2021-2022学年北师大八年级（上）数学寒假作业（六）

2021-2022学年北师大新版八年级（上）数学寒假作业（六）

一.选择题（共6小题）

1.下列实数是无理数的是（）

A.AB.0.1010010001

3

C.ITD.V9

2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,3）,则点A关于），轴对称点的坐标是（）

A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(2,3)

3.下列化简结果正确的是（）

A.-V64=-8B.V64=±8

CV（-64）2=-64D.±V64=8

4.一次函数丁=丘+方，则左、b的值为（

A.jt>0,b>0B.Q0,b<0C.左<0,b>0D.左VO,b<0

5.如图，当4O〃BC时，下列结论正确的是)

A.Z3=Z4B.Z2=Z4C.Z1=Z3D.NB=ND

6.如图表示一艘船从甲地航行到乙地，到达乙地后旋即返回.横坐标表示航行的时间，纵

坐标表示船与甲地的距离.下列说法错误的是（)

A.船从甲地到乙地航行的速度比返航的速度更快

B.船从甲地航行到乙地的路程为si,时间为A

—2sl

c.船往返的平均速度为v=—L

t2

D.匕表示船在返航时所用的时间

二.填空题（共4小题）

7.一次函数y=2x+6的图象与y轴的交点坐标是.

8.己知点A（V2，yi）,B（V3,＞,2）在直线y=x上，则yiyi（填写＜、=、＞）.

9.如图，。为△ABC边AC上一点，以点A为圆心，为半径画弧，交8A的延长线于点

E,连接ED若NB=60°,ZC=70°,则NACE的度数为.

10.如图，在长方形A8CD中，A8=4,BC=8,点E是BC边上一点，J&AE=EC,点P

是AO边上一动点，连接PE、PC.给出下列结论：

①BE=3；

②当AP=5时，XE//CP-.

③当时，AE平分NBEP；

6

④若NPBE=NEPC,则/8PC=NPEC.其中正确的是.

D

三.解答题（共3小题）

11.解方程组：（2x+3y=16.

Ix-y=3

12.如图，人反映了某公司产品的收入与销售量的关系，/2反映了该公司产品的成本与销售

量的关系，根据图象解决下列问题：

（1）当销售量为2f时，收入=元，成本=元，盈利为元，当销

售量=/时，收入=成本；

13.如图，已知点A（2,-5）在直线/i：y=2x+〃上，人和/2：-1的图象交于点8,

且点B的横坐标为8.

（1）直接写出仄女的值；

（2）若直线八、/2与y轴分别交于点C、D,点P在线段BC上，满足SABDP=』SABDC,

求出点P的坐标；

（3）若点。是直线/2上一点，且NB4Q=45°,求出点。的坐标.

2021-2022学年北师大新版八年级（上）数学寒假作业（六）

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

1.下列实数是无理数的是（）

A..1B.0.1010010001

3

C.ITD.V9

【考点】无理数；算术平方根.

【专题】实数；数感.

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概

念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环

小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：4工是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

3

B、0.1010010001是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

C、TT是无理数，故本选项符合题意；

。、化简结果为3,属于有理数，故本选项不合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：TT,2Tt等；

开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数.

2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2,3）,则点A关于y轴对称点的坐标是（）

A.（-2,-3）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（2,3）

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案.

【解答】解：•••点A的坐标为（-2,3）,

，点A关于y轴对称点的坐标是（2,3）.

故选：D.

【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题

关键.

3.下列化简结果正确的是（

A.-764=-8B.V64=±8

c.1（-64）2=-64D.±V64=8

【考点】二次根式的性质与化简；平方根.

【专题】二次根式；运算能力.

【分析】直接根据平方根与算术平方根的概念判断即可.

【解答】解：A、-V64—■8,正确；

B、V64=8,计算不正确；

C、1（-64）2=64,计算不正确；

D、土/鼠=±8,计算不正确.

故选：A.

【点评】此题考查的是平方根与算术平方根的概念，掌握其概念是解决此题关键.

A.k>0,b>0B.k>0,h<0C.k<0,b>0D.k<0,b<0

【考点】一次函数图象与系数的关系.

【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定匕6的取值范围，从而求解.

