2021年四川省南充市中考数学试卷

2021年四川省南充市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、

D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，

填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.

1.（4分）满足xW3的最大整数x是（）

A.1B.2C.3D.4

2.（4分）数轴上表示数机和〃什2的点到原点的距离相等，则，"为（）

A.-2B.2C.1D.-1

3.（4分）如图，点。是。ABC。对角线的交点，E尸过点O分别交4。，BC于点E,尸，下

列结论成立的是（）

A.OE=OFB.AE=BFC.NDOC=NOCDD.NCFE=NDEF

4.（4分）据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5,5,6,6,

6,7,7.下列说法错误的是（)

A.该组数据的中位数是6B.该组数据的众数是6

C.该组数据的平均数是6D.该组数据的方差是6

5.（4分）端午节买粽子，每个肉粽比素粽多元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,

设每个肉粽x元，则可列方程为（)

A.10x+5(x-1)=70B.10x+5(x+1)=70

C.10(x-1)+5x=70D.10(x+1)+5x=70

6.（4分）下列运算正确的是（）

1^2b2b3

A3b.2a=bB.

4a9b263ab3a2

C.J_+上=2D.1_12

21

2aa3aa-la+1a-1

7.（4分）如图，AB是。。的直径，弦于点E,CD=2OE,则N3CQ的度数为（)

A

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

8.（4分）如图，在菱形ABC。中，/A=60°,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF=

2,△£）£：户的周长为3网，则AD的长为（）

A.VeB.273C.V3+1D.273-1

9.（4分）已知方程7-2021x+l=0的两根分别为xi,小则婷一空红的值为（）

x2

A.1B.-1C.2021D.-2021

10.（4分）如图，在矩形ABC。中，A8=15,8C=20,把边AB沿对角线8。平移，点A',

B'分别对应点A,B给出下列结论：

①顺次连接点A',夕，C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线AA'的对称点的距离为48；

③A'C-B'C的最大值为15；

④A'C+B'C的最小值为9丁方.

其中正确结论的个数是（）

5

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线

上.

11.（4分）如果f=4,贝!|x=.

12.（4分）在-2,-1,1,2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率

是.

13.（4分）如图，点E是矩形A8CQ边AO上一点，点RG,〃分别是BE,BC,CE的

15.（4分）如图，在△48C中，D为BC上一点，BC=OB=3BD,则AD：AC的值

16.（4分）关于抛物线y=--2x+l（°#0）,给出下列结论：

①当〃<0时，抛物线与直线y=2x+2没有交点；

②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0,0）与（1,0）之间;

③若抛物线的顶点在点（0,0）,（2,0）,（0,2）围成的三角形区域内（包括边界），则

其中正确结论的序号是.

三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤。

17.（8分）先化简，再求值：（2x+l）（2x-l）-（2x-3）2,其中x=-l.

18.（8分）如图，N8AC=90°,AO是N8AC内部一条射线，若AB=AC,。于点

E,CF1.AD于点F.求证：AF=BE.

19.(8分)某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选

考试项目.

(1)求考生小红和小强自选项目相同的概率；

(2)除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目.小红和小强的体育中考各项成绩(百

分制)的统计图表如下：

①补全条形统计图.

②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩(百分制),

分别计算小红和小强的体育中考成绩.

20.(10分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+l)x+&k=Q.

(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)如果方程的两个实数根为xi，虫，且上与包都为整数，求后所有可能的值.

x2

21.(10分)如图，反比例函数的图象与过点A(0,-1),B(4,1)的直线交于点8和C.

(1)求直线A8和反比例函数的解析式；

(2)已知点O(-1,0),直线CO与反比例函数图象在第一象限的交点为E,直接写出

点E的坐标，并求△BCE的面积.

22.(10分)如图，A,B是上两点，且A8=0A,连接。8并延长到点C,使BC=O8,

连接AC.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)点。，E分别是AC,OA的中点，OE所在直线交。。于点EG,0/1=4,求GF

的长.

