2021年上海中考数学二模24题汇编

2021二模24题汇编

【1崇明】

24.（本题满分12分，每小题满分4分）

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-3分别交x轴、y轴于A、8两点，抛物

线＞=/+法+。经过点A和点B,且其顶点为D.

（1）求抛物线的表达式；

（2）求/胡。的正切值；

（3）设点C为抛物线与x轴的另一个交点，点E为抛物线的对称轴与直线y=x-3的交点,

点P是直线y=尤-3上的动点，如果与△AED是相似三角形，求点P的坐标.

24.（本题满分12分，每小题满分各4分）

解：（1）:直线y=x-3分别交x轴、y轴于A、8两点

：.A（3,0）、B（0,-3）.........................................（2分）

♦.,抛物线y=f+6x+c•经过A（3,0）、B（0,-3）

0=9+3力+c

'-3=c

b=—2

解得

c=-3

.•.抛物线的解析式为y=/—2x—3............................（2分）

(2)y=x2-2x-3=(1)2-4

：.D(1,-4)..................................................(1分)

又A(3,0)、B(0,-3)

：.AB=342、AO=26、BD=y[2........................(1分)

/.AD2=AB2+BD2

：.乙4BD=90°...............................................(1分)

V21

（1分）

AB30—§

(3)VtanZ£D4=—>tanZBAD=-

23

，NEDAW45°,NBADW45°

,：ZCAB=A5°

，点P只能在x轴的上方

当点P只能在x轴的上方时，显然NAED=/P4C=135°

若△%(：与△AED是相似三角形

„AEPA.AEAC

则n——=——或——=——

EDACEDPA

①噎嚏时，卒号尸…陵,4).…(2分)

c、》AEACz，

②当一=——时,逑=£,PA=2y/2,P(5,2)(2分)

EDPA2PA

综上所述：点P的坐标为P(7,4)或P(5,2)

【2虹口】

24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）

如图8,在平面直角坐标系xOy中，直线/：y=+6与x轴、），轴分别交于点A、B,

4

k9

与双曲线从y=£交于点P（2,-）,直线x=m分别与直线/和双曲线，交于点E、D.

x2

（1）求k和b的值；

（2）当点E在线段AB上时，如果ED=B。，求m的值；

把点P（2,彳9）代入y=3+A中，得b=3....................................（2分）

（2）由题意：E（/??,—7n+3）,.则££>=（3〃2+3）-2.…（1分）

4m4m

〈ED=B0,月.80=3,

39

A（-m+3）--=3................................................................（1分）

4m

解得町二2百，吗=-2>/L...............................................................（1分）

・・,点E在线段48上，・・・m<0.

的值为一2g........................................................................................（1分）

（3）易得=J（m—0）2+（（加+3-3）2=歌心2....................................（1分）

①当m<0,点E在点D上方时，BE=.l—/n2=--m-

V164

3953

,:DE=BE,・•・（7+3）一一=--zw.解得叫二一3,吗=5（舍）.

153

ABC=DE=—fC（0,--）............................................................（1分）

44

935

②当m<0,点。在点E上方时，--（一6+3尸—m,方程无实根.

m44

3Q5

③当m>0,点E在点D上方时，（一m+3）-------m9方程无头根.

4m4

935

④当m>0,点。在点£上方时,-----（―m+3）=—777.

m44

解得町二一3(舍)，^2~--

1539

ABC=DE=—9C(0,—).・・・....................................................（1分）

88

339

综上所述C(0,—7)或C(0,—).....................................................（1分）

【3黄浦】

24.（本题满分12分）

如果抛物线Ci：y=ax2+/zr+c与抛物线C2：y=-⑪2+<Zr+e的开口方向相反，

顶点相同，我们称抛物线C2是G的“对顶”抛物线.

（1）求抛物线y=/-4x+7的“对顶”抛物线的表达式；

（2）将抛物线丫=/-48+7的“对顶”抛物线沿其对称轴平移，使所得抛物线与原抛物

线y=f-4x+7形成两个交点M、N,记平移前后两抛物线的顶点分别为A、B,当

四边形是正方形时，求正方形AM8N的面积.

