+”）

代入方程③式得：

epepepep2ep

\AB\=pi+p2-------------1-------------------=-------------1-------------=----------------

1-ecos。1-ecos(6+»)l-ecos。1+ecos。cos2g

1_l-e2cos2。

④

\AB\2ep

epepepep2ep

\CD\=P+P-------------------1---------------------=-------------1------------=---------------

34l-ecos(e+§1-ecos(6+^)1+esin^l-es[n3l-e2sin20

TB1l-^^sin2o

寸\CD\=―⑤

由④式⑤式得：

11_l-e2cos2。1-e2sin?。_2-J

⑥

画画-2ep2ep2ep

将"今P=-=2代入⑥式得：向+向=¥

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22

6、设椭圆后：二+二=1,左焦点为尸，在椭圆上任取三个不同点牛弓、鸟，使得

3627123

_24

司吗=7%=/弓%-y

解：椭圆石的参数：。=6,/?=36,C=39

故离心率e=£=』，准焦距p=——c=—=—=9.

a2cc3

采用极坐标，以左焦点为原点的极坐标方程为：

ep1l-ecos。小

P=~~~f，即：—二-------①

［一ecosepep

2424

设巧=（/?1,a）,贝！I尸弓=（22，&+7），％=（Py°一-3）

分别代入①式得：

1111—ccos(cifH---)11—ecos(a----)

1_l-ecos6z1_'31_3

——--------，——---------------9——-------------

将原点坐标代入心止+2-1得：-1=--1<0

16916916

小于0表明原点在椭圆内部.

⑵本题中，原点。和直线MN是椭圆E的一对极点和极线.

这里先简单介绍一下极点和极线：

过椭圆外一点P向椭圆E作的所有割线点的连线，相交于两点A和3,

一个点在椭圆内（假设A）,一个点在椭圆外（假设B）.这3个点P、A和3构成特殊

的三角形，称为自极三点形.其中，点P和直线4?是一对极点和极线；点A和直线

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是一对极点和极线；点3和直线是一对极点和极线.如果将极点的坐标，做等

效代入椭圆方程，得到的就是其极线方程.这样使得求极线方程变得极为简单.

本题，将原点坐标做等效代入椭圆方程，就得到所在的直线方程.

将极点坐标（2,为）做等效代入椭圆方程得到极线方程：（咒卜+1）+冬=]

故：代入々=0,y=0后得到：（0+l）（x+l）+21Z=i

00169

即：x+l=16,即：x=l5

所以MN所在的直线方程是：x=15

22

8、设椭圆氏三+==1（。＞。＞0）,过右焦点的直线/：x+y-百=0交E于4B两点，P为

azbz

AB中点.

⑴若。P的斜率为：k=-,求椭圆E的方程；

2

⑵若直线加:尤—y—G=0交E于C、。两点，AD与BC相交于Q,求。点的坐标.

解：⑴由于右焦点在直线/上，将右焦点尸（c,0）的坐标代入/：x+y-G=0,得：c+0-岔=0,

故：c=6,c2=3

[22

上+二=1

联立椭圆E和直线/得到交点43的坐标：02科一

x+y-6=0

消元法消去y得：彳+”7；2=1

a'a1-c1

即：（Q2_3）尤2+_1）2_Q2（Q2_3）=0

整理得：（2a2一3*2-2&21+。2（6_。2）=0①

由于P为中点，所以=；（*A+x§），yp=G—Xp

代进①式由韦达定理得：

I,、12&273a2

XX)②

P'=2A+Bt5=n22a52-_3~2a52~-3

y=6-x-耍=吗也③

r12/-32a2-3

由此得到。尸的斜率为：左="=岳2-产=马2

Xp6a1a1

第9页，共23页

已知Z=L故：。2=6,于是庐=。2-3=3

2

22

所以椭圆£的方程为：二+二=1

63

⑵直线x-y-6=0经过产(后0)点,直线/也经过户(60)点,

故Q点必在关于椭圆E以尸为极点的极线上.

代入极线方程得：芈+等=1；即：％=4=2百

63。百

由于AO与BC关于x轴对称，根据对称性，)，。=0

所以0点的坐标为：Q(20,0)

9、设椭圆E：二+二=1的长轴端点为4B,与y轴平行的直线交椭圆E于尸、Q两点,

168

PA.QB的延长线相交于S点，求S点的轨迹.