23.(10分)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/

千克，同样数量的苹果只用200元.

(1)求苹果的进价；

(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，

超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之

间的函数关系式；

(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销

售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z=-，r+12.在（2）的条

件下，要使超市销售苹果利润卬（元）最大，求一天购进苹果数量.（利润=销售收入-

购进支出）

24.（10分）如图，点E在正方形ABCZ）边上，点尸是线段AB上的动点（不与点A重

合），QF交AC于点G,GHHD于点H,AB=1,DE=L

（1）求tan/ACE；

（2）设AF=x,GH=y,试探究），与x的函数关系式（写出x的取值范围）;

（3）当NAOP=NACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

Dr------------------^C

tFB

25.（12分）如图，已知抛物线y=ax1+bx+4（a#0）与x轴交于点A（1,0）和8,与y

轴交于点C,对称轴为直线x=”.

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图I,若点尸是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平

行线交抛物线于点Q,连接0Q,当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说

明理由：

（3）如图2,在（2）的条件下，。是0C的中点，过点。的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2Z0DQ.在y轴上是否存在点F,得ABEF为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

2021年四川省南充市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、

D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，

填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分.

1.（4分）满足xW3的最大整数》是（）

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：满足xW3的最大整数x是3,

故选：C.

2.（4分）数轴上表示数机和m+2的点到原点的距离相等，则机为（）

A.-2B.2C.1D.-1

【解答】解：由题意得:|m|=|m+2|,

".m=m+2或m=-（w+2）,

••"2=-1.

故选：C.

3.（4分）如图，点。是。ABC。对角线的交点，E尸过点。分别交A。，BC于点E,F,下

【解答］解："A8C。的对角线AC,BD交于点O,

：.AO=CO,BO=DO,AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,

在△AOE和△COF中，

rZEA0=ZFC0

<AO=CO，

ZA0E=ZC0F

.♦.△AOEdCOF(ASA),

：.OE=OF,AE=CF,NCFE=NAEF,

又,：ZDOC=NBOA,

.•.选项A正确，选项8、C、。不正确，

故选：A.

4.(4分)据统计，某班7个学习小组上周参加“青年大学习”的人数分别为：5,5,6,6,

6,7,7.下列说法错误的是()

A.该组数据的中位数是6B.该组数据的众数是6

C.该组数据的平均数是6D.该组数据的方差是6

【解答】解：A、把这些数从小到大排列为：5,5,6,6,6,7,7.则中位数是6,故

本选项说法正确，不符合题意；

3、出现了3次，出现的次数最多，

二众数是6,故本选项说法正确，不符合题意；

C、平均数是(5+5+6+6+6+7+7)+7=6,故本选项说法正确，不符合题意；

D、方差为：,lx[(5-6)2+2X(5-6)2+(6-6)2+(6-6)2+(6-6)2+(7-6)

7

2+(7-6)2]=匹，故本选项说法错误，符合题意；

7

故选：D.

5.(4分)端午节买粽子，每个肉粽比素粽多1元，购买10个肉粽和5个素粽共用去70元,

设每个肉粽x元，则可列方程为()

A.10x+5(x-1)=70B.10x+5(x+1)=70

C.10(x-1)+5x=70D.10(x+1)+5x=70

【解答】解：设每个肉粽X元，则每个素粽(X-1)元，

依题意得：10x+5(x-l)=70.

故选：A.

6.(4分)下列运算正确的是()

23

A.3b.2a=bB1^2b=b

4a9b263ab3a2

c.D.'一工=3

2aa3aa-la+1/一］

【解答】解：生.乌=工，故选项A错误；

4a9b26b

2

———42b3a=_1_?故选项§错误；

3ab'3a3ab2b22b，

故选项C错误；

2aa2a2a2a

」_____L=a+「(a-l)=a+l-a+1故选项D正确；

a-1a+1(a+1)(a-1)(a+1)(a-1)/_]

故选：D.