（3）某同学在探究“对顶”抛物线时发现：如果抛物线。与C2的顶点位于x轴上，那么

系数b与4,c与e之间的关系是确定的，请写出它们之间的关系.

口

Ox

24.解：（1）由y=》2-4x+7,得y=（x-2y+3,顶点为（2,3）,-----------------（2分）

所以其“对顶”抛物线为y=—（x—2p+3,即y=-x2+4x-l.—（2分）

（2）易知A（2,3）,设正方形AMBN的对角线长为2出，

则点B（2,3+2%）,M（2+k,3+Z）,N（2-匕3+Z）,------------------------（1分）

由M（2+Z,3+女）在抛物线y=（x-2『+3上，

得3+Z=（2+Z—2）?+3,--（1分）

解得kl,Q0（舍）.-------------------------------------------（1分）

19

所以正方形AMBN的面积为］X（2Zy=2.------------------------------------（1分）

b=-d

（3）｛.--------------------------------------------------------------------------（2+2分）

c=-e

【4静安】

24.（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（2）小题3分）

在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（5,0）（如图），经过点A的抛物线

y=/+版+5与y轴相交于点8,顶点为点C.

y

（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；

（2）求NA8C的正弦值；

（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线

顶点为D,且△DCA与8c相似，求平移后的新

抛物线的表达式.

OAx

（第24题图）

24.解：（1）：抛物线,=/+公+5经过点4（5,

0）,0=25+53+5..........................................................（1分）

h--6......................................................（1分）

,抛物线表达式为y=——6x+5,顶点C的坐标为（3,—4）.......（2分）

（2）设抛物线的对称轴与X轴、AB分别相交于点£、F,点E（3,0）.

:点8（0,5）,：.OA=OB=5,46=572,Z048=45°,

.".EF=AE=2,CF=6................................................（1分）

7

yzvi./„jrv=SA/.CF+5zA.iivsfrf=2—CFQ9E+2—C/L]4£1=2—x6x3+2—x6x2=15.•（2分）

过点A作AH_LBC,垂足为H,

22

•/BC=73+（-4-5）=3V10,A5M8C=-fiCD4W=-x3^D4W=15.•（1分）

AAH=x/\0.：.sin/ABC=^=^J=@....................（1分）

AB5近5

..AE245AH

：.M/\AEC^Rt/\AHB,：.ZACE=ZABC.

.CDBA一CDBC

'：/\DCA与△ABC相似，••-—--___口V___—___•••••••••••••••..................（1分）

CA一BCCA~BA，

.CD_5叵CD_3M，。。=此或CD=6...............

-..................（1分）

一双—3厢”275s/T'3

:抛物线和y轴的交点向上平移的距离与顶点平移的距离相同，

，平移后的抛物线的表达式为y=x2—6x+5或y=V-6x+ll.••……（1分）

【5宝山】

24.（本题满分12分，每小题满分各4分）

在平面直角坐标系xOy中，抛物线丁=办2+以一1（。70）经过点4（_2,0）、凤1,0）和

点0（一3,〃），与y轴交于点C.

（1）求该抛物线的表达式及点。的坐标；

（2）将抛物线平移，使点C落在点6处，点。落在点E处，求△OOE的面积；

（3）如果点P在y轴上，△PCZ）与△ABC相似，求点P的坐标.

稀

-1

~01

24.（本题满分12分,每小题满分各4分）

（备用图）

解：（1）..•抛物线白=以2+加一1（。羊。经过点4（_2,0）、Ml，。）和点〃（一3,〃），

由题意得（4"-26=1，解得21.....................................2分

[a+b=l.b=L

[2

...二次函数解析式为＞1.................................1分

22

，点。的坐标为（—3,2）..............................................1分

（2）•.•抛物线平移，使点C落在点B处，点。落在点E处，

.*.£（-2,3）............................................................2分

•，,S&ODE=9——x3x2x2——=—.....................................2分

(3)联结C。、AC、CB,可得ZA3C=NOCE>=45°.