解：设S(x0,y。)，P(m,n),Q(m,-n)

由PA//AS得：kpA=kAS

,n-0n

k--------=-----

PNm-(-a)m-\-a

k；°』一y。

AS(一〃)-+〃

故：」_=4_①

m+a+a

由BQ//QS得：小=人

k「一0_nk」0一°_,0

BQm-aa-m，QS'一a"一〃

故：上=2-②

a-mxQ~a

2)2

由①X②式得：=③

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又，P、。两点在椭圆E上，满足：4+3=1

a1b1

2222,2222

Hwn.ma-mHnbaan

b；2a2a2n2a2-m2n2a2-m2

2

,2222v

代入③式得：=—=^-—

ya"a"a"/

22

即：吟—」=1，这就是S点的轨迹方程•

168

10、已知抛物线产：，=2内(p>0),F为P的焦点，例为P上任一点，/为过M点的切线,

求证：与/的夹角等于/与x轴的夹角.

证明：FN为抛物线的焦半径，设其倾角为a,F(g,0)

我们看上半轴即y〉O部分，下半轴与上半轴》

7T

二£(0,狗，。6(0,一]

2

贝!]：tancr=——---

xA.-xnyP

MF九一2

抛物线/=2px两边对x求导：2yy'=2p9即歹="

y

故M点的切线为：tane=y，_r=—二

MyM

2，

tan(26)==_2M_=

l-tan0)%-P

-VM

22pyy

pyMMM.

22c2p

-p2px.,-px--

11M1人M2

即：a=26,FM与l的夹角为a—9=26—8=6,而。就是/与x轴的夹角.

第11页，共23页

11、已知抛物线P的顶点为原点，其焦点尸(0,c)到直线/:x—y-2=0的距离为〃=乎，M

在/上，过M作抛物线P的两条切线M4、MB,其中A、B为切点.

⑴当M的坐标为(4,2)时，求的直线方程；

(2)当M在/上移动时，求目的最小值.

解：⑴先求抛物线P的方程

由焦点F(0,c)到直线/“一y一2=0的距离为〃=当得：

=噌=逑,即…印

d=[j"|

历，叵2

抛物线P的方程为：x2=4cy^4y①

下面求AB的直线方程：

的直线方程与M点是抛物线P的一对极线和极点，故用极线方程秒之.

AB的直线方程：xMx=2(yM+y)

将M(4,2)的坐标值代入得：4x=2(2+y)=4+2y,即：2x-y-2=0

⑵|AE|=A点到准线的距离，忸尸|=8点到准线的距离.

M.网=(以+c\yB+c)=(以+1)(为+1)

即：|44忸6=(、+1)(为+1)=~为+(以+为)+1②

由于Me/,可将/:x-y-2=0作为极线，来求其极点N.

极点N(XN，NN)关于抛物线产的极线为：

xNX=2(yN+y),即：工产-2y-2为=。

与/:x-y—2=0对比得：XN=2,升=2

当M在/上移动时，其极线AB必过N点.

设A3的直线的斜率为％,则43的直线方程为：y^k(x-xN)+yN

即：y-kx—2k+2③

AB点为①与③的交点.

,「12I2

将③代入①式得：4y—x-—y+—(Z-1)

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即：4k2y=y2+4(k-l)y+4(k-1)2

222

即：y-4(k-k+l)y+4(A:-1)=0④

方程④的两个根就是和

22

由韦达定理得：yAyB=^k-l),yA+yB=4(k-k+l)

代入②式得：

|AF|-|BF|=4(Jt-l)2+4(攵2-k+\)+l

=4必一2%+1+%2-2+1)+1=4(242-3%)+9

7733?3?

4(2A:2-3Z:)+9=8[A:2-2---Z:+(-)2]-8-(-)2+9

444

故|A斗怛口的最小值是g.

12、过抛物线P:x2=2py（p>0）的焦点E作斜率分别为勺、攵2两条不同弦和C。，

勺+42=2,以AB、为直径的圆/圆N（M、N为圆心）的公共弦所在的直线记为/,

若圆心M到/距离的最小值为苧，求抛物线P的方程.

解：抛物线，=2py的焦点/（。苧.

