专题10平面向量及其应用（教师版）

专题10平面向量及其应用平面向量是高考命题的平面向量是高考命题的热点和重点内容，命题突出向量的基本运算与工具性，常常以平面图形为载体，考查数量积、夹角、垂直的条件等问题；也易同平面几何、三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，以工具的形式出现．通过本专题的复习要注意正确掌握平面向量中相关概念，注意平面向量具备数与形的两面性，并合理转化，注意向量数量积的多种应用，注意借助坐标系、运用数形结合思想、函数和方程思想转化解决相关问题。专题中三个探究（数量积最值范围、平面几何、解析几何中应用）突出重点与难点，简洁清晰，将高考中这部分内容的考查方式和思维方法深入的剖析。——大冶一中高级教师陈俊杰探究1：平面向量数量积的最值与范围问题【典例剖析】例1.(2022·山东省联考)已知|a|=|b|=2,且a，b的夹角为60°,若|cA.[-4,4] B.[-23,23]选题意图:最新联考题选题意图:最新联考题，与数量积有关的最值和范围问题是高考的热点，可通过建立适当的直角坐标系,将向量的数量积坐标化,从而转化常见的三角函数求范围，还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质求解，体现了高考数学的灵活性和创新性.思维引导：解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，说明点C在以A为圆心，半径为1的圆面上(包括边界)，设向量b,c的夹角为θ，推出θ取值范围为[π6,π2]；然后求解b⋅【解析】解法1：取OA=a,OB=b,OC=c，则点C在以A为圆心，半径为1的圆面上(包括边界)，

设向量b由于|c|cosθ为向量c在向量b上的投影，且0≤|c|cosθ≤2．

故b⋅c的取值范围是[0,4]．

解法2：不妨设a=(2, 0)，b=(1,3)，c=(x, y)．

因为|c-a|≤1，所以(x-2)2+y2≤1【变式训练】练11(2022·安徽省安庆市联考)已知向量a，b，c满足|a|=2，|b|=1，|(c-a)2+(c【解析】因为(c-a)2+(c-b)2-(c故答案为[-2,-1练12(2022·河北省模拟)已知平面向量a，b满足|a|=|b|=a⋅b=2，且A.2 B.3 C.4 D.5【解析】∵|a|=|b|=a⋅b=2，∴cos<a,b>=a⋅b|a||b|=12练13(2022·安徽省滁州市三模)已知平面向量a,b,c满足|a|=1，|b|=3，a⋅b=0【解析】∵a·b=0，∴可以a方向为x轴正方向，b方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图所示：

由图可知，a=OA,b=OB，c=OC，O(0,0)，A(1,0)，B(0,3以M1为圆心，AB长为半径作出圆M1，同理作出圆M2．

∵c-a与c-b的夹角为即∠ACB=π6=12∠AM1B=12∠AM2B，

则点C的轨迹为圆M1中弦AB所对应的优弧以及圆M2中弦AB所对应的优弧(不包括端点A、B)．

①当C在圆M1中弦AB所对应的优弧中时，

由图可知M1(2,3)，设点C(x,y)，则有(x-2)2+(y-3)2=4，

令x=2+2cosθy=3+2sinθ，则c⋅→b→-【规律方法】平面向量中，有关最值问题的求解通常有两种思路：1.“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.

2.“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.探究2：平面向量与平面几何【典例剖析】例2.(2022·北京卷)在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90∘.P为△ABC则PA⋅PBA.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,6]选题意图:选题意图:高考真题，以三角形和平面向量为载体，综合考查了向量的数量积、直线和圆、函数的最值、三角函数等知识点，该题目的解法多样，可通过建立坐标系，利用数量积的坐标运算求解，也可以利用平面向量的线性运算和数量积进行求解，体现了高考数学的灵活性和创新性.思维引导：法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解;法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解【解析】法一：建立如图所示坐标系，

由题易知，设C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC=1，∴设Pcosθ,sinθ，=-3cosθ-4sinθ+cos2θ+sin2θ

=1-5sin(θ+φ)(sinφ=35,cosφ=45)∈[-4，6]

法二：注意：<CP，CB>=|故选D．【变式训练】练21(2022·浙江省联考·多选)八卦是我国古代的一套有象征意义的符号.如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=1，则(

)A.EF=AB B.OB+OH【解析】对于A，两向量方向相反，故错误；

对于B，连接BH交OA于M，由|OH|=|OB|=1，∠HOB=90°可得|OM|=22，

由向量的平行四边形法则可得OB+OH=2OM，

又|OE|=1，则OB+OH=2OM=-2OE，B正确；

对于C，由正八边形可得∠AOB=45°，

则OA⋅OD=|OA|⋅|OD|cos∠AOD=1×1×cos135°=-22，C练22(2022·湖南省长沙市模拟)数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是