【解答】解：•.•一次函数y=丘+匕的图象经过第二、四象限，

.•"<0时，

又；直线与y轴正半轴相交，

：.b>0.

故A<0,b>0.

故选：C.

【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与“、b的关系.

人>0时，直线必经过一、三象限；

A<0时，直线必经过二、四象限；

匕>0时，直线与y轴正半轴相交；

6=0时，直线过原点；

匕<0时，直线与y轴负半轴相交.

5.如图，当A£>〃8C时，下列结论正确的是（）

A.Z3=Z4B.Z2=Z4C.Z1=Z3D.NB=ND

【考点】平行线的性质.

【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力.

【分析】根据平行线的性质判断即可.

【解答】W：".,AD//BC,

：.Z1=Z3,

故选：C.

【点评】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键.

6.如图表示一艘船从甲地航行到乙地，到达乙地后旋即返回.横坐标表示航行的时间，纵

坐标表示船与甲地的距离.下列说法错误的是（）

A.船从甲地到乙地航行的速度比返航的速度更快

B.船从甲地航行到乙地的路程为si,时间为。

c.船往返的平均速度为v=—5-

12

D.〃表示船在返航时所用的时间

【考点】坐标与图形性质.

【专题】函数及其图象；应用意识.

【分析】根据函数图象的纵坐标，可得甲乙两地的距离为SI,根据从甲地航行到乙地的

图象比较陡，可知船从甲地到乙地航行的速度比返航的速度更快；船从甲地航行到乙地

的路程为S1,时间为外；往返所用时间为⑵往返的平均速度为v=—L

七2

【解答】解：由题意可知，甲乙两地的距离为si,从甲地航行到乙地的图象比返回的陡,

所以船从甲地到乙地航行的速度比返航的速度更快，故选项A不合题意；

由题意可知，船从甲地航行到乙地的路程为si,时间为小故选项8不合题意；

由题意可知，往返所用时间为Z2,往返的平均速度为丫=—L,故选项C不合题意；

七2

Z2表示船在往返所用时间，故选项。符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形性质，观察纵坐标得出路程，观察横坐标得出时间是解

题关键.

二.填空题（共4小题）

7.一次函数y=2x+6的图象与y轴的交点坐标是（0,6）.

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用；运算能力.

【分析】利用一次函数y=-2x+6的图象与y轴交点x=0的特点求解.

【解答】解：当x=0时，y=6.

一次函数），=-2x+6的图象与y轴交点坐标是（0,6）.

故答案为：（0,6）.

【点评】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，掌握函数与y轴的交点的横坐标

为0是解题的关键.

8.己知点Ayi）,B（V3,”）在直线y=x上，则vi<V2（填写<、=、>）.

【考点】一次函数图象上点的坐标特征.

【专题】一次函数及其应用；推理能力.

【分析】由一次函数y=x可知，k=1>0,y随x的增大而增大，由此即可得出答案.

【解答】解：..•一次函数y=x可知，无=1>0,y随x的增大而增大，

,:近<a,

•'•y1<y2.

故答案为：<.

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数），=履+6（无#0）中，

当上>0时y随x的增大而增大是解答此题的关键.

9.如图，。为AABC边AC上一点，以点A为圆心，AO为半径画弧，交区4的延长线于点

E,连接ED若/B=60°,NC=70°,则N4£>E的度数为25°.

【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质.

【专题】三角形；推理能力.

【分析】由三角形的内角和定理可求得/C4B的度数，再由题意可得NAEQ=NAOE,

结合三角形的外角性质可得NAE£>+/AOE=/C48,从而可求解.

【解答】解：,.•/B=60°,NC=70°,

；.NCAB=180°-ZB-ZC=50°,

:以点A为圆心，A£>为半径画弧，交54的延长线于点E,

J.AE^AD,

：.NAED=ZADE,

"：ZAED+ZADE=ZCAB,

：.ZADE+ZADE=50°,

解得：ZAD£=25°.

故答案为：25°.

【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之

间的关系.

10.如图，在长方形A8CD中，AB=4,BC=8,点E是BC边上一点，J&AE=EC,点P

是AO边上一动点，连接PE、PC.给出下列结论:

①BE=3；

②当AP=5时，AE//CP；

③当时，AE平分/BEP；

6

④若NPBE=NEPC,则NBPC=/PEC.其中正确的是①②③④

【考点】矩形的性质；角平分线的性质.