设AB直线的方程为：y=k.x+—,CD直线的方程为：y=k^x+—

1222

贝（I：A8点的坐标满足抛物线方程和AB直线的方程

fx2=20py

即：,J〃

y=k.x—

l12

于是：x2=2py=2p（k]X+与=2pk1X+p2

故：—2pk^x—p^"=0①

AB是圆M的直径，圆心是“（、，丁加），

则由韦达定理得：

[2

XM=2（XA+XB）=pk\fXAXB^-P②

第13页，共23页

以-yB=（勺以+9-（勺0+9=勺（。­XB）

圆M的直径平方为：

|阴2=（0』）2+（~-力）2=（1+城）（"』）2=（1+/）"4+5）2-4。勺

将②式代入上式得：

|AB|2=（1+彳）（4〃2彳+4p2）=4P2（1+k^）2

故圆M的直径为:\AB\=2p（l+k^

圆M的半径为：为=〃（1+勺

圆”的方程为：（一%）2+（八加）2=右=p2（l+4）2③

同理，圆N的方程为：（》一、）2+（y一为）2=/（1+g）2④

由③-④得：

"N一九）［2*-（々+XM"（，N）［2>-（为+）1=P?（&：-g）（2+Z：+g）

将XN~XM=P（^2-勺），XN+XM=P（左2+勺）=2P

y=y+y

yN-MP吟一,），NM=*+g+&：）

代入上式化简得：x+2y=0⑤这就是两圆的公共弦/的直线方程.

由圆心M到/距离为：:/+2加=

护+（_2）2亚

将加=pkyyM=k^M+g=PR+g

代入上式，并由圆心M到/距离的最小值为竽得:

}_J___1_J

故：p=8,则抛物线方程为：，=16）,.

13、已知动圆C过定点A（4,0）,且在），轴上截得的弦MN的长为8,求动圆圆心C的轨迹方

程.

第14页，共23页

解：解题思路：弦MV和AM的垂直平分线相交于圆心.

设：M（O,yQ）,贝（I：N（O,），o+8）,

例N的垂直平分线方程为：y=/（y〃+^^）=,（）+4①

yM-yAy0-Q

AM的斜率为：k

AMx..~x0-44

MAA

则A"的垂直平分线的斜率为：k=------=二

kAMV0

AM的中点K为：

0+4y+yy+Qy

_%+。_v_MA_O_O

K—-「一丁fyK~-2--

则AM的垂直平分线方程为：

y=-(x-x)+y=—(x-2)+^-②

>0长

K%2

联立①②，消去为得：y=.，用（8_去+^~^

即：111=_1_瓮_2),即：J；2-42=8(X-2)=8X-16,即：y2=Sx

2(y-4)

这就是求动圆圆心C的轨迹方程，是条抛物线.

14、如图已知，在抛物线P:『=4x的焦点为产，其准线与x轴的交点为A.过原点的圆。其

圆心在抛物线P上，与抛物线的准线/交于不同的两点

M.N,若［4尸|2=|40卜］47|,求圆C的半径.

解：抛物线的准线方程：x=-?=-l

2

设圆。其圆心坐标为：*0,为），

因圆心在抛物线P上，则：

u4

,4

又圆C过原点，贝I：彳=工友+）行志①

/2124

故圆c得方程为：％-于+｝一媪=7^~+,

7

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,2,4,4

即「2_家+条+y2_2%y+浸++#

),2

即：/一段.%+y2_2y^y=Q

对于在准线/上的M、N两点，其x=—4=-1,

2

代入上式得：1+乎+y2—2吁=0

y2

即：-2y0y+-^~+1=0

方程的两个解就是例、N的纵坐标.

2

=+x

由韦达定理得：yM+yN-^yM-yN'-Y②

I刎=y"I训=为;

代入|AF|2=kM.|AN|得：yM-^=4

2

将结果代入②式得：£+1=4,即：其=6.

,4

将结果代入①式得：擀=3+*=当+6=3+6=半

C16U1644

故：圆c的半径为：b=半

15、如图，抛物线0：X2=4y,抛物线与：/=_2py(p>0),点知(%,%)在抛物线为上,

过M作4的两条切线M4和MB,当、=1-及时，切线

M4的斜率为％=-L

2

⑴求：AB所在的直线方程；

⑵当点M在抛物线与上运动时，求A3中点的轨迹方程.