7.(4分)如图，AB是。。的直径，弦COJ_AB于点E,CD=20E,则N3CO的度数为()

A.15°B.22.5°C.30°D.45°

【解答】解：:AB是OO的直径，弦CO,A3于点后

：.CD=2ED=2CE,

°：CD=2OE,

：.DE=OE,

・.・CO_LA8,

：.ZDOE=ZODE=45°,

AZBCD=XZDOE=22.5°.

2

故选：B.

8.(4分)如图，在菱形ABCD中，NA=60°,点E,尸分别在边A8,8c上，AE=BF=

2,△£>£：产的周长为3近，则A。的长为()

D

A.4B.2A/3C.V3+1D.2V3-1

【解答】解：如图，连结8。，作。HLA8,垂足为”,

•.•四边形ABC。是菱形，

：.AB=AD,AD//BC,

'：ZA=60°,

...△A3。是等边三角形，ZABC=180°-/A=120°,

：.AD=BD,ZABD=ZA=ZADB=60°,

AZDBC=ZABC-ZABD=120°-60°=60°,

"：AE=BF,

：.AADE咨ABDFISAS）,

Z.DE=DF,NFDB=NADE,

：.NEDF=NEDB+NFDB=ZEDB+ZADE=ZADB=60a,

...△QE尸是等边三角形，

,•.△OEF的周长是3网，

DE=\]"^）,

设A4=x，则HE=2-x,

"：AD=BD,DHLAB,

：.ZADH=^ZADB=30°,

2

:.AD=2X,DH=MX,

在RtAD/ZE中，DH2+HE2=DC,

•••（小）2+（2-X）2=（加）2,

解得：》=上弊负值舍去），

AD=z2,x=1+A/"^,

9.（4分）已知方程--20211+1=0的两根分别为甩，xi，则xj-空红的值为（）

A.1B.-1C.2021D.-2021

【解答】解:・,•方程2021x+l=0的两根分别为用,元2,

22

.*.xi+x2=2021r¥i-2021xi+l=0,%2-2021x2+1=0,

Vx2^0,

：.xi-2021+」-=0,

x2

-1-=X2-2021,

x2

onoi

・・-幺，=2021>2-202192,

x2

/.XI2-型红=2021X1-1+2021X2-20212

x2

2

=2021(XI+X2)-1+2021

=20212-1-20212

=-1.

故选：B.

10.（4分）如图，在矩形ABC。中，AB=15,BC=20,把边AB沿对角线8。平移，点A',

B'分别对应点A,B给出下列结论：

①顺次连接点A',夕，C,。的图形是平行四边形；

②点C到它关于直线A4'的对称点的距离为48；

③A'C-B'C的最大值为15；

④A'C+B'C的最小值为9而］

其中正确结论的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：如图1中，'：AB=A'B'AB//A'B',AB=CD,AB//CD,

.♦.A'B'=CD,A'B'//CD,

...四边形A'B'。是平行四边形，故①正确，

作点C关于直线AA'的对称点瓦连接CE交AA'于7,交8。于点。，则CE=40C.

♦.•四边形ABC。是矩形，

：.ZBCD=90°,CD=AB^15,

B£>=VBC2+CD2=V202+152=25,

■:工•BD・CO=1BC・CD,

22

...0c=20X15=]2,

25

...EC=48,故②正确，

♦['C-B'CWA'B',

C-B'CW15,

.•.A'C-B'C的最大值为15,故③正确，

如图2中，:B'C=A'D,

C+B'C=A'C+4'D,

作点。关于44'的对称点。'，连接。。'交A4'于J,过点。'作ELCC交CO的

延长线于E,连接C。'交44'于A',此时CB'+CA'的值最小，最小值=8',

由XAJDs△D4B,可得21=坦，

ABBD

.♦・见=里，

1525

:.DJ=\2,

：.DD'=24,

由△£>££'可得更1=①一=生一，

DAABBD

•DE=ED'=24

"201525'

:.ED'=卫.=%

55

：.CE=CD+DE=15+%=工1,

55

CD'=VCE2+ED?2=J(^)2+(-^-)2=9Vi7,

Vbo

，A'C+B'C的最小值为9J而.故④正确，

故选：D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线

上.