•.•△PC£＞与AABC相似，点尸在y轴上,

分类讨论：

i）当NBAC=NCDP时，

噎=11可得PX

1分

•••P（o,l）............................................................................................................1分

ii）当NBAC=ZDPC时，

由吐A可C得。。=9...............................................................................1分

CDPC

二尸（0,8）............................................................................................................1分

...点P的坐标为P（0,8）或P（0,l）时，△PCD与八ABC相似.

【6奉贤】

24.(本题满分12分，第⑴小题满分3分，第⑵小题满分4分，第⑶小题满分5分)

如图，在平面直角坐标系xQy中，己知B(0,2),点4在x轴正半轴上,

且04=208.抛物线y=or?+?o)经过点A、C.

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)将抛物线先向右平移机个单位，再向上平移I个

单位，此时点C恰好落在直线AB上的点C处，

求m的值；

(3)设点B关于原抛物线对称轴的对称点为联

结AC,如果点尸在直线AB，上，ZACF^ZBAO,

求点F的坐标.

24.解：(1)由题意，抛物线)=以2+次经过点

jl6o+4/?=0

得，3，

（2分）

ia+b--—

\2

抛物线的表达式是y=gx2—2x.........................................(1分)

(2)设直线A8的解析式丁="+b(Z?0),

由它经过点A、B,得产+6=0,

\b=2

丁・直线AB的解析式为y=-—x+2.......................................（1分）

2

•••将抛物线先向右平移机个单位，再向上平移1个单位，设………（2分）

将C$+〃?,-；代入y=_gx+2,解得〃=?4...........................

（1分）

（2）tan?OACtan?BAO-,?OAC?BAO...................（1分）

22

•••点B关于原抛物线对称轴的对称点为B',

：.B'(4,2),直线A9为x=4............................................................................(1分)

当点尸在直线44上，且N4CF=N8A0时，

(i)过点C作x轴平行线交直线卡4于点1，此时点£的坐标为#,-■1...........(1分)

(ii)作？ACg?BAO,射线CF?交x轴于点。

设。(〃，0),1••?ACF2?BAO?CAO,：.DC=DA

I1717

**-4-n=J(n-1)~4—,解得n=—，**•D(—,0)..................................(1分)

7488

直线CO的解析式为当x=4,y=2,.•.居鹏,3.............(1分)

【7金山】

24.（本题满分12分，每小题满分4分）已知直线y=Qc+b经过点A（—2,0）,夙1,3）两点,

抛物线y=。/-4奴+/?与已知直线交于C、。两点（点C在点。的右侧），顶点为P.

（1）求直线y=的表达式.

（2）若抛物线的顶点不在第一象限，求。的取值范围.

（3）若直线DP与直线A5所成的夹角等于15°,且点P在直线AB的上方，求抛物线

y=6的表达式.V

24.解：（1）：直线y=经过点A（—2,0）,B（l,3）；第24题图

f-2女+8=0

所以：<,..........（2分）

k+b=3

&=1

解得：\;..........（1分）

上2

.,.直线^=女1+8的表达式为y=x+2...................（1分）

（2）・.・〃=2,・,•抛物线的表达式为>=。工2-4。l+2=。（不一2y+2-4。；...（1分）

.•.顶点「的坐标是（2,2-4。）；..........（1分）

•.•抛物线的顶点不在第一象限，且顶点尸在直线x=2上；…….....（1分）

............（1r襄/

...顶点尸在x轴上或者第四象限，...Z-daWO,即…”