解：(1帙求A点的坐标|:

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抛物线中％2=4〉的导函数为：4y=2x,即：y

X.1

抛物线在A点的斜率■就是切线的斜率为攵=-L,

”A22

x2

故：'=寸="即：4T》

再求AB所在的直线方制:

M（%0，J0）点与4?所在的直线是关于6的一对极点和极线，

故：A3所在的直线方程为：叼％=2（丁+为）

即：y=-^-x-yQ①

求小毛%）的坐标上

因为方程①过A点，故：＜；

42。

当%=1-0时，为=g一卜2-2V2+13-272

4—4-

确定A8所在的直线方程:

将加（、，均）代入①式得:

这就是A3所在的直线方程.

⑵设AB的中点为N（XN，＞N），则:

1。0不

XN^2（XA+XB）f^=TX7V-＞'O=TX7V+T

将①代入抛物线外方程得：

22,

x=4y=4(-^-x-yQ)=2xQx-4yQt即：x-2xQx+4yQ=0

由韦达定理得：

1、1c

X.=-(zx.+x0)=——2%=h

NT2'AB200

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x（）x（）'（）3?3?

yvN=—2xN—’v0=—24—4—0JC=4­N

或者：x^=^yN.这就是AB中点的轨迹方程.

16、已知抛物线P:，=8x,焦弦4?被尸分为I砌、|冏两段,

求：1—[+1—[=?

解\FB\

解：抛物线的焦点厂（5,0）,即：F（2,0）,p=4,e=l

以焦点为原点建极坐标，则抛物线的极坐标方程为：p=—":=」一

l-ecosg1-cos0

设：A（pptt）,则:B（02，a+乃）

1_1_1-COSOf

：国=「=4

1_1_1-cos(a+»)_1+cosa

画为二44

111-coscif1+cosa1

•-----1-----=----------1---------=一

•|FA|\FB\442

17、如图，在正方形中，。为坐标原点，点A的坐标为（10,0）,点。的坐标为（0,10）,分别

将线段OA和A6等分成十等分，分点分别记为4,4,…,％和勺,4,•••,%,连接。斗,

过A.作轴的垂线与08.交于点P.（ieN*/KzW9）.

111v7

⑴求：点々的轨迹方程；

⑵求：过点々的切线方程。

解：⑴因为8.（107）,所以。区的直线方程为：）=工，即：y=^-x

11x1010

4所在的的垂线方程为：x=i

I

，2.2

那么过A.作轴的垂线与08.交于点P.（i,L）,故：X=i,y,

I1110P.〃10

%2

则：y=—,这就是点尸.的轨迹方程.

mI

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⑵尸.点的坐标为：P.(/,—)

1I10

y+y.X.XX.

则该点的切线方程为：一L=.，即：y=-^x-y.

21051

22

18、已知，双曲线”:菅—匕=i,过右焦点厂的直线交H于4B两点，以|A3|为直径的圆c

与”的准线还有另外两个交点M、N,与原点。构成的三角形，求：S“c"的最小值.

tAj\lMON

解：|该双曲线的基本参数卜a2=4,岸=5,。2=。2+.=9,

故：c=3,焦点E(3,0)

设过右焦点尸的直线方程为：y=k(x-3),则I：x=—+3.

k

代入双曲线方程4y2-5%2+2。=0得：4y2-5(^-+3)2+20=0

k

化简得：4k2y2-5(y+3k)2+20k2=0(左。0时)

即：(4攵2—5)y2—30^-25女2=0①

当左=0时，直线方程为)，=0,与”的准线的交点，不构成三角形.

圆c的方程:

设圆C的圆心坐标为：C(xc，jc)»A、8两点为圆直径上的点,

故由①式得韦达定理得：

1、15k

々=5(z以+与)=彳；②

一25女2

以心=3③

y,cc15c12k2小

贝!I：工］=/+3=+3=----④

ek4M-54M-5

圆直径的平方为：

|阴2=J+(N-犷=十(以-犷+(以-

K

2

故:|AB|2=（1+爰）（以->8门=^7（yA~yB）2

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即:

2（30%丫25k2

।xnI21+&21V、2.11+k

网=丁以+力）-4%加=r———+4-----------

{4k2-5）（4攵2一5）

94户—5

=l+k2—,00+_毋2一=100（1+A2）

_（4%2_5）2（4^2-5）J