【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；运算能力；推理能力.

【分析】根据线段的和差得到AE=EC=BC-BE=S-BE,根据勾股定理得到BE=3,

故①正确；求得AP=AE=CE,推出四边形AECP是平行四边形，根据平行四边形的性

质得到AE//CP,故②正确；如图，过E作EH±AD于H,根据勾股定理得到PE=

7PH2+HE2=^(-1)2+42=根据角平分线定义得到AE平分NBEP,故③正确；

根据三角形的外角的性质得到/PEC=/8PC,故④正确.

【解答】解：；AB=4,BC=8,

：.AE=EC=BC-BE=8-BE,

•：AB2+BE2=AE1,

42+8产=(8-BE)2,

BE=3,故①正确；

：.AE=CE=5,

'：AP=5,

：.AP=AE^CE,

'JAP//CE,

四边形AECP是平行四边形，

：.AE//CP,故②正确；

如图，过E作EH_LAO于H,

则/AHE=90°,

在长方形ABC。中，VZDAB=ZABC=90°,

：.ZDAB=ZABC=ZAHE=90°,

...四边形A8EH是矩形，

：.AH=BE=3,EH=AB=4,

：AP="

6

:.PH=L

6

AP£=VPH2+HE2=-J(J)2+42^^

：.AP=PE,

:.NPAE=/PEA,

'：AP//BC,

：.ZPAE=ZAEB,

：.NPEA=NAEB,

；.AE平分/BEP,故③正确;

:NPBC=NEPC,

：.ZPBC+ZBPE=ZBPE+ZEPC,

即NP£C=NBPC；故④正确；

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定

义，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线构造矩形是解题的关键.

三.解答题（共3小题）

11.解方程组：（2x+3y=16.

lx-y=3

【考点】解二元一次方程组.

【专题】一次方程（组）及应用；运算能力.

【分析】①+②X3得出5x=25,求出无，把尤=5代入②得出5-），=3,再求出y即可.

【解答】解：（2x+3*6①，

lx-y=3②

①+②X3,得5x=25,

解得：x=5,

把元=5代入②，得5-y=3,

解得：y=2,

所以方程组的解是［x=5.

1y=2

【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解

此题的关键.

12.如图，反映了某公司产品的收入与销售量的关系，/2反映了该公司产品的成本与销售

量的关系，根据图象解决下列问题：

（1）当销售量为2f时，收入=4000元,成本=6000元,盈利为-2000元,

当销售量=4f时,收入=成本；

（2）求出盈利卬与销售量x的函数表达式.

【考点】一次函数的应用.

【专题】一次函数及其应用；应用意识.

【分析】（1）通过图象观察可以得出销售收入和销售成本；再利用收入减去成本就可以

求出利润，从图象可以看出/1与/2的交点坐标为（4,8000）,即可求出结论；

（2）利用待定系数法求出力/2对应的函数表达式，进而得出w=yi求出即可.

【解答】解：（1）通过图象观察可以得出，当x=2时，对应的与人的交点是（2,4000）,

与/2的交点是（2,6000）,

，当销售量为2f时，收入=4000元，成本=6000元，

...盈利为:收入-成本=4000-6000=-2000（元）.

/1与/2的交点坐标是（4,8000）,

则当销售量是4r时，收入=成本.

故答案为:4000,6000,-2000,4；

(2)设/i对应的函数表达式是)，|=ot,

将(2,4000)代入

.•.4000=2”，

解得；a=2000,

对应的函数表达式是：yi=2000x；

设/2对应的函数关系式为)2="+匕，

力2过点(0,4000),

.”=4000,

又；/2过点(2,6000),

.•.6000=2左+4000,

解得：jt=1000,

所以”=10001+4000；

w=y1-*=2000x-(1000x4-4000)

即1000A-4000.

【点评】本题考查一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，识别函数图象，搞清

楚交点意义和图象的相对位置是解题的关键.

13.如图，已知点A(2,-5)在直线/i：y=2r+匕上，八和/2：>=区-1的图象交于点8,

且点8的横坐标为8.

