12.2 三角形全等的判定（第三课时ASA、AAS）（原卷版）

八年级数学上分层优化堂堂清十二章三角形12.2三角形全等的判定第三课时ASA、AAS学习目标：1、掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件．能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．3、积极投入，激情展示，体验成功的快乐。【学习重点】已知两角一边的三角形全等探究．【学习难点】灵活运用三角形全等条件证明老师对你说：知识点1全等三角形的判定3：角边角（ASA）(1)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′AB=A′B′∠B=∠B′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).知识点2全等三角形判定4——“角角边”（AAS）（1）两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）（2）书写格式:如图12-2-5所示,在列举两个三角形全等的条件时，如:图12-2-5在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′∠B=∠B′AC=A′C′∴△ABC≌△A′B′C′(SAS).由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.知识点3判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SASAASASA两角对应相等ASAAAS两边对应相等SASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.注意：三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.基础提升教材核心知识点精练知识点1全等三角形的判定3：角边角（ASA）【例1-1】如图，点A、D、B、E在同一条直线上，若AD=BE，∠A=∠EDF，∠E=∠ABC.求证：AC=DF．【例1-2】在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，过点C作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，接EF、CF，则下列结论错误的是（

）A．∠DCF＝∠BCD B．∠DFE＝3∠AEFC．EF＝CF D．S△BEC＝2S△CEF【例1-3】如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

知识点2全等三角形判定4——“角角边”（AAS）【例2-1】如图，在△ABC中，D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE．求证：△ABC≌△ADE．【例2-2】如图，将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l上，且过A，B两点分别作直线的垂线，垂足分别为D，E，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．【例2-3】已知：如图，在△ABC中，D是BC边中点，CE⊥AD于点E，BF⊥AD于点F，(1)求证：△BDF≌△CDE；(2)若AD=5，CE=2，求知识点3判定方法的选择【例3-1】如图，AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD经过点E．求证：【例3-2】如图，在中，、是的角平分线，且、相交于点O．求证：．能力强化提升训练1.如图，线段与交于点，点为上一点，连接、、，已知，．

请添加一个条件________使，并说明理由．在（1）的条件下请探究与的数量关系，并说明理由．2.如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CD⊥AB于D，BE、CD交于点O，求证：OB＝OC．3.(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；(2)如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求(3)如图3，在平面直角坐标系中，A-1,0，C1,3，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，求点堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1．如图，，判定△EDC≌△ABC的理由是（A． B． C． D．无法确定2.王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC,∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（）A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm3.如图，与交于点，下列条件不能证明的是A．， B．， C．， D．，4.如图，，添加一个条件，仍不能说明的是A． B． C． D．5.如图，测量河两岸相对的两点，的距离时，先在的垂线上取两点、，使，再过点画出的垂线，当点，，在同一直线上时，可证明，从而得到，则测得的长就是两点，的距离，判定的依据是（）A．“” B．“” C．“” D．“”如图，在中，D是的中点，，若，则的值为（）A．10 B．15 C．20 D．257.如图，经过平行四边形的对角线中点的直线分别交边，的延长线于，，则图中全等三角形的对数是（）A．对 B．对C．对 D．对8.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，AE是中线，过点B作BF⊥AE于点F，过点C作CD⊥BC交BF的延长线于点D．下列结论：①BE＝CE；②AE＝BD；③∠BAE＝∠CBD；④∠EAC＝∠BAE；⑤BC＝2CD．正确的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个．二、填空题（每小题4分，共20分）9.已知，如图，，，添加一个条件：或，使得．10.如图，已知中，点，分别在边，上，连接，，，请你添加一个条件，使，你所添加的条件是（只填一个条件即可）．11.如图，在中，，，分别过点、作经过点的直线的垂线段、，若厘米，厘米，则的长为______．12.如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝65°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠MBC＝65°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里得到△MBC≌△ABC的依据是______．13.如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝4，AD＝6，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为_____．三、解答题（共6小题，48分）14.（8分）点、、、在直线l上（、之间不能直接测量），点A、在l异侧，，，．（1）试说明△ABC与△DEF（2）若，，求的长度．15.（8分）如图，已知BC＝EF，AC∥DF，∠A＝∠D．求证：△ACB≌△DFE．16.（8分）已知△ABC≌△DCE，且B、C、E三点在同一直线上，△ABC与△DCE在直线BE的同一侧，AC与BD交于点F，图中还有全等三角形吗？请写出来，并说明理由．17.（8分）已知：如图∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：△ABE≌△ADE．18.（8分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．（1）求证∶DE=DF；（2）若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．19.（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如图1所示，BC边在直线l上，若Rt△ABC绕点C沿顺时针方向旋转α，过点A、B分别作l的垂线，垂足分别为点D、E．当0＜α＜90°时，证明：△ACD≌△CBE，并探究线段AD、BE和DE的数量关系并说明理由；当90°＜α＜180°，且α≠135°时，探究线段AD、BE和DE的数量关系（直接写出结果）．拓展培优*冲刺满分1.如图，∠BCD=90°，BC=DC，直线PQ经过点D．设∠PDC=α（45°<α<135°），BA⊥PQ于点A，将射线CA绕点C按逆时针方向旋转90°，与直线PQ交于点E．（1）判断：∠ABC________∠PDC（填“>”或“=”或“<”）；（2）猜想△ACE的形状，并说明理由；2.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)当直线MN绕点C旋转到如下图所示的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明；(3)当直线MN绕点C旋转到如图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，不必证明．如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B