专题14 解答基础题型：规律探究题（解析版）

专题14解答基础题型：规律探究题1．（2023•安徽）【观察思考】【规律发现】请用含的式子填空：（1）第个图案中“◎”的个数为；（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，，第个图案中“★”的个数可表示为．【规律应用】（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数，使得连续的正整数之和等于第个图案中“◎”的个数的2倍．【答案】见解析【详解】（1）第1个图案中“◎”的个数为：，第2个图案中“◎”的个数为：，第3个图案中“◎”的个数为：，，第个图案中“◎”的个数：，故答案为：；（2）由题意得：第个图案中“★”的个数可表示为：；故答案为：；（3）由题意得：，解得：或（不符合题意）．2．（2022•安徽）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）因为第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，故答案为：；（2）第个等式：，证明：左边，右边，左边右边．等式成立．3．（2021•安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．观察思考当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图；以此类推．规律总结（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加2块；（2）若一条这样的人行道一共有为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含的代数式表示）．问题解决（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？【答案】见解析【详解】（1）观察图1可知：中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形，所以每增加一块正方形地砖，等腰直角三角形地砖就增加2块；故答案为：2；（2）观察图形2可知：中间一个正方形的左上、左边、左下共有3个等腰直角三角形，它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形，右边还有1个等腰直角三角形，即；图3和图1中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形，均有图2一样的规律，图；归纳得：（即；若一条这样的人行道一共有为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为块；故答案为：；（3）由规律知：等腰直角三角形地砖块数是偶数，用块，再由题意得：，解得：，等腰直角三角形地砖剩余最少为1块，则需要正方形地砖1008块．4．（2020•安徽）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：．第5个等式：．按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第6个等式：；（2）猜想的第个等式：．证明：左边右边，等式成立．故答案为：；．5．（2019•安徽）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第6个等式为：，故答案为：；（2）证明：右边左边．等式成立，故答案为：．6．（2023•瑶海区一模）用相同的菱形按如图的方式搭图形．（1）按图示规律完成下表：图形123456所用菱形个数13467（2）按这种方式搭下去，搭第为自然数）个图形需要个菱形；（用含的式子表示）（3）小亮同学说他按这种方式搭出来的一个图形用了2023个菱形，你认为可能吗？如果能那是第几个图形？如果不可能请说明理由．【答案】见解析【详解】（1）根据表中的数据得，图形5中有7个菱形，图形6中有9个菱形，故答案为：7，9；（2）根据（1）中的规律，第个图形中有个菱形，故答案为：；（3）当时，解得：，，所以第1349个图形中有2023个菱形．7．（2023•合肥一模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；根据以上规律解答以下问题：（1）写出第5个等式：；写出第个等式：；（2）由分式性质可知：，试求的值．【答案】见解析【详解】（1）由题意得：；；故答案为：；；（2）．8．（2023•庐阳区校级一模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律解决下列问题：（1）写出第5个等式；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）由题意得：第5个等式为：；故答案为：；（2）猜想：，证明：等式左边右边，故猜想成立．故答案为：．9．（2023•合肥三模）观察下列正整数的排列顺序：解答以下问题：（1）35排在第几行第几列？（2）第10行第10列的数是多少？第行列的数呢？（用含的代数式表示）（3）2023排在第几行第几列？【答案】见解析【详解】（1）由题意知，35排在第6行第2列；（2）第1列第1行为，第2列第2行为，第3列第3行为，第4列第4行为，第5列第5行为，，第10列第10行为，第列第行为；（3）由规律可知，第1行第列的数为，第1行第45列的数为2025，数2023在第3行第45列．10．（2023•蜀山区二模）苯是最简单的芳香族化合物，在有机合成工业上有着重要的用途，德国化学家凯库勒发现了苯分子的环状结构．将若干个苯环以直线形式相连可以得到如下类型的芳香族化合物（结构简式中六边形每个顶点处代表1个原子，通常省略原子）．已知：苯的结构式是，结构简式为，分子式是；2个苯环相连结构式是，结构简式为，分子式是；3个苯环相连结构式是，结构简式为的分子式是；根据以上规律，回答下列问题：（1）4个苯环相连的分子式是；（2）个苯环相连的分子式是；（3）试通过计算说明分子式为是否属于上述类型的芳香族化合物．