11.（4分）如果/=4,则x=±2.

【解答】解：7=4,

开平方得》=±2；

故答案为：±2.

12.（4分）在-2,-1,1,2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是1.

一2一

【解答】解：在-2,-1,1,2这四个数中，其倒数等于本身的有-1和1这两个数，

所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是2=工，

42

故答案为：1.

2

13.（4分）如图，点E是矩形ABCO边AD上一点，点凡G,，分别是BE,BC,CE的

中点，AF=3,则GH的长为3.

【解答】解：在矩形ABCO中，/84。=90°,

二尸为8E的中点,AF=3,

，BE=2AF=6.

：G,〃分别为BC,EC的中点，

;.GH=LBE=3,

2

故答案为3.

22

14.（4分）若曲=3,则典-+工-=_卫_.

22

n-mnm4

【解答】解：•.•里私=3，

n-m

••n=2m,

.1^+112=m2+（2m）'=］、==1.7

n2m2/QQm\）2m24++4

故答案为：XL.

4

15.（4分）如图，在△ABC中，。为8C上一点，BC=^^AB=3BD,贝U4。：AC的值为

返

3.

【解答】解：•.•BC=J548=38r>,

.・•BC短A而B晒广’

NB=NB,

：.XABCs△DBA,

...AC而B石C哂r

返，

3

故答案为：返.

3

16.（4分）关于抛物线（aW0）,给出下列结论：

①当a<0时，抛物线与直线y=2r+2没有交点；

②若抛物线与x轴有两个交点，则其中一定有一个交点在点（0,0）与（1,0）之间；

③若抛物线的顶点在点（0,0）,（2,0）,（0,2）围成的三角形区域内（包括边界），则

a21.

其中正确结论的序号是②③.

'v=2x+2

【解答】解：由|，消去y得到，a?-4x-1=0,

y=ax2-2x+l

•/△=16+4a,a<0,

△的值可能大于0,

抛物线与直线y=2x+2可能有交点，故①错误.

•••抛物线与x轴有两个交点，

.,.△=4-4«>0,

：.a<],

•抛物线经过（0,1）,且x=l时，y—a-1<0,

.•.抛物线与x轴的交点一定在（0,0）与（1,0）之间.故②正确，

•••抛物线的顶点在点（0,0）,（2,0）,（0,2）围成的三角形区域内（包括边界），

-2>0,

2a

.•.40,

Al>4a-42o,

4a

解得，。与1,故③正确，

故答案为：②③.

三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算

步骤。

17.（8分）先化简，再求值：（2x+l）（2x-1）-（2x-3）2,其中x=-1.

【解答】解：原式=4f-1-(4?-12JC+9)

=4,-1-4^+12x-9

=12x-10.

-1,

/.12x-10=12X(-1)-10=-22.

故答案为：12x70,-22.

18.(8分)如图，N8AC=90°,A£>是/BAC内部一条射线，AB=AC,BELLA。于点

E,CFJL4Z)于点F.求证：AF=BE.

【解答】证明：♦.•NBAC=90°,

.".ZBA£+ZMC=90°,

'：BELAD,CFLAD,

：.ZBEA^ZAFC=90°,

：.ZBAE+ZEBA=^°,

：.ZEBA=ZFAC,

在△ACF和△&!£：中，

，ZAFC=ZBEA

-ZFAC=ZEBA,

AC=BA

.../\ACF^/\BAE（AAS）,

：.AF=BE.

19.（8分）某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选

考试项目.

（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率；

（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目.小红和小强的体育中考各项成绩（百

分制）的统计图表如下：

考生自选项目长跑掷实心球

小红959095

小强909595

①补全条形统计图.

