第二章：Matlab应用基础

第二章Matlab

应用基础本章内容2.1变量及其操作2.2

Matlab数组和矩阵的运算2.3Matlab函数学习目标掌握变量及其操作。了解函数相关知识，熟练掌握常用数学函数。熟练掌握Matlab的矩阵的生成和运算。本章知识地图matlab应用基础变量及其操作数值和矩阵的运算matlab函数程序设计函数类型其它函数常用数学函数matlab工作方式M文件的创建与打开程序的控制结构数据输入输出交互式指令行操作M文件编程工作方式命令文件函数文件2.1.1Matlab

语言的变量命名规则 1.变量——程序执行过程中可以变化的量。 Matlab中的变量可以由用户指定变量名。 通过变量名随时可以引用变量和修改变量。 Matlab特殊之处：无需进行变量声明。（遇到新变量名时，自动生成变量，并指定合适的存储空间。如变量早已存在，则自动更新。）

2.1变量及其操作2.1.1Matlab

语言的变量命名规则

2.自定义变量命名规则 在MatlabR2012b中，变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列，最多63个字符。 在Matlab中，变量名区分字母的大小写；第一个字符必须是英文字母（不能超过63个字符）； 变量名必须是不含空格的单个词； 观察下面的变量名是否合理？

>>isvarname

myVarName

ans=

1

>>isvarname7myVarName

ans=

0下列变量名中_____________是合法变量。A、pi,exe_01B、x*y,x1C、2a,ifD、abs,b.m2.1.2

Matlab

的保留常量和变量保留常量不能重复定义！1.获取当前变量 （1）用赋值语句初始化变量。 （2）用input函数从键盘输入初始化变量。例如：>>in1=input('enterdata:');Enterdata:1.23

>>in2=input('enter

data:','s')Enterdata:1.23

2.1.4变量的查看和清除2.1.4变量的查看和清除2.查看变量

who：查看当前工作区（workspace）的变量。

whos：查看当前变量的详细信息。3.清除变量

clear：清除所有定义过的变量。

clear变量名：清除某个变量。2.2.1冒号表达式冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：

e1:e2:e3

其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值。

在Matlab中，还可以用linspace函数产生行向量。其调用格式为：

linspace(a,b,n)

其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数。

显然，linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价。2.2Matlab数组与矩阵运算1.直接输入法

最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔。例输入矩阵A，B的值。>>A=[1234;5,6,7,89,10,11,12;13141516]>>B=[1,sqrt(25),9,1326107*23+sin(pi),7,11,154,abs(-8),12,16]2.2.2矩阵的建立2.利用M文件建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个M文件。

m文件中的变量名称与文件名不能相同。 否则会出现变量名与文件名的混乱。例由m文件输入矩阵的值。A=[1234;5,6,7,89,10,11,12;13141516]B=[1,sqrt(25),9,1326107*23+sin(pi),7,11,154,abs(-8),12,16]2.2.2矩阵的建立3.建立大矩阵

大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。例

A=[123;456;789]; C=[A,eye(size(A));ones(size(A)),A]2.2.2矩阵的建立1.矩阵元素

通过下标引用矩阵的元素，例如

A(3,2)=200

采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。在Matlab中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如

A=[1,2,3;4,5,6];

A(3)

ans=

2

显然，序号(Index)与下标(Subscript)是一一对应的，以m×n矩阵A为例，矩阵元素A(i,j)的序号为(j-1)*m+i。其相互转换关系也可利用sub2ind和ind2sub函数求得。2.2.3矩阵的拆分2.矩阵拆分

(1)利用冒号表达式获得子矩阵

①A(:,j)表示取A矩阵的第j列全部元素；A(i,:)表示A矩阵第i行的全部元素；A(i,j)表示取A矩阵第i行、第j列的元素。

②A(i:i+m,:)表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素；A(:,k:k+m)表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素。

③A(:)将矩阵A每一列元素堆叠起来，成为一个列向量，而这也是Matlab变量的内部储存方式。 此外，还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末尾元素下标。2.2.3矩阵的拆分