【答案】见解析【详解】（1）4个苯环相连的分子式是：；故答案为：；（2）由题意得：第个苯环相连的分子式是：；故答案为：；（3），解得：，则，故是属于上述类型的芳香族化合物．11．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式，探究发现规律，并解决问题．①；②；③；（1）；（2）；（3）．【答案】见解析【详解】（1），，故答案为：20；（2），，故答案为：；（3），故答案为：．12．（2023•瑶海区二模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第5个等式为：，故答案为：；（2）根据所给的四个等式反映的规律，可以发现，第个等式为：，证明：左边右边，．13．（2023•包河区二模）某旅游景区走廊的中间部分是用边长为1米的白色正方形地砖和彩色正方形（图中阴影部分）地砖铺成的，图案如图所示，根据图示排列规律，解答以下问题．（1）第4个图案（4）有白色地砖块地砖；第个图案有白色地砖块地砖（用含的代数式表示）；（2）已知（1）的长度为3米，（2）的长度为5米，，的长度为2023米，求图案中白色正方形地砖有多少块．【答案】见解析【详解】（1）第1个图案（1）的白色地砖块数为：6，第2个图案（2）的白色地砖块数为：，第3个图案（3）的白色地砖块数为：，第4个图案（4）的白色地砖块数为：，，第个图案的白色地砖块数为：，故答案为：15，；（2）（1）的长度为3米，（2）的长度为5米，，的长度为：米，当时，解得：，中白色地砖的块数为：．14．（2023•庐阳区二模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第个等式，并证明你的结论．【答案】见解析【详解】（1）第6个等式为：；故答案为：；（2）猜想：第个等式为：，证明：等式右边右边，故猜想成立．15．（2023•庐阳区校级二模）观察以下等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；按照以上规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第5个等式为：，故答案为：；（2）第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；第个等式为：，证明：左边右边，故猜想成立．故答案为：．16．（2023•庐江县模拟）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，，按照以上规律，解决下列问题：（1）第⑤个图中有个黑色圆点；第⑩个图中有个黑色圆点；（2）第几个图中有210个黑色圆点？【答案】见解析【详解】第一个图形的数量是1，可以表示为；第二个图形的数量是3，可以表示为；第三个图形的数量是6，可以表示为；第四个图形的数量是10，可以表示为，根据此规律可以得到第个图形的圆圈数量为，（1）第⑤个图中有个黑色圆点；第⑩个图中有个黑色圆点；故答案为：15，55；（2）设第个图中有210个黑色圆点，可得：，解得：，所以第几个图中有210个黑色圆点．17．（2023•庐阳区校级一模）观察下列各式：①；②；③；④按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式．（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第6个式子：．故答案为：．（2）．证明：左边右边．猜想的第个式子成立．18．（2023•庐阳区校级一模）合肥市某中学为了让学生增加课外阅读的机会，计划修建一条读书走廊，并准备用若干块带有圆形花纹和没有圆形花纹的两种大小相同的正方形地砖搭配在一起，按如图①所示的排列方式铺满走廊，已知每块正方形地砖的边长均为．【观察思考】当带有圆形花纹的地砖只有1块时，没有花纹的地砖有8块（如图②；当带有圆形花纹的地砖有2块时，没有花纹的地砖有13块（如图③；；以此类推．【规律总结】（1）按图示规律，第一个图案（图②的长为，第五个图案的长为；（2）若这条走廊的长为，带有圆形花纹的地砖块数为为正整数），则（用含的代数式表示）；【问题解决】（3）若要使走廊的长不小于72，则至少需要带有圆形花纹的地砖多少块？【答案】见解【详解】（1）第一图案的长度，第二个图案的长度，，第个图案边长为；第五个图案的长为；故答案为：1.8，6.6；（2）由（1）得第个图案的长为；故答案为：；（3）由题意得：，，，至少需要带有圆形花纹的地砖60块．19．（2023•合肥模拟）如图，下列图形是由边长为1个单位长度的小正方形按照一定规律摆放的“”形图形，观察图形：（1）图10中小正方形的数量是个：图2023的周长是个单位长度；（2）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形图个数记作，图中小正方形个数记作，则个（用含的代数式表示）．【答案】见解析【详解】（1）图1中小正方形的个数为：，周长为：；图2中小正方形的个数为：，周长为：；图3中小正方形的个数为：，周长为：；，图中小正方形的个数为：，周长为：，图1010中小正方形的数量是：；图2023的周长是：，故答案为：2023，8100；（2）．故答案为：．20．（2023•包河区一模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，第4个等式：，第5个等式：，按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第6个等式为：．故答案为：；（2）猜想：第个等式为：，证明：等式左边右边，故猜想成立．21．（2023•合肥模拟）丰艳花卉市场将深色和浅色两种花齐摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题：（1）第4个图案需要花卉盆；（2）第个图案需要花卉盆（用含的代数式表示）；（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数．