2024年高考数学复习：03 中心对称、轴对称和周期性归类（全国通用）（原卷版）

03中心对称、轴对称与周期性归类【题型一】中心对称性质1：几个复杂的奇函数【典例分析】已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.若满足，则关于中心对称2.3.【变式演练】1.对于定义在上的函数，点是图像的一个对称中心的充要条件是：对任意都有，判断函数的对称中心______.2.设函数，若，满足不等式，则当时，的最大值为A． B． C． D．3.已知函数，若，其中，则的最小值为A． B． C． D．【题型二】中心对称性质2：与三角函数结合的中心对称【典例分析】已知函数与在（，且）上有个交点，，……，，则A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律1.三角函数的对称中心（对称轴）有数个，适当结合条件确定合适。2.要注意一个隐含性质：一次函数是直线，它上边任何一个点都可以作为对称中心。一般情况下，选择它与坐标轴交点，或则别的合适的点【变式演练】1.函数在上的所有零点之和等于______.2.若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为___________．3.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（）A． B． C． D．【题型三】轴对称【典例分析】已知函数有唯一零点，则负实数（）A．B．C．D．或【提分秘籍】基本规律1.函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称；2.如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.3.与关于直线对称。【变式演练】1.已知函数在区间的值域为，则（）A．2 B．4 C．6 D．82.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（a-x），若函数y=|x2-ax-5|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），且=2m，则a=（）A．1 B．2 C．3 D．43.已知函数，下面是关于此函数的有关命题，其中正确的有①函数是周期函数；②函数既有最大值又有最小值；③函数的定义域为，且其图象有对称轴；④对于任意的，（是函数的导函数）A．②③ B．①③ C．②④ D．①②③【题型四】中心对称和轴对称构造出周期性【典例分析】已知函数f(x)为定义域为R的偶函数，且满足f(12+x)=f(32−x)，当x∈[−1 ，  0]【提分秘籍】基本规律关于对称中心与对称轴构造周期的经验结论1.若函数有两个对称中心（a，0）与（b，0）），则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。2.若函数有两条对称轴x=a与x=b，则函数具有周期性，周期T=2|a-b|。3.若函数有一个对称中心（a，0）与一条对称轴x=b，，则函数具有周期性，周期T=4|a-b|。【变式演练】1.定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实数根，则方程在区间上所有实根之和是（）A．30 B．14 C．12 D．62.已知定义域为的函数的图像关于原点对称，且，若曲线在处切线的斜率为4，则曲线在处的切线方程为（）A． B． C． D．3.若函数是上的奇函数，又为偶函数，且时，，比较，，的大小为（）A． B．C． D．【题型五】画图：放大镜【典例分析】设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”的“似周期”为，那么它是周期为2的周期函数；②函数是“似周期函数”；③如果函数是“似周期函数”，那么“或”．以上正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【提分秘籍】基本规律“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大。2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0。3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移。【变式演练】1.已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（）A． B． C． D．2.设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则m的取值范围是（）A． B．C． D．3.定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（）A． B． C． D．【题型六】利用对称解决恒成立和存在型【典例分析】已知函数，且对于任意的，恒成立，则的取值范围为（）A． B．C． D．【提分秘籍】基本规律常见不等式恒成立转最值问题：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；【变式演练】1.已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2.已知是定义在R上的函数，且关于直线对称.当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．3.已知，，若对于，使得，则实数m的取值范围是_________．【题型七】函数整数问题【典例分析】定义：表示不等式的解集中的整数解之和.若，，，则实数的取值范围是A． B． C． D．【提分秘籍】基本规律涉及到整数型题，一般要用到奇偶性和对称性，周期性，单调性，对学生的分析问题解决问题的能力、转化与化归能力要求较高，试题综合度高，没有固定的方法，较难【变式演练】1.定义在上的奇函数满足，当时，.若在区间上，存在个不同的整数，满足，则的最小值为A．15 B．16 C．17 D．182.已知偶函