②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制）,

分别计算小红和小强的体育中考成绩.

【解答】解：（1）将乒乓球、篮球和羽毛球分别记作4、B、C,列表如下：

ABC

A(4,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(3,C)(C,C)

由表可知共有9种等可能结果，其中小红和小强自选项目相同的有3种结果,

所以小红和小强自选项目相同的概率为3=工；

93

②小红的体育中考成绩为95X50%+90X30%+95X20%=93.5（分）,

小强的体育中考成绩为90X50%+95X30%+95X20%=92.5（分）.

20.(10分)已知关于x的一元二次方程/-(2k+l)x+F+Z=0.

(1)求证：无论/取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)如果方程的两个实数根为处，及，且h与三L都为整数，求k所有可能的值.

x2

【解答】(1)证明：：△=[-(2Z+1)]2-4X(F+Z)=1>0,

无论k取何值，方程有两个不相等的实数根.

(2)解-(2k+l)x+F+k=0,即(x-k)[x-(&+1)]=0,

解得：x=k^ix—k+l.

：.一元二次方程/-(2A+1)x+F+Z=0的两根为k,k+\,

X

•1k+1«15Vxik«1

kkX2k+1k+1

如果1+工为整数，则A为1的约数，

k

"=±1,

如果1-工为整数，则k+1为1的约数，

k+1

：.k+l=±l,

则左为。或-2.

整数k的所有可能的值为±1,0或-2.

21.(10分)如图，反比例函数的图象与过点A(0,-1),B(4,1)的直线交于点8和C.

(1)求直线48和反比例函数的解析式；

(2)已知点0(-1,0),直线CQ与反比例函数图象在第一象限的交点为E,直接写出

点E的坐标，并求aBCE的面积.

【解答】解：(1)设反比例函数解析式为〉=上,直线A8解析式为y=ox+"

X

・・,反比例函数的图象过点8(4,1),

.\k=4X1=4,

把点A(0,-1),B(4,1)代入y=or+〃得产-1,

I4a+b=l

，_1

解得一存，

b=-l

直线AB为y=/x-l，反比例函数的解析式为y=~'

/.C(-2,-2),

设直线CD为y=mx+n,

-2m+n=-2

把C(-2,-2),<-1,0)代入得

-m+n=0

m=2

解得

n=2

直线CO为y=2x+2,

y=2x+2

x=-2或x=l

由，4得.

y=­y=-2y=4

X

•5,4),

•』BCE=6X6-^-X6x3'yX3X3-yX3X6=与

22.(10分)如图，A,8是。。上两点，且AB=OA,连接。8并延长到点C,使BC=OB,

连接AC.

(1)求证：AC是。。的切线；

(2)点。，E分别是AC,0A的中点，OE所在直线交。。于点凡G,04=4,求G尸

的长.

【解答】(1)证明:,・・A8=0A=08,

/./\OAB是等边三角形.

AZAOB=ZOBA=ZOAB=60°.

,:BC=OB,

：.BC=AB,

:・/BAC=/C、

VZOBA=ZBAC+ZC=60°,

AZBAC=ZC=30°.

AZOAC=ZOAB+ZBAC=90°.

：.OA±AC,

・•・点A在。。上，

・・・AC是OO的切线；

⑵解:如图，连结OR过点。作O”J_G/于点

:・GF=2HF,ZOHE=ZOHF=90°.

二点分别是AC,04的中点,

：.OE=AE=^OA=1X4=2,DE//OC.

22

，NOEH=NAOB=60°,OH=OEsin/OEH=«.

•••WF=VDF2-0H2=742-(Vs)2=^13-

.,.GF=2WF=2A/13.

23.（10分）超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/

千克，同样数量的苹果只用200元.