2/7Xc

分）4-///\

=女2_4℃+2与直线A3交3>6\

（2）・・•顶点P在直线AB的上方，抛物线y二

于。、。两点；

.••抛物线开口向下；

-yli\

抛物线y=ax2-4ax+2与直线y=

点。在点。的右侧；

点。的坐标是（0,2）；....................（1分）

VOA=OD=2,N400=90°,NQAO=NODA=45°；

设直线QP与x轴交于点M,•••直线OP与直线A8所成的夹角等于15°,且点P在直线

A3的上方；

ZADM=15°,ZPMO=ZPAO+ZADM=60°；

在中，cotZDMO=—,即也=且，,=毡；........（1分）

0D233

设对称轴直线x=2与x轴交于点E,可知P£_Lx轴，NPEO=NZ）OM=90°；

.•・P£7/y轴，丝=生即」—=—,解得PE=2g+2；

'MEPE2+26PE

3

2—4a=2g+2,可得a=-叵.......................（1分）

2

抛物线y—ax2—4ax+b的表达式是y——x2+2+2....................（1分）

【8普陀】

24.(本题满分12分，第(1)小题满分4分，笫(2)小题满分4分，第(3)小题满分4分)

在平面直角坐标系X。》中(如图8),已知抛物线y=gx2+&r+c与x轴交于点

A(-2,0),8(6,0),与)，轴交于点C,点。是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线A。

与直线3c交于点£.

(1)求6、c的值和直线3c的表达式；

(2)设NC4T>=45。，求点E的坐标；

(3)设点。的横坐标为4,用含"的代数式表示△4CE与△DCE的面积比.

y

1-

_______I________I

-1O1

24.解：(1)由抛物线y=+bx+c与x轴交于点A(-2,0)、倒小0),得

抛物线的表达式是y=；(x+2)(x—6)...............................................................(1分)

即：抛物线的表达式是y=gx2—2X-6.

因止匕，b=-2>c=-6........................................................................................(I分)

可得点C的坐标为(0,-6).

可设直线BC的表达式为y=kx-6.

因为直线5c过点5,可得0=6x-6,解得&=1............................................(1分)

因此，直线5c的表达式为y=x—6..................................................................(1分)

（2）由3（6,0）,C（0,-6）,可得NASC=45。,

：NC4D=45°,AZCAD=ZABC....................................（1分）

又：NACB为公共角，:.XACESXBCA.............................（1分）

得AC2=CE[JCB.

'：AC2=40,CB=6y/2,：.CE=^^-...............................（1分）

3

由点E在线段BC上，可设点E的坐标为（丸机-6）,

由两点距离公式。炉=（加一0）2+即一6-（一6）『，得2"=些.解得加=竺.

93

；.点E的坐标为（号,-|）.............................................（1分）

（3）•.,△4。£与400£同高，；.=—........................（1分）

S&DCEED

过点4作40，M，交直线BC于点M,过点。作£归，垂足为点“，并与

直线8C相交于点N.

.AEAM

可得AM//DN.>•（1分）

DE1）N

由题意得A/W=8,DN—―-J2+3（/）..................................（1分）

2

-r/曰AE16

可得一=-5----...................................................（1分）

DE-d2+6d

即△ACE与△DCE的面积比等于—

-d2+6d

【9青浦】

24.（本题满分12分，每小题满分各4分）

已知：如图6,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=+桁+3的图像与x轴交于

点

4（-1,0）和点8,与y轴交于点C,对称轴是直线x=l,顶点是点D.

（1）求该抛物线的解析式和顶点。的坐标;

（2）点P为该抛物线第三象限上的一点，当四边形PBDC为梯形时，求点P的坐标;

抛物线的解析式为y=-炉+2%+3.

把x=l代入抛物线的解析式，得y=4.：,D（1,4）..........................（1分）

（2）:•点尸为抛物线第三象限上的点，且四边形P8DC为梯形，

：.CD//BP................................................................................................（1分）

延长0c交x轴负半轴于点F,过点。作y轴的垂线，垂足为点G,过点P作

x轴的垂线，垂足为点从

VC(0,3),0(1,4),

：.GD=CG=].：.ZGDC=45°.

'：GD//BF,:.NDFB=NGDC=45。.

•:CD//BP,:.NPBF=/DFB=45°.........................................................(1分)

NPBF=NHPB,：.PH=BH.