(2)利用空矩阵删除矩阵的元素

在Matlab中，定义[]为空矩阵。给变量X赋空矩阵的语句为X=[]。注意，X=[]与clearX不同，clear是将X从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为0。2.2.3矩阵的拆分1.基本算术运算

Matlab的基本算术运算有：＋(加)、－(减)、*(乘)、/(右除)、\(左除)、^(乘方)。

注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。2.点运算

在Matlab中，有一种特殊的运算，因为其运算符是在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.\和.^。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同。2.2.4Matlab数据的运算2.2.4Matlab数据的运算

(1)矩阵加减运算 假定有两个矩阵A和B，则可以由A+B和A-B实现矩阵的加减运算。运算规则是：若A和B矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，A和B矩阵的相应元素相加减。如果A与B的维数不相同，则Matlab将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。(1)矩阵加减运算

例A=[12;3,4],B=[56;78], 求X1=A+B;

X2=A-B;

X3=A+3;

X4=B-4。

>>A=[1,2;3,4]>>B=[56;78]>>X1=A+B>>X2=A-B>>X3=A+3>>X4=B-42.2.4Matlab数据的运算2.2.4Matlab数据的运算(2)矩阵乘法

假定有两个矩阵A和B，若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则C=A*B为m×p矩阵。

.*：矩阵对应元素相乘（数组运算）2.2.4Matlab数据的运算 (2)矩阵乘法

例A=[123;-200;101;-12-3],

B=[-13;-22;21]

求A*B

>>A=[123;-200;101;-12-3],

B=[-13;-22;21]

>>A*B>>B*A(?)>>A*Bans=1102-614-9-2>>B*AErrorusing*Innermatrixdimensionsmustagree.

2.2.4Matlab数据的运算 (2)矩阵乘法

例A=[123;4,5,6],B=[56;78;910]，C=[56

7;8

910]

求X1=A*B;X2=A*2;X3=A.*B;X4=A.*2。>>A=[1,2,3;456]>>B=[56;78;910]

>>C=[567;8

910]>>X1=A*B;>>X2=2*A;

>>X3=A.*B（?）

>>X4=A.*2

>>X5=A.*C

（?）

>>X3=A.*BErrorusing.*Matrixdimensionsmustagree.>>X4=A.*2X4=24681012>>X5=A.*CX5=512213245602.2.4Matlab数据的运算

(3)矩阵除法

在Matlab中，有两种矩阵除法运算：\和/，分别表示左除和右除。如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B和B/A运算可以实现。A\B等效于A的逆左乘B矩阵，也就是inv(A)*B，而B/A等效于A矩阵的逆右乘B矩阵，也就是B*inv(A)。

对于含有标量的运算，两种除法运算的结果相同，如3/4和4\3有相同的值，都等于0.75。又如，设a=[10.5,25]，则a/5=5\a=[2.10005.0000]。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般A\B≠B/A。2.2.4Matlab数据的运算(3)矩阵除法

提示：

x=A\B是方程A*x=B的解;x=B/A是方程x*A=B的解。若A为非奇异矩阵，则A\B和B/A可如下获得：

A\B=inv(A)*BB/A=B*inv(A)

\：矩阵左除

/

:矩阵右除

./

：矩阵点右除（数组运算）

.\

：矩阵点左除（数组运算）2.2.4Matlab数据的运算(3)矩阵除法

例A=[103;4136;749],B=[4;7;1]

求X1=A\B；X2=B/A；X3=A./B>>A=[103;4136;749],B=[4;7;1]>>X1=A\B

>>X2=B/A（？）

>>X3=A./B（？）

>>X4=A./2>>X2=B/AErrorusing/Matrixdimensionsmustagree.

>>X3=A./BErrorusing./Matrixdimensionsmustagree.

