福建省南平市2023届高三第三次质量检测数学试题

南平市2023届高中毕业班第三次质量检测数学试题（考试时间：120分钟满分：150分考试形式：闭卷）注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．已知，则（）A．B．1C．D．3．已知正方形ABCD的边长为1，点M满足，则（）A．B．1C．D．4．2023年3月11日，“探索一号”科考船搭载着“奋斗者”号载人潜水器圆满完成国际首次环大洋洲载人深潜科考任务，顺利返回三亚．本次航行有两个突出的成就，一是到达了东南印度洋的蒂阿曼蒂那深渊，二是到达了瓦莱比-热恩斯深渊，并且在这两个海底深渊都进行了勘探和采集．如图1是“奋斗者”号模型图，其球舱可以抽象为圆锥和圆柱的组合体，其轴截面如图2所示，则该模型球舱体积为（）A．B．C．D．5．已知函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，则（）A．的周期为B．在上单调递增C．的图象关于点对称D．的图象关于直线对称6．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产规格的芯片．现有25块该规格的芯片，其中来自甲、乙、丙的芯片数量分别为5块、10块、10块．若甲、乙、丙生产的芯片的优质品率分别为0.9，0.8，0.7，则从这25块芯片中随机抽取一块，该芯片为优质品的概率是（）A．0.78B．0.64C．0.58D．0.487．A，B分别是函数和图象上的点，若AB与x轴平行，则的最小值是（）A．B．C．D．8．已知双曲线的左顶点为A，若E上存在点P，使得P与A关于直线对称，则E的离心率为（）A．B．C．2D．3二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若，则（）A．B．C．D．10．在棱长为1的正方体中，E，F分别是AB，BC中点，则（）A．平面B．平面C．平面平面D．点E到平面的距离为11．已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（）A．的最大值为B．的面积最小值为2C．当取到最大值时，直线AP与C相切D．当取到最大值时，12．已知函数满足，，则（）A．B．C．若方程有5个解，则D．若函数（且）有三个零点，则第II卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式中常数项为________．14．对于任意实数，直线恒过定点A，且点，则直线AB的一个方向向量为________．15．已知曲线和曲线有唯一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线l，则l的方程为________．16．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设为数列的前n项积．已知．（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和．18．（12分）已知中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．（1）求A的大小；（2）设AD是BC边上的高，且，求面积的最小值．19．（12分）如图，在三棱锥中，底面ABC是边长为4的正三角形，，，SB与平面ABC所成角为．（1）证明：；（2）点D在CA的延长线上，且，M是SD的中点，求平面BCM与平面SAB夹角的余弦值．20．（12分）五一小长假期间，文旅部门在某地区推出A，B，C，D，E，F六款不同价位的旅游套票，每款套票的价格（单位：元；）与购买该款套票的人数（单位：千人）的数据如下表：套票类别ABCDEF套票价格（元）405060657288购买人数（千人）16.918.720.622.524.125.2（注：A，B，C，D，E，F对应i的值为1，2，3，4，5，6）为了分析数据，令，，发现点集中在一条直线附近．（1）根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；（2）规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间上时，该套票为“热门套票”．现有甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款．假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热门套票”的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：①参考数据：，，，．②对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．21．（12分）已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为F，C的离心率为，且C上的点B到F的距离的最大值和最小值的积为1．过点F的直线（与x轴不重合