人教A版高中数学(必修第一册)同步讲义第28讲 4.5.2用二分法求方程的近似解（原卷版）

第06讲4.5.2用二分法求方程的近似解课程标准学习目标①理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想。②了解二分法只能用于求变号零点的方法。③借助数学工具用二分法求方程的近似解。④能解决与方程近似解有关的问题。通过本节课的学习，要求会用二分法进行简单方程近似解的求解，并能根据题的要求，解决与二分法相关的参数问题的处理。知识点01：区间中点对于区间SKIPIF1<0，其中点SKIPIF1<0知识点02：二分法1、二分法的概念对于在区间SKIPIF1<0上图象连续不断且SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0，通过不断的把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection)【即学即练1】（2023·全国·高一假期作业）下列图象中，不能用二分法求函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【详解】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选：A．2、用二分法求零点的近似值给定精确度SKIPIF1<0，用二分法求函数SKIPIF1<0零点SKIPIF1<0的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点SKIPIF1<0的初始区间SKIPIF1<0，验证SKIPIF1<0；（2）求区间SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0（3）计算SKIPIF1<0;①若SKIPIF1<0（此时SKIPIF1<0)，则SKIPIF1<0就是函数的零点；②若SKIPIF1<0（此时SKIPIF1<0)，则令SKIPIF1<0；③若SKIPIF1<0（此时SKIPIF1<0)，则令SKIPIF1<0；（4）判断是否达到精确度SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则得到零点近似值SKIPIF1<0(或SKIPIF1<0)，否则重复2--4【即学即练2】（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，用二分法计算此函数在区间SKIPIF1<0上零点的近似值，第一次计算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，第二次计算SKIPIF1<0的值，第三次计算SKIPIF1<0的值，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，函数SKIPIF1<0的零点在区间SKIPIF1<0内，故SKIPIF1<0为区间SKIPIF1<0的中点值，因此，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型01二分法概念的理解【典例1】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数零点的近似值适合于（

）A．变号零点 B．不变号零点C．都适合 D．都不适合【典例2】（2023·高一课时练习）下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是（

）A． B．C． D．【典例3】（多选）（2023春·湖南长沙·高二长沙市长郡梅溪湖中学校考期中）下列函数中，能用二分法求函数零点的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·高一课时练习）下列函数一定能用“二分法”求其零点的是（

）A．SKIPIF1<0（k，b为常数，且SKIPIF1<0）B．SKIPIF1<0（a，b，c为常数，且SKIPIF1<0）C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，k为常数）【变式3】（2023·上海·高一专题练习）下列函数图象均与SKIPIF1<0轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是题型02确定零点（根）所在区间【典例1】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点必属于区间（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数SKIPIF1<0的零点SKIPIF1<0，对区间SKIPIF1<0利用两次“二分法”，可确定SKIPIF1<0所在的区间为．【典例3】（2023秋·山东济宁·高一校考期末）已知定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，若在SKIPIF1<0内关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有3个不同的实数根，则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式1】（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的近似解，已知SKIPIF1<0判断，方程的根应落在区间（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式2】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数SKIPIF1<0的零点可以取的初始区间是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【变式3】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求方程SKIPIF1<0近似解时，所取的第一个区间可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型03用二分法求函数的零点的近似值【典例1】（2023·全国·高一假期作业）某同学在用二分法研究函数SKIPIF1<0的零点时，．得到如下函数值的参考数据：x11.251.3751.406251.43751.5SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00.05670.14600.3284则下列说法正确的是（

）A．1.25是满足精确度为0.1的近似值 B．1.5是满足精确度为0.1的近似值C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值 D．1.375是满足精确度为0.05的近似值【典例2】（多选）（2023秋·高一单元测试）某同学求函数SKIPIF1<0的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则方程SKIPIF1<0的近似解（精确度SKIPIF1<0）可取为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·高一课时练习）用二分法求函数SKIPIF1<0的一个零点，其参考数据如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0据此数据，可知SKIPIF1<0的一个零点的近似值可取为（误差不超过0.005）．【变式1】（2023春·江苏南通·高一校考期末）已知函数SKIPIF1<0的部分函数值如下表所示：那么函数SKIPIF1<0的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（

）x10.50.750.6250.5625SKIPIF1<00.6321SKIPIF1<00.27760.0897SKIPIF1<0A．0.55 B．0.57 C．0.65 D．0.7【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数SKIPIF1<0的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0SKIPIF1<0

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0那么方程的一个近似解（精确度为0.1）为（

）A．1.5 B．1.25 C．1.41 D．1.44【变式3】（2023春·江苏扬州·高一扬州市广陵区红桥高级中学校考期中）用二分法求方程的近似解，求得SKIPIF1<0的部分函数值数据如下表所示：SKIPIF1<0121.51.6251.751.8751.8125SKIPIF1<0-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程SKIPIF1<0的近似解可取为A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题型04二分法的过程【典例1】（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）用二分法求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的近似解，已知SKIPIF1<0判断，方程的根应落在区间（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行次函数值的计算.【变式1】（2023·全国·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内有一个零点，要使零点的近似值的精确度为0.001，若只从二等分区间的角度来考虑，则对区间SKIPIF1<0至少需要二等分（

）A．8次 B．9次 C．10次 D．11次【变式2】（2023春·江苏南通·高一统考阶段练习）已知函数SKIPIF1<0的表达式为SKIPIF1<0，用二分法计算此函数在区间SKIPIF1<0上零点的近似值，第一次计算SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的值，第二次计算SKIPIF1<0的值，第三次计算SKIPIF1<0的值，则SKIPIF1<0．【变式3】（2023·全国·高一假期作业）用“二分法”研究函数SKIPIF1<0的零点时，第一次计算SKIPIF1<0，可知必存在零点SKIPIF1<0，则第二次应计算，这时可以判断零点SKIPIF1<0．A夯实基础一、单选题1．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数SKIPIF1<0的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内近似解的过程中可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则方程的解所在区间为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．不能确定2．（2023·全国·高一假期作业）已知函数SKIPIF1<0的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：x00.50.531250.56250.6250.751SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<00.0660.2150.5121.099由二分法，方程SKIPIF1<0的近似解（精确度为0.05）可能是（

）A．0.625 B．SKIPIF1<0 C．0.5625 D．0.0663．（2023·全国·高一假期作业）用二分法求函数SKIPIF1<0的一个零点的近似值（误差不超过SKIPIF1<0）时，依次计算得到如下数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，关于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取SKIPIF1<0作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取SKIPIF1<0作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算SKIPIF1<0D．没有达到对误差的要求，应该接着计算SKIPIF1<04．（2023·全国·高一专题练习）用二分法研究函数SKIPIF1<0的零点时，第一次计算，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第二次应计算SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．0.25 D．0.755．（2023·高一课时练习）在用“二分法”求函数SKIPIF1<0零点近似值时，若第一次所取区间为SKIPIF1<0，则第三次所取区间可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2023春·全国·高一校联考开学考试）下列函数中，不能用二分法求零点的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）用二分法求函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的零点,要求精确度为SKIPIF1<0时,所需二分区间的次数最少为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·全国·高一假期作业）在使用二分法计算函数SKIPIF1<0的零点的近似解时，现已知其所在区间为SKIPIF1<0，如果要求近似解的精确度为0.1，则接下来至少需要计算（

）次区间中点的函数值．A．2 B．3 C．4 D．5二、多选题9．（2023·全国·高一专题练习）在用二分法求函数SKIPIF1<0的一个正实数零点时，经计算，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的一个误差不超过SKIPIF1<0的正实数零点可以为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．S