X4=A./2X4=0.500001.50002.00006.50003.00003.50002.00004.5000

X1=A\BX1=-3.15910.40912.38642.2.4Matlab数据的运算

(3)矩阵的除法

例求解线性方程组2.2.4Matlab数据的运算(3)矩阵的除法 分析： A=[2-13;31-5;4-11],B=[5;5;9] 解答： >>A=[2-13;31-5;4-11],B=[5;5;9]

>>X=A\B

2.2.4Matlab数据的运算(4)矩阵的乘方

一个矩阵的乘方运算可以表示成A^x，要求A为方阵，x为标量。

.^的运算规则：（1）A.^p

表示矩阵中每个元素的p次乘方。（2）维度相同的A、B矩阵求A.^B，表示矩阵A中元素对矩阵B中的对应元素求幂。结果矩阵与原矩阵维度相同。

2.2.4Matlab数据的运算

例A=[103;4136;749]

求A^2>>A=[103;4136;749]

>>A^2

A^2ans=221230981931448688126>>A.^2ans=10916169364916812.2.4Matlab数据的运算

例已知a=0:4,b=1:5,下面的运算表达式出错的为_____________。A、a+bB、a./bC、a’*b D、a*b

2.2.4Matlab数据的运算3.关系运算和逻辑运算

Matlab提供了6种关系运算符：<(小于)、<=(小于或等于)、>(大于)、>=(大于或等于)、==(等于)、～=(不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。2.2.4Matlab数据的运算关系运算符的运算法则为：

(1)当两个比较量是标量时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果为1，否则为0。

(2)当参与比较的量是两个维数相同的矩阵时，比较是对两矩阵相同位置的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。2.2.4Matlab数据的运算

(3)当参与比较的一个是标量，而另一个是矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或1组成。2.2.4Matlab数据的运算例建立5阶方阵A，判断A的元素是否能被3整除。

A=[24,35,13,22,63;23,39,47,80,80;... 90,41,80,29,10;45,57,85,62,21;37,19,31,88,76]P=rem(A,3)==0

其中，rem(A,3)是矩阵A的每个元素除以3的余数矩阵。此时，0被扩展为与A同维数的零矩阵，P是进行等于(==)比较的结果矩阵。

P= 10001 01000 10000 11001 000002.2.4Matlab数据的运算Matlab提供了3种逻辑运算符：&(与)、|(或)和～(非)。逻辑运算的运算法则为：

(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，用1表示，零元素为假，用0表示。

(2)设参与逻辑运算的是两个标量a和b，那么，

a&b

a,b全为非零时，运算结果为1，否则为0。

a|b

a,b中只要有一个非零，运算结果为1。

～a当a是零时，运算结果为1；当a非零时，运算结果为0。2.2.4Matlab数据的运算

(3)若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。

(4)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或0组成。2.2.4Matlab数据的运算

(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。

(6)在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低。

4.矩阵的其他运算sum——sum(X)表示向量X所有元素之和，sum(X,DIM)表示数组矩阵X的对应第DIM维元素之和，例，如果X=[012;345]，则sum(X,1)是[357]而sum(X,2)是[3,12]’。inv——矩阵求逆det——行列式的值2.2.4Matlab数据的运算2.2.4Matlab数据的运算eig——求矩阵的特征值和特征向量，E=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成向量E。[V,D]=eig(A)：求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，A的特征向量V的列向量。[V,D]=eig(A,‘nobalance’)：与前一种格式类似，但前一种格式中先对A作相似变换后求矩阵A的特征值和特征向量，而后一种直接求矩阵A的特征值和特征向量。2.2.4Matlab数据的运算diag——对角矩阵,设A为m×n矩阵，diag(A)函数用于提取矩阵A主对角线元素，产生一个具有min(m,n)个元素的列向量。diag(A)函数还有一种形式diag(A,k)，其功能是提取第k条对角线的元素。设V为具有m个元素的向量，diag(V)将产生一个m×m对角矩阵，其主对角线元素即为向量V的元素。diag(V)函数也有另一种形式diag(V,k)，其功能是产生一个n×n(n=m+|k|)对角阵，其第k条对角线的元素即为向量V的元素。2.2.4Matlab数据的运算rank——求矩阵秩trace——求矩阵的迹,其为矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。2.2.4Matlab数据的运算矩阵的转置例A=[103;4136;749]；

B=[123;456;789+9i]

求X1=A’

X2=B’>>A=[103;4136;749]>>B=[103;4136;749+9i]

