专题18 解答中档题型：反比例函数综合题（解析版）

专题18解答中档题型：反比例函数综合题1．（2021•安徽）已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点．（1）求，的值；（2）在图中画出正比例函数的图象，并根据图象，写出正比例函数值大于反比例函数值时的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）将点坐标代入反比例函数得：．．将点坐标代入正比例函数得：．．（2）如图：正比例函数值大于反比例函数值时的取值范围：或．2．（2023•合肥一模）如图，矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴．垂足为，已知点的坐标为．（1）求直线和反比例函数的解析式；（2）求矩形的面积．【答案】见解析【详解】（1）设直线的解析式为，把点的坐标代入得，直线的解析式为；把代入得，，反比例函数的解析式为；（2）点的坐标为，根据中心对称可得，，对角线垂直于轴，，，，，矩形的面积为．3．（2023•庐阳区校级一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，已知当时，；当时，．（1）求一次函数的函数表达式；（2）已知反比例函数图象上一点的横坐标为3，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）当时，；当时，，反比例函数与一次函数的交点的横坐标为1，将横坐标1代入反比例函数，得，点坐标为，将点坐标代入一次函数，得，解得，一次函数表达式为；（2）联立，解得，，点坐标为，反比例函数图象上一点的横坐标为3，点纵坐标为，点坐标为，设直线的解析式为，，为常数），代入点，点，得，解得，直线的解析式为，过点作轴交于点，交轴于点，如图所示，点横坐标为1，将点横坐标代入直线的解析式，得，则点坐标为，的面积．4．（2023•庐阳区一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，与轴交于点．（1）求、的值；（2）观察函数图象，直接写出不等式的解集；（3）连接，，求的面积．【答案】见解析【详解】（1）把代入得：，，，把代入得：，解得，，；（2）由（1）知，，，观察函数图象可得，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，或，不等式的解集为或；（3）如图：将、代入得：，解得，，将代入得：，，即，，的面积为15．5．（2023•蜀山区校级一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数第一象限内的图象相交于点，与轴相交于点．（1）求和的值；（2）如图，以为边作菱形，使点在轴正半轴上，点在第一象限，双曲线交于点，连接、，求．【答案】见解析【详解】（1）把点坐标代入一次函数解析式可得：，，点在反比例函数图象上，；（2）过点作垂足为，连接，一次函数的图象与轴相交于点，点的坐标为，，四边形是菱形，，，．6．（2023•庐阳区二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，点坐标为．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）已知，若的面积为10，求的值．【答案】见解析【详解】（1）把代入得：，解得，一次函数的解析式为，把代入得：，解得，反比例函数的解析式为；（2）在中，令得，解得，，，，由，解得或，，的面积为10，，解得或5．7．（2023•合肥二模）反比例函数与一次函数的图象交于、两点，坐标为．（1）求出点坐标；（2）若，是反比例函数图象上的点，，是一次函数图象上的点，当点在点下方时，判断自变量的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）反比例函数与一次函数的图象交于、两点，坐标为，，解得，，，，解得，，故；（2）结合函数图象，得当点在点下方时，，．8．（2023•庐阳区校级一模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点，且与轴和轴分别交于点、点．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）点在轴上，且，请求出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）将代入得：，，反比例函数为：．将，代入得：，解得：，一次函数的表达式为：．（3）在中，当时，，．，，在轴上，，．或．9．（2023•合肥一模）如图，直线与双曲线交于，两点，连接，．（1）求的面积；（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集是．【答案】见解析【详解】（1）设直线与轴的交点为，直线与双曲线交于，两点，，，，点坐标为，点代入，得，解得，直线解析式为，当时，，直线与轴交点坐标为，，的面积；（2）根据函数图象，不等式的解集为或，故答案为：或．10．（2023•庐阳区校级一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和．