(

)A.AG⋅BC-4=0 B.2GO【解析】A，设M为BC中点，由G是▵ABC的重心可得AG=23AM=23(12AB+12AC)=13AB+13AC，所以AG⋅BC=13(AB则AO==|AE||AC|-|AD||AB|=12|AC故OA=3OG由欧拉线定理可得OH=3OG，所以OH=OA+OB练23(2022·浙江省期末)如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC边的中点，F为CD边上一点，若AF·AE=|AEA.3 B.5 C.32 D.【解析】法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，

建立平面直角坐标系如图所示，

则A(0,0)，E(2,1).设|DF|=x，则F(x,2)，故AF=(x,2)，AE=(2,1)．

∵AF·AE=|AE|2，∴(x,2)·(2,1)=2x+2=5，解得x=32，

∴|AF|=322+22=52．

故选D．

法二：连接EF

由题意，∵AF·AE=|AF|·|AE|cos∠EAF=|AE|练24(2022·湖南省长沙市联考)已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=2ECAE⋅BD=-23，则【解析】由题意知：BE=23BC=23AD，设∠DAB=θ，

∴AE⋅BD=(AB+BE)⋅(AD-AB)=(AB+23AD)·(AD-AB)

=AB⋅AD-AB2+23故答案为-73【规律方法】利用向量法解决平面几何问题一般需要三步：

1.寻基底，寻找条件中的已知长度和夹角的不共线的两条线段作为基底

2.用基底表示结论中的有关线段3.通过向量的运算，研究几何元素之间的关系，并把运算结果翻译成几何关系.探究3：平面向量与解析几何【典例剖析】例3.(2021·全国乙卷文科)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2．

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足PQ=9选题意图选题意图：高考真题，向量与参数是圆锥曲线中常见的载体，很好的体现解析几何中数形转化和坐标法的核心思想方法，考查了直线和抛物线的基本知识，考查了向量数形“两面性”的运用转化和求解最值中运用函数基本思想,体现了观察、探究、发现变化规律的数学探索学科素养.思维引导：(1)根据焦点F到准线的距离为2求出p，进而得到抛物线方程，

(2)设出点Q的坐标(m,n)，按照向量关系得出P点坐标，再代入抛物线方程中，表示出OQ斜率k，结合基本不等式分别讨论n=0，n>0【解析】(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，准线方程为x=-p2，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为p2-(-p2)=p=2，

∴y2=4x．

(2)由(1)知，抛物线C：y2=4x，F(1,0)，

设点Q的坐标为(m,n)，则QF=(1-m,-n)，PQ=9QF=(9-9m,-9n)

∴P点坐标为(10m-9,10n)，

将点P代入C得100n2=40m-36，整理得m=100n2+3640=25n2+910，

∴直线OQ斜率k=nm=【变式训练】练31(2022·河北省联考)已知双曲线方程为x2a2-y2b2=1，F1，F2为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足PF1⋅PF2=0，|PF1||PF2【解析】(1)由题意可得e=ca=2，可得c=2a，b2=c2-a2=3a2，所以b=3a，

又因为PF1⋅PF2=0，|PF1||PF2|=6．

在Rt△PF1F2中，由|PF1||PF2|=6．

由|PF1|-|PF2|=2a，所以可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2，

而|PF1|2+|PF2|2=4c2，所以4c2-12=4a2，可得b2=3，a练32(2022·广东省深圳市联考)如图，平面直角坐标系xOy中，点Q为x轴上的一个动点，动点P满足|PO|=|PQ|=32，又点E满足(1)求动点E的轨迹Г的方程；(2)过曲线Г上的点A(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)的直线l与x，y轴的交点分别为M和N，且NA=2AM【解析】(1)法一：设E(x,y)，由题意，设Q(x',0)，由|PO|=|PQ|=32得P(12x',y')，且x'24+y'2=94，

由PE=12EQ得E(23x',23y')，则x=23x'y=23y'，得x'=32xy'=32y，

代入x'24+y'2=94整理得x24+y2=1，

则动点E的轨迹Г的方程为：x24+y2=1．

法二：设∠POQ=α,P(32cosα,32sinα),Q(3cosα,0),

设E(x,y)，则x=2cosαy=sinα,

消去α得x24+y2=1．

动点E的轨迹Г的方程为：x24【规律方法】

1.运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决。2.向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