>>X1=A'>>X2=B'2.2.4Matlab数据的运算矩阵的逆例G=[120;25-1;410-1]求G的逆，并验证之。>>G=[120;25-1;410-1]>>X=inv(G)

>>DW1=G*X>>DW2=X*G2.2.4Matlab数据的运算矩阵的逆例设矩阵A和B满足关系式AB=A+2B其中，A=[423;110;-123]求矩阵B。分析：

1AB=A+2B=〉（A-2E）B=A2所以，B=（A-2E）-1A >>A=[423;110;-123]

>>B=inv(A-2*eye(3))*A2.2.4Matlab数据的运算矩阵的特征值

运算符：eig

调用格式：eig(A)例求矩阵A的特征值。其中

A=[100;020;003]。

>>A=[100;020;003]>>eig(A)2.2.4Matlab数据的运算求矩阵的特征多项式

运算符：poly

调用格式：poly(A)例求矩阵A的特征多项式。其中

A=[120;25-1;410-1]。

>>A=[120;25-1;410-1]>>poly(A)2.2.4Matlab数据的运算求矩阵的秩

运算符：rank

调用格式：rank(A)例求矩阵A的秩。其中

A=[123;456]。

>>A=[123;456]>>rank(A)2.2.4Matlab数据的运算求矩阵元素的个数

运算符：numel

调用格式：numel(A)例题：求矩阵A的个数。其中A=[123;456]。

>>A=[123;456]>>numel(A)2.2.4Matlab数据的运算方阵的行列式

运算符：det

调用格式：det(A)方阵的行列式例题：求方阵A的行列式的值。其中

A=[110;002；05-1]。

>>A=[110;002;05-1]

>>det(A)2.2.4Matlab数据的运算方阵的迹

运算符：trace

调用格式：trace(A)例题：求方阵A迹。其中

A=[110;002；05-1]。

>>A=[110;002;05-1]

>>trace(A)常用的产生通用特殊矩阵的函数有：

zeros： 产生全0矩阵(零矩阵)。

ones： 产生全1矩阵(幺矩阵)。

eye： 产生单位矩阵。

rand： 产生0～1间均匀分布的随机矩阵。

randn： 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵。2.2.5特殊矩阵2.2.5特殊矩阵magic(n)，生成一个n阶魔方阵。魔方矩阵的每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。对于n阶魔方阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。vander(V)，生成以指定向量V为基础向量的范得蒙矩阵。其最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量V，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。hilb(n)，生成希尔伯特矩阵，其每个元素为 ，invhilb(n)，求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵。toeplitz(x,y)，生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。这里x,y均为向量，两者不必等长。toeplitz(x)用向量x生成一个对称的托普利兹矩阵。托普利兹(Toeplitz)矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。2.2.5特殊矩阵2.2.5特殊矩阵compan(p)，生成多项式p(x)的伴随矩阵，其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。pascal(n)生成一个n阶帕斯卡矩阵，二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡(Pascal)矩阵。2.3常用数学函数初等数学函数：helpelfun高等数学函数：helpspecfun

helpelmat注意问题：（1）等式中，函数一定是出现在等式的右边。（2）函数参数要求。（变量个数和格式要求）（3）允许函数嵌套。下面通过实例演练熟悉部分常用函数。小整理：Matlab常用的基本数学函数abs(x)：纯量的绝对值或向量的长度sqrt(x)：开平方real(z)：复数z的实部imag(z)：复数z的虚部conj(z)：复数z的共轭复数angle(z)：复数z的相角round(x)：四舍五入至最近整数fix(x)：无论正负，舍去小数至最近整数floor(x)：地板函数，即舍去正小数至最近整数ceil(x)：天花板函数，即加入正小数至最近整数rat(x)：将实数x化为多项分数展开rats(x)：将实数x化为分数表示2.3常用数学函数小整理：Matlab常用的基本数学函数sign(x)：符号函数(Signumfunction)。当x<0时，sign(x)=-1；当x=0时，sign(x)=0;