(1)直接写出氏&的值；

(2)若直线/1、/2与y轴分别交于点C、D,点P在线段BC上，满足S"DP=2S^BDC,

4

求出点P的坐标；

(3)若点Q是直线/2上一点，且NBAQ=45°,求出点。的坐标.

【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；

推理能力.

【分析】(1)将点A的坐标代入y=2x+b中，求出b的值即可求出直线人的解析式，然

后将x=8代入直线人的解析式中，即可求出点B的坐标，最后将点3的坐标代入

-1中，即可求出k的值；

(2)过点B作BE_Ly轴于点E,过点P作PFLy轴于凡根据点B的坐标即可求出3E

的长，由题意可得S^CDP=1S^DC,然后根据三角形的面积公式即可求出PF,从而求

4

出点P的坐标；

(3)过。作QEJ_AQ交AB于E,过Q作FG//y轴，过A作AFLFG于凡过£作EG

LFG于G,利用44s可得△£GQ之△Q41CAAS),根据全等三角形的性质得EG=QF,

QG=AF,设Q(a,a-1),贝UAF=2-a,FQ^a+4,GE=a+4,QG=2-a,点E坐标

(2a+4,1),由/i的解析式求出a的值，即可求解.

【解答】解：(1)将点4的坐标代入)，=2x+b中，得-5=2X2+b,

解得：b--9,

二直线1\的解析式为y=2x-9,

将x=8代入y=2x-9中，

解得：y=7,

.♦.点B的坐标为(8,7),

将点B的坐标代入y—kx-1中，得

7=8k-1,

解得：k=l,

综上：b--9,k=l；

(2)过点3作轴于点E过点尸作尸口Ly轴于F,

ABE=8,

SABDP=—SABDC,

4

o

**.S^CDP=—S^BDCy

4

」CD•PF=3X工CD，BE,

242

.•.JLX8PF=&X8><8,

28

：.PF=6,即点P的横坐标为6,

将x=6代入y—2x-9中，

解得：y=3,

...点P的坐标为（6,3）；

（3）过。作。E_LAQ交AB于E,过Q作FG〃y轴，过A作AF_LFG于F,过E作EG

J_FG于G,

：.ZEQG+ZAQF=9QQ,NQAP+NAQF=90°,

；.NEQG=NQAF,

'：ZEQA=90°,ZQAE=45°,

...△AQE是等腰直角三角形，

：.EQ=QA,

在AEG。和AQ阳中，

2G=NF

,ZEQG=ZQAF)

EQ=QA

：./\EGQ^/\QFA(A4S),

：.EG=QF,QG=AF,

设。(a,«-1),

VA(2,-5),

.'.AF=2-a,FQ=a+4,GE—a+4,QG=2-a,

.•.点E坐标(2a+4,1),

把£(2a+4,1)代入y=2x-9中，

得4a+8-9=l,解得：a=—,

2

.•.点。的坐标为(工，-A).

22

【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直

角三角形的性质，掌握利用待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式和全等三

角形的判定及性质是解题的关键.

考点卡片

1.平方根

(1)定义：如果一个数的平方等于“，这个数就叫做。的平方根，也叫做a的二次方根.

一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.

(2)求一个数“的平方根的运算，叫做开平方.

一个正数a的正的平方根表示为“«”，负的平方根表示为“一4”.

正数a的正的平方根，叫做”的算术平方根，记作零的算术平方根仍旧是零.

平方根和立方根的性质

I.平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；。的平方根是0;负数没有平方

根.

2.立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数,

0的立方根是0.

2.算术平方根

(1)算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于"，即那么这个正数

x叫做a的算术平方根.记为

(2)非负数a的算术平方根。有双重非负性：①被开方数。是非负数；②算术平方根“本

身是非负数.

(3)求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平

方根时，可以借助乘方运算来寻找.

3.无理数

(1)＞定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周

率、2的平方根等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

(3)学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小

数，③含有n的数，如分数TT2是无理数，因为n是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如加，如,相等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有n的绝大部分数，如如.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如J正是有理数，而不

是无理数.

4.二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：

①六对：心0（双重非负性）.

②（3）2=。（。20）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）.

a（a>0）

③U=|a|=，0（a=0）（算术平方根的意义）

-a（a<0）

（2）二次根式的化简:

①利用二次根式的基本性质进行化简;

②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简.

Vab-Va,Vb(心