（1）求苹果的进价；

（2）如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，

超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y（元）与购进数量x（千克）之

间的函数关系式；

（3）超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销

售单价z（元/千克）与一天销售数量x（千克）的关系为z=-'_x+12.在（2）的条

100

件下，要使超市销售苹果利润w（元）最大，求一天购进苹果数量.（利润=销售收入-

购进支出）

【解答】（1）解：设苹果的进价为尤元/千克，

根据题意得：30°=200,

x+2x~2

解得：x=10,

经检验x=10是原方程的根，且符合题意，

答：苹果的进价为10元/千克.

（2）解：当OWxWlOO时,y=10x；

当x>100时，y=10X100+（%-100）（10-2）=8x+200；

._fl0x（0<x<100）

•»y—<.

18x+200（x>100）

（3）解:当OWxWlOO时,

w=(z-IO)x

=(击+12-16

1o

=~w(x-100)+100,

...当x=100时，w有最大值为100；

当100<xW300时，

w=(z-10)X100+(z-8)(x-100)

=(得铲+12-10)x100+(得铲+12-8)。-10°)

12

=^-X+4X-200

1o

=-^(x-200)^200-

...当x=200时，w有最大值为200；

V200>100,

.••一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大为200元.

答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大.

24.（10分）如图，点E在正方形ABCZ）边上，点F是线段A8上的动点（不与点A重

合），。尸交AC于点G,GHLAD于点、H,AB=1,DE=1.

3

（1）求tan/ACE；

（2）设GH=y,试探究y与x的函数关系式（写出x的取值范围）；

（3）当/A£>F=/ACE时，判断EG与AC的位置关系并说明理由.

【解答】解:⑴过点E作EM_LAC于点M,

D

B

：.ZAME=ZEMC=90°,

•.•四边形ABC。是边长为1的正方形,。E=工,

3

:.ZCAD=45°AE=AD-DE=\-上=幺

33

.\EM=AM=AE-sinZCAD=^x

3

/.CM=AC-AM=®-返=”

33

返

AtanZACE=M=-4-=A；

CM2V22

3

(2)'：GH±AIMB±AD,

J.GH//AB,

：.△DHGSXDAF,

•••HG=---D,H

AFDA

•y_1-y

•,—=----,

X1

'.y=x-xy,

，y=^-(O<xWl)；

x+1

(3)当ZADF=ZACE时,EG_LAC,

理由如下:

■:tanZADF=tanZACE=1^

2

•AFx1

"AD

•r=1v=1

23

：.HA=GH=^,

3

EH=AD-DE-AH=2,

3

£G=VGH2+EH2=^(J)2+(-1)2=^

:・EG=EM,

又YEM_LAC,

...点G与点M重合,

：.EGLAC.

25.(12分)如图，已知抛物线y=ax1+hx+4(〃W0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y

轴交于点C,对称轴为直线x=5.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P是线段8c上的一个动点(不与点8,C重合)，过点P作y轴的平

行线交抛物线于点Q,连接O。，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说

明理由；

(3)如图2,在(2)的条件下，。是OC的中点，过点。的直线与抛物线交于点E,且

ZDQE=2ZODQ.在y轴上是否存在点F,得ABEF为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

a+b+4=0

，解得卜=1

【解答】解:(1)由题意得:<~~b5

lb=-5

故抛物线的表达式为y=7-5x+4①;

(2)对于y=7-5x+4,令y=7-5x+4=0,解得x=l或4,令x=0,贝Uy=4,

故点B的坐标为（4,0）,点C（0,4）,

设直线BC的表达式为y=fcr+f,则,解得（k=-l,

I4k+t=0It=4

故直线BC的表达式为y=-A-+4,

设点P的坐标为（x,-x+4）,则点。的坐标为（x,f-5x+4）,

贝ijPQ=（-x+4）-（x2-5x+4）=-7+4x,

V-l<0,

故PQ有最大值，当x=2时，PQ的最大值为4=C。，

此时点。的坐标为（2,-2）；

'：PQ=CO,PQ//OC,

故四边形OCPQ为平行四边形；

（3）..,。是0C的中点，则点。（0,2）,

由点。、。的坐标，同理可得，直线。。的表达式为y=-2%-2,

过点。作轴于点”，

则QH〃C。，故ZAQH=ZODA,

而/£>QE=2/0£>Q.