设点P的坐标为（X，―/+2x+3）.由题意可知8（3,0）.

得3—x=—(—f+2x+3)............................................................................（1分）

解得x=-2,或x=3.(舍)

:・P（-2,-5）............................................（1分）

（3）・.・P（-2,-5）,

.•.在Rj“O中，tanZPOH=—=-.........................（1分）

0H2

；tan（/PBO+/PEO）=±，

2

ZPBO+ZPEO=ZPOH.

由（2）可知，NPBO=45°,因此/PEO<45。，所以点E在点B的右侧.

又；NPBOMBPO=NPOH,：.NPEO=NBPO.................................（1分）

,:NPOB=NPOB,:.丛OPBs丛OEP..........................（1分）

.OB0P.3V29.八匚29

（1分）

OP0E晒0E3

图6

（10徐汇】

24.（本题满分12分）

14

如图，已知抛物线y=］，+加与y轴交于点C,直线y=-§x+4与y轴和x轴

分别交于点A和点8,过点。作8_143,垂足为点。，设点E在x轴上，以CD为对

角线作/JCEDF.

（1）当点C在NA3O的平分线上时，求上述抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果口CEO尸的顶点厂正好落在y轴上，求点尸的坐标；

（3）如果点E是8。的中点，且OCEO尸是菱形，求加的值.

4（第24题图）

24.解：（1）•.•直线y=-§》+4与y轴和x轴分别交于点A和点B,

：.得40,4)、3(3,0)；AO=4,80=3A3=5；

•.•点。在NA3O的平分线上，CDLAB,CO上BO,

：.CO^CD；又易得50=30=3,...40=5—3=2；

在火/AAOC中，ZAOC=90°,tanZDAC=—=—=-

ADAO4

3333

：.CD=-AD=-x2=~；：.C0=CD=-；

4422

又抛物线y=；_?+山与y轴交于点。C(0,1)；

i3

抛物线的表达式是y=+1.

(2)•.•四边形C£0£是平行四边形，...£)£〃，尸，DE=CF；

又点尸正好落在y轴上，...b，BO,...£>£，BO；

由(1)得3。=3,在RfADEB中,ZDEB=90°,

.•.sinB啜二二处=3；...。£=鹿。=上

AB555

1231239

/.CF=DE=—；OF=OC+CF=-+—=—

52510

39

，F(0,—).

10

(3)联结EE交CD于点P,直线EF交y轴于点。.

•••四边形CEDF1是菱形，C£>_L£R,CP^-CD-,

2

又CD1AB,：.EQHAB-,

4

易得直线AB的表达式为＞AB=一§》+4；

43

设直线EQ的表达式为VEQ=—§x+。，又E(］，°)；

...可得6=2,二。(0,2)；

33

又AC=4—机，CD=AC-sinZC4£>=-(4-m)；ACP=—(4-m)；

53

又CQ=2-m,EQ=—,OE=—；

~22

3,“、

CFrp3-(4-m)

易得ACPQSAEOQ,/.—=—；即三10______

EQCQ52-m

解得加=0.

【11杨浦】

24.（本题满分12分，每小题4分）

如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-5与x轴相交于点A,与y轴相交于

点B,抛物线y=or、6x+c•经过A、B两点.

（1）求这条抛物线的表达式;

（2）设抛物线与x轴的另一个交点为C,点P是抛物线上一点，点Q是直线上一点，当

四边形8CPQ是平行四边形时，求点Q的坐标;

（3）在第（2）小题的条件下，联结QC,在NQCB内作射线CD与抛物线的对称轴相交于

Xi

点D,使得NQCD=NA8C,求线段DQ的长.

5

4

3

2

1

12345x

24.解：(1)令y=0,x=5,.•.点A(5,0).（1分）

第24题图

令X=O,.“=—5,.•.点8(0,-5).（1分）

:抛物线丫=以2+6工+。过点4（5,0）、B（0,-5）,

J25。+30+c=0,a=-1>

（1分）

[c=-5.

y=-x2+6x-5.....分)

2

(2)令)/=0,-x+6x-5=0»xi=1,x2=5.C(1,0).......(1分)

•.•点P在抛物线y=-d+6x-5上，.•.设点P(x,-f+6x-5).

