2021秋数学人教A版选择性必修第一册作业

A级基础巩固

1•点(1,2)到直线3%-4y-3=0的距离为()

481511

A.-B.-C.—D.—

55710

详细分析:由点到直线的距离公式，得点(1,2)到直线3x-4y-3=0的

距离d=|3X1-4X2-3|_8

小2+(-40

答案:B

2.直线/通过两直线7x+5y-24=0和x-y=0的交点，且点(5,1)到直线

I的距离为，则直线I的方程是()

A.3x+y+4=0B.3x-y+4=0

C.3x-j-4=0D.x-3y-4=0

7x+5y-24=0,产%二+所以交点坐标为

详细分析:解方程组

x-y=0,y=2,

(2,2).

设直线/的方程为y-2=—x-2),即kx-y-2k+2=0,

贝i]d[5,l-2k+21J^^=g,解得g3,

jH+(“际

所以直线/的方程为y-2=3(%-2),即3%-y-4=0.

答案:C

3.若点颂1,3)到直线l-.mx+y-l=0的距离等于1,则实数m等于

)

4

A34

A「B.-c.--D

433-；

详细分析油点M1,3)到直线方加计)，-1=0的距离等于1,得1,

解得m=--.

4

答案:D

4.若点P在％轴上，且点P到直线3x-4.y+6=0的距离为6,则点P

的坐标为(-12,0)或(8,0).

详细分析:设P(a,0).由题意，得竿丝丝里6,解得«=-12或a=8,所以

J32+(-4)2

点P的坐标为G12,0)或(8,0).

5.设直线I过点(2,3),且与直线x-2y+\=0平行，若点P(a,2)(a〉0)到

直线I的距离为?，则用L

详细分析:设直线/的方程为x-2y+c=0,

因为直线/过点(2,3),所以2-6+c=0,解得c=4,

所以直线/的方程为x-2y+4=0.

因为牛丝丝丝更，且。＞0,所以昕1.

Jl2+(-2)25

6.已知"BC三个顶点的坐标分别是4-1,0)4(1,。),。(。,2).

(1)求点A到8C边所在直线的距离d;

(2)求证边上任意一点P到直线AC,BC的距离之和等于d.

⑴解:因为8(1,0),C(0,2),

所以由截距式可得直线BC的方程为x+:=l,

即2x+y-2=0.

由点到直线的距离公式，得点A(-1,0)到3c边所在直线的距离

.|-2-2|4麻

d=v^=—

⑵证明:设P(/,0)为AB边上任意一点，则-IW^L

由4-1,。),。(0,2)可得直线AC的方程是-x样=1,即2x-y+2=0,

所以点P到直线4c的距离d\=,|2t+21=—(/+1),AP到直线BC

M+(⑴25

的距离〃2二小箸/学(I),所以〃+d2=W=d,即AB边上任意一点P到

直线AC,BC的距离之和等于d.

B级拓展提图

7.在坐标平面内，与点A(l,2)距离为1,且与点3(3,1)距离为2的直

线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

详细分析:根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为

(|fc-2+b|_1

I-L(4

k2+(-l)2(k=0k=一-,

y=kx+b,^Hy+O=O,所以J晨1+加=2解得113：或Jb=~"

小2；⑸2—，，(-3・

所以所求直线方程为y=3或4x+3y-5=0,

所以符合题意的直线有2条.

答案:B

8.已知点P为直线x+y-4=0上一动点，则P到坐标原点的距离的最

小值为2Vx

详细分析:根据点到直线的距离公式，得原点0(0,0)到直线

x+y-4=0的距离为启卷黑=2位,即直线x+y-4=0上一动点P到坐标原

点的距离的最小值为2位.

9.已知a,b,c分别为直角三角形的三边长,c为斜边长，若点M(九〃)

在直线l:ax+hy+2c=0上，则trr+rr的最小值为4.

详细分析:因为a,b,c分别为直角三角形的三边长,c为斜边长，

所以c=Va2+b2.

又因为点在直线l:ax+hy+2c=0上，

所以m2+n2表示直线/上的点到原点距离的平方，

所以加2+层的最小值为原点到直线/的距离d的平方.

由点到直线的距离公式可得d二卷一2,

所以m2+/?2的最小值为法=4.

10.如图，在△A8C中,A(5,-2),8(7,4),且AC边的中点M在y轴上,8C

边的中点N在％轴上.

(1)求点C的坐标；

(2)求△ABC的面积.

解:(1)设点。的坐标为(x,y).

根据AC边的中点M在y轴上,3。边的中点N在％轴上,

所以点。的坐标是(-5,-4).

⑵因为A(5,-2),3(7,4),

所以|AB|=(7-5)2+[4-(-2)]2=2V10,

总产詈=3,

所以直线AB的方程为尹2=3(%-5),即3%-y-17=0,

所以点C到直线A8的距离d=~,5+—7^=-^=,

,+(“)2回

所以△A8C的面积为JAB卜d《x2VTUx券=28.

11.已知点P(2,-l).

(1)求过点P,且与原点距离最大的直线1的方程，最大距离是多少?

(2)是否存在过点P,且与原点距离为6的直线?若存在，求出方程;

若不存在,请说明理由.

解:(1)作图可知过点P与原点0距离最大的直线是过点。且与

P0垂直的直线.

由得kiko产八，所以k尸工=2.

kop

由点斜式，得直线/的方程为y+l=2(%-2),

即2x-y-5=0.

所以直线2%-y-5=0是过点P,且与原点距离最大的直线，最大距离

为|0q=斯.

(2)由⑴可得过点P的直线与原点的最大距离为迷，迷＜6,所以不

存在过点尸,且与原点距离为6的直线.

C级挑战创新

12多选题直线/经过点(2,4),且原点到直线I的距离为2,则满足条

件的直线/的方程为()

A.m2B.3%-4y-10=0

C.3%-4y+10=0D.3%+4y+10=0

详细分析:当直线的斜率不存在时，经过点(2,4)的直线方程为x=2,

原点(0,0)到直线广2的距离为2,满足题意.

当直线的斜率存在时，设斜率为£则直线/的方程为y-4=Z(%-2),整

理可得kx-y+4-2k=0.

由点、到直线的距离公式可得仁华0+4-2组萼”解得上三所以直

际4

线的方程为%-)，+4卫=0,整理，得3%-4y+10=0.

42

综上所述，直线/的方程为x=2或3x-4y+10=0.

答案:AC

多选题经过点(2,1)的直线I到41』)乃(3,5)两点的距离相等,

则直线/的方程为()

A.2x-y+3=0B.%=2

C.2x-y-3=0D.都不对

详细分析:当直线/的斜率不存在时，直线x=2显然满足题意.

当直线/的斜率存在时，设直线/的斜率为k,

则直线/的方程为y-l=%(X-2),即kx-y+l-2k=0.

由点A到直线/的距离等于点8到直线/的距离，得

|/c-l+l-2/c|_|3k-5+l-2k|

Jk2+(-l)2Jk2+(-l)2

化简，得-上攵-4或仁k-4（无解），解得k=2.

所以直线/的方程为2;c-y-3=0.

综上