当x>0时，sign(x)=1。rem(x,y)：求x除以y的馀数gcd(x,y)：整数x和y的最大公因数lcm(x,y)：整数x和y的最小公倍数exp(x)：自然指数pow2(x)：2的指数log(x)：以e为底的对数，即自然对数log2(x)：以2为底的对数log10(x)：以10为底的对数2.3常用数学函数实战1：函数abs功能数值的绝对值与复数的幅值格式Y=abs(X)

%返回参量X的每一个分量的绝对值；

%若X为复数的，则返回每一分量的幅值

%abs(X)=sqrt(real(X).^2+imag(X).^2)例>>x=-18;>>z1=abs(x)>>y=-2+4i;>>z2=abs(y)2.3常用数学函数实战2：函数sqrt功能求平方根函数格式Y=sqrt(X)%数值的平方根运算例>>x=16;>>z1=sqrt(x)>>y=-18;>>z2=sqrt(y)>>f=2+4i;>>z3=sqrt(f)2.3常用数学函数2.3常用数学函数实战3：函数exp功能以e为底数的指数函数格式Y=exp(X)

%对参量X的每一分量，求以e为底数的指数函数Y。

%X中的分量可以为复数。

%对于复数分量如，z=x+i*y，

%则相应地计算：e^z=e^x*(cos(y)+i*sin(y))。例>>x=3;>>z1=exp(x)>>y=-3;>>z1=exp(y)>>f=2+4i;>>z3=exp(f)2.3常用数学函数实战4：函数log功能自然对数，即以e为底数的对数。格式Y=log(X)

%对参量X中的每一个元素计算自然对数。

%其中X中的元素可以是复数与负数，但由此可能得到意想不到的结果。

%若z=x+i*y，则log对复数的计算如下：

%log(z)=log(abs(z))+i*atan2(y,x)例:>>x=20.0855>>z1=log(x)>>f=2+4i;>>z3=log(f)下面的语句可以得到无理数π的近似值：>>pai=abs(log(-1))实战5：函数log10功能常用对数，即以10为底数的对数。格式Y=log10(X)%计算X中的每一个元素的常用对数，

%若X中出现复数，则可能得到意想不到的结果。例>>x=10;>>z1=log10(x)>>y=-10;>>z1=log10(y)>>f=2+4i;>>z3=log10(f)2.3常用数学函数实战6：函数lcm功能整数x和y的最小公倍数格式z=lcm(x，y)%计算整数x和y的最小公倍数

例>>x=10;y=23;>>z1=lcm(x,y)>>x=10;y=2;>>z2=lcm(x,y)>>x=10;y=-2;//?>>z3=lcm(x,y)2.3常用数学函数实战7：函数gcd功能整数x和y的最大公约数格式z=gcd(x，y)%计算整数x和y的最大公约数

例>>x=10;y=23;>>z1=gcd(x,y)>>x=10;y=2;>>z2=gcd(x,y)>>x=10;y=-2;>>z3=gcd(x,y)2.3常用数学函数实战8：函数real功能复数的实数部分。格式Y=real(Z)

%返回输入参量Z的每一个分量的实数部分。例>>f=3+8i;>>z=real(f)实战9：函数imag功能复数的虚数部分格式Y=imag(Z)

%返回输入参量Z的每一个分量的虚数部分。例>>f=9+7i;>>z=imag(f)2.3常用数学函数实战10：函数sin功能正弦函数格式Y=sin(X)

%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）

%中每一个角度分量的正弦值Y %所有分量的角度单位为弧度值例计算下式的结果，其中x=-3.5度，Y=6.7度.

>>x=pi/180*(-3.5);y=pi/180*6.7；>>z=sin(abs(x)+abs(y))/sqrt(cos(abs(x+y)))2.3常用数学函数实战11：函数cos功能余弦函数格式Y=cos(X)

%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）

%中每一个角度分量的余弦值Y例计算下式的结果，其中x=-3.5度，Y=6.7度.

>>x=pi/180*(-3.5);y=pi/180*6.7；>>z=sin(abs(x)+abs(y))/sqrt(cos(abs(x+y)))2.3常用数学函数实战12：函数asin功能反正弦函数格式Y=asin(X)

%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个

%元素的反正弦函数值Y。

%若X中有的分量处于[-1,1