:当四边形BCPQ是平行四边形时，PQ〃CB且PQ=CB.

-—x'+Gx—10)......(1分)

•.•点Q在直线y=x-5上，一V+6*-10=丫-1-5.二x=l(舍)，x=4.（1分）

：.P(4,3),：.Q(3,-2)...........(：1.分)

(3)设对称轴与x轴相交于点E

VC(1,0)、2(3,-2),：.CE=2,QE=2.：.CE=QE.：.ZCQE=45°............(1分)

;点A(5,0)、B(0,-5),：.OA=5,OB=5.：.OA=OB.：.AOBA=45°.

ZCQE=^OBA."：ZQCD=ZABC,：.ZCDE=ZOBC............(1分)

/.tanZCD£=tanZOBC.

iCE1

又•・•tan/O8c二一，AtanZCDE=——=-.VCE=2,：.DE=10.：,DQ=8............(2分)

5DE5

[12松江】

24.（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）

在平面直角坐标系xOy中，直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,抛物线

>=依2+区一5。经过点儿将点8向右平移5个单位长度，得到点C.

（1）求点C的坐标；

（2）求抛物线的对称轴；

（3）若抛物线的顶点在△08C的内部，求a的取值范围.

24.解：（1）•.•直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于点4、B,（第24题图）

AA（-1,0）>B（0,3）.........................................（2分）

：点B向右平移5个单位长度，得到点C

：.C（5,3）...................................................（1分）

（2）：抛物线y=ax?+Z?x-5a经过点A（-1,0）

a-h-5a=0...............................................（1分）

得6=与。........................................................（1分）

二y=ax2-4ax-5a...............................................（1分）

—4a

•••x=-----=2,.•.抛物线的对称轴为直线X=2...................（1分）

2a

（3）""y=ax2-4-ax-5a,y=-9。

；•抛物线的顶点坐标为（2,-9〃）.....................................（1分）

设直线OC的解析式为），=fcv（原0）,（5,3）,：.3=5k

（1分）

L6

当x=2时，y=—..........................，（1分）

•.•抛物线的顶点在△O8C的内部，.•.1<—9a<3

（1分）

（1分）

13(闵行)

24.(本题共3小题，每小题4分，满分12分)

在平面直角坐标系xQv中，抛物线y=-x，+m;r+”经过点4(5,0),顶点为点8.对

称轴为直线x=3,且对称轴与云轴交于点C.直线y=Ax+b经过点/，与线段8c交于

(1)求抛物线y=-/+m.r+〃的表达式：

(2)联结80、EO.当△5。£的面积为3

时，求直线y=Ax+b的表达式：

(3)在(2)的条件下，设点。为y轴上的

一点，联结8D、AD.当80=£O时，求NZX4O

的余切值.Ox

(第24鹿图)

24.解：(I)•.,对称轴为直线x=3,:.———=3.m=6..............(2分)

2x(-1)

1"抛物线F=4+/nx+n经过点/(5,0).

二0-52+6x5+〃，解得“=-5..........................(1分)

二抛物线的表达式为y=-x2+6x_5........................(1分)

(2)Vy=-X2+6.r—5=—(x—3)2+4

二8(3,4)..............................................(1分)

'：S：.S^=-BEOC=3,-BE-3=3,解得8£=2.

.,.£(3,2)..............................................(1分)

\•直线y=经过点45,0).£(3.2).

(5A+b=0,

・•・{,,人,.............................................(1分)

134+6=2.

解得；.y=r+5.................................................................(1分)

[o=5.

(3)VOD//BE,BD=EO.

四边形OEBD为平行四边形或等腰梯形.

(i)当BD//OE时,四边形为平行四边形，OD=BE.

V£(3,2),8(3,4).

：.OD=BE=2..............................................................................(1分)

VA(5,0),：.OA=5.