NHQA=NHQE,

则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，

故设直线QE的表达式为y=2r+r,

将点。的坐标代入上式并解得r=-6,

故直线QE的表达式为y=2x-6②,

联立①②并解得］x=5（不合题意的值己舍去），

1y=4

故点E的坐标为（5,4）,

设点尸的坐标为（0,加），

由点8、E的坐标得：BW=（5-4）2+（4-0）2=17,

同理可得，当尸时，即16+机2=17,解得团=±1；

当BE=EF时，即25+5-4）2=17,方程无解；

当时，即16+加2=25+2,解得机=空；

8

故点尸的坐标为（0,1）或（0,-1）或（0,空）.

8

2021年浙江省金华市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）实数-工,2,-3中，为负整数的是（）

2

A.-1B.C.2D.-3

2

2.(3分)工+2=()

aa

A.3B.3c.2D.3

272

aa

3.（3分）太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，其中数150000000用科学记数法

表示为（）

A.1.5X108B.15X107C.1.5X107D.0.15X109

4.（3分）一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（）

-2-10123

A.x+2>0B.x-2<0C.2xN4D.2-x<0

5.（3分）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（）

如图，已知直线/1，12,13,14.若Nl=/2,则/3=/4.

请完成下面的说理过程.

解：已知N1=N2,

根据（内错角相等，两直线平行）,得h〃3

再根据（※"得N3=N4.

A.两直线平行，内错角相等

B.内错角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等

D.两直线平行，同旁内角互补

6.（3分）将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是（）

7.（3分）如图是一架人字梯，已知AB=AC=2米，AC与地面BC的夹角为a,则两梯脚

之间的距离8（7为（）

A

T-

十三

BC

A.4cosa米B.4sina米C.4tana米D.——-——米

cosa

8.（3分）已知点A（xi,y\）,B（如”）在反比例函数y=-的图象上.若xi〈0〈x2,

x

则（）

A.yi<O<y2B.y2VoVyiC.yi〈y2VoD.y2Vyi〈0

9.（3分）某超市出售一商品，有如下四种在原标价基础上调价的方案，其中调价后售价最

低的是（）

A.先打九五折，再打九五折

B.先提价50%,再打六折

C.先提价30%,再降价30%

D.先提价25%,再降价25%

10.（3分）如图，在RtZ\A8C中，ZACB=9Q°,以该三角形的三条边为边向形外作正方

形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上.记该圆面积为Si,△ABC面

积为S2,则包的值是（）

s2

入兀

A.—5——DB.n3nC6.5<nnD.—11——7T

22

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.（4分）二次根式J启中，字母x的取值范围是.

12.（4分）已知是方程3x+2y=io的一个解，则，"的值是____.

Iy=ni

13.（4分）某单位组织抽奖活动，共准备了150张奖券，设一等奖5个，二等奖20个，三

等奖80个.已知每张奖券获奖的可能性相同，则1张奖券中一等奖的概率

是.

14.（4分）如图，菱形的边长为6即，/班。=60°,将该菱形沿AC方向平移

得到四边形A'B'CD',A'D'交CD于点E,则点E到AC的距离为cm.

15.（4分）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边8c

及四边形②的边C。都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖4的横坐标是

1,则“猫”爪尖尸的坐标是

16.（4分）如图1是一种利用镜面反射，放大微小变化的装置.木条8c上的点P处安装

一平面镜，BC与刻度尺边MN的交点为D,从A点发出的光束经平面镜P反射后，在

MN上形成一个光点E.已知MNLBC,AB=6.5,BP=4,PD=8.

（1）ED的长为.

（2）将木条BC绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到B