【答案】见解析【详解】（1）第1个图案需要花卉的盆数为：，第2个图案需要花卉的盆数为：，第3个图案需要花卉的盆数为：，第4个图案需要花卉的盆数为：，故答案为：41；由（1）可得：第个图案需要花卉的盆数为：；故答案为：；（3）设第个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，由题意得：，解得：，，答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601．22．（2023•蜀山区一模）如图中，图（1）是一个菱形，将其作如下划分：第一次划分：如图（2）所示，连接菱形对边中点，共得到5个菱形；第二次划分：如图（3）所示，对菱形按上述划分方式继续划分，共得到9个菱形；第三次划分：如图（4）所示，依次划分下去．（1）根据题意，第四次划分共得到个菱形，第次划分共得到个菱形；（2）根据（1）的规律，请你按上述划分方式，判断能否得到2023个菱形？为什么？【答案】见解析【详解】（1）第一次划分所得到的菱形的个数为：，第二次划分所得到的菱形的个数为：，第三次划分所得到的菱形的个数为：，第四次划分所得到的菱形的个数为：（个，第次划分所得到的菱形的个数为：个，故答案为：17；；（2）不能，理由如下：，解得：，故不能得到2023个菱形．23．（2023•庐阳区校级三模）观察下列等式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：；（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第5个等式为：．故答案为：．（2）第个等式为：．证明：右边，左边，左边右边．等式成立．故答案为：．24．（2023•庐阳区模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中：第1个图案中基本图形的个数：，第2个图案中基本图形的个数：，第3个图案中基本图形的个数：，第4个图案中基本图形的个数：，．按此规律排列，解决下列问题：（1）写出第5个图案中基本图形的个数：；（2）如果第个图案中有2024个基本图形，求的值．【答案】见解析【详解】（1）由题意得：第5个图案中基本图形的个数：，故答案为：17；（2）由题意得：第个图形中基本图形的个数为：，第个图案中有2024个基本图形，，解得：．25．（2023•合肥二模）观察如图中小黑点的个数与等式的关系，按照其图形与等式的规律，解答下列问题：（1）写出第5个等式：．（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示）；（3）若第组图形中等号左右两边各有171个小黑点，求．【答案】见解析【详解】（1）第5个等式为：，故答案为：；（2）猜想：第个等式为：，故答案为：；（3）第组图形中等号左右两边各有171个小黑点，，解得：．26．（2023•庐江县二模）观察下列图形和其对应的等式：根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个图形对应的等式是．（2）第个图形对应的等式是（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）；故答案为：；（2）；证明：右边左边，所以等式成立．故答案为：．27．（2023•蜀山区校级一模）观察下列等式：①；②；③；（1）写出④；（2）猜想：；（3）由以上规律，计算的值．【答案】见解析【详解】（1）观察可知：．故答案为：．（2）观察等式规律可得：．故答案为：．（3）由（2）可得，．28．（2023•芜湖模拟）将若干枚黑白棋子按照一定规律摆放成三角形阵，前5次摆放的情况如图所示．如果按照此规律继续摆放三角形阵，请解决下列问题：（1）第6个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为；（2）第个图案中，黑棋子的个数为，白棋子的个数为；（用含的式子表示）（3）当摆放到第个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．【答案】见解析【详解】（1）第6个图案中，黑棋子的个数为15，白棋子的个数为21；故答案为：15，21；（2）由图可知，白棋子的变化规律为每次增加3个，则第个图案中白棋子的个数为，黑棋子的变化为：时，0个；时，个；时，个；时，个；故第个图案中黑棋子个数为；故答案为：，；（3），，解得：，（不符题意，舍去），，，取正整数，且黑棋子第一次比白棋子多，．当摆放到第8个三角形阵时，该三角形阵中的黑棋子数第一次比白棋子多．故答案为：8．29．（2023•包河区校级一模）仔细观察下列各式：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；请你根据以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：；（2）写出第为正整数）个等式，并证明等式成立．【答案】见解析【详解】（1）由题意可得，第4个等式为：；故答案为：；（2）第个等式为：，右边左边，故等式成立．30．（2023•瑶海区模拟）观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第（5）个等式（2）写出你猜想的第个等式：（用含的等式表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第5个等式：，（2）猜想的第个等式，证明：左边右边，等式成立．31．（2023•庐阳区校级一模）观察以下等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，按照以上规律，解决下列问题：（1）按照此规律下去，第4个等式是：；（2）写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明．【答案】见解析【详解】（1）第4个等式是：，故答案为：；（2）第个