（1）根据函数图象可知，当时，的取值范围是或；（2）求反比例函数和一次函数的解析式．【答案】见解析【详解】（1）由图象可知，当时，的取值范围是或，故答案为：或；（2）点和在反比例函数的图象上，，解得，，，反比例函数为，将点和点的坐标代入得，解得，一次函数为．11．（2023•蜀山区一模）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点，与轴相交于点．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点与点关于轴对称，求的面积；（3）根据图象直接写出不等式的解集．【答案】见解析【详解】（1）把代入，得：，反比例函数的解析式为；把代入，得：，，把、代入，得，解得，一次函数的解析式为；（2）由可知的坐标为，点与点关于轴对称，，，；（3）根据图象得：不等式的解集为或．12．（2023•合肥二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，．（1）求，，的值；（2）观察图形，直接写出不等式的解集；（3）延长交反比例函数图形于点，求的面积．【答案】见解析【详解】反比例函数的图象经过，，，，，，点、在的图象上，，解得；（2）不等式的解集为或；（2）由（1）可知一次函数为，令，则，，，，延长交反比例函数图形于点，点与点关于原点对称，，．13．（2023•瑶海区三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，与轴交于点，连接，．（1）求双曲线的解析式；（2）若点在双曲线上，且，求点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）直线与双曲线相交于点，，中，，，把代入，可得，双曲线的解析式为；（2）设，则，过作于，轴于，则，又，，，，即，，又，，化简得，解得，（舍去），．14．（2023•萧县一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，，分别落在轴和轴上，将绕点逆时针旋转，使点落在轴上，得到，与相交于点，反比例函数的图象经过点，交于点．（1）求的值．（2）连接，则图中是否存在与相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由．（3）点在直线上，是平面内一点，当四边形是正方形时，请直接写出点的坐标．【答案】见解析【详解】（1）四边形为矩形，点的坐标为，，，，是旋转得到的，即：，，，，，，点的坐标为，的图象经过点，，得；（2）；；；．下面对进行证明：点在上，点的横坐标为4，对于，当，得，点的坐标为，，，，，，．，．，，；（3）由（2）可知，，，，，当时，可得四边形是正方形．当点在点的上方时，，．当点在点的下方时，，，综上所述，满足条件的点的坐标为或．15．（2023•定远县校级一模）如图，在菱形中，轴，点的坐标为，点的坐标为．边所在直线与轴交于点，与双曲线交于点．（1）求直线对应的函数解析式及的值．（2）当时，使的自变量的取值范围为．【答案】见解析【详解】（1）点，点，，．在中，由勾股定理得，四边形为菱形，，，点的坐标为，点的坐标为．对于直线，有，解得，双曲线交于点，；（2）由图象可知，当时，，所以，当时，使的自变量的取值范围为，故答案为．16．（2023•芜湖模拟）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．（1）填空：，；（2）过点作轴交反比例函数的图象于点，试求直线解析式的表达式；（3）观察图象，直接写出当时，不等式组的解集．【答案】见解析【详解】（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，，将点代入一次函数，得，解得故答案为：8，；（2）一次函数解析式为，当时，，点坐标为，轴交反比例函数的图象于点，点横坐标为1，将点横坐标代入，得点纵坐标为8，点点坐标为，设直线的解析式为，将和代入，得，解得，直线解析式；（3）由图象可知，不等式组的解集为．17．（2023•太和县二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．（1）求，的值．（2）请在网格中画出一次函数的图象，结合图象，直接写出当时，自变量的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）将代入反比例函数，得，解得：，，将，，代入一次函数得，解得：，；（2）如图所示，观察图象，当时，自变量的取值范围为或．18．（2023•贵池区一模）如图，直线与双曲线交于点，并与坐标轴分别交于点，，过点作轴，交轴于点，连接，当的面积为4时，求线段的长．【答案】见解析【详解】直线与坐标轴分别交于点、点，，，，，的面积为4，，且，解得：，直线的解析式为：，当时，解得：，（舍，点的横坐标为，轴，．19．（2023•蜀山区校级三模）如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于点、．（1）求、、的值；（2）求的面积；（3）若，、，是反比例函数图象上的两点，且，，指出点、各位于哪个象限，并简要说明理由．【答案】见解析【详解】（1）反比例函数与一次函数的图象交于点、，，，解，解得；（2）由（1）知一次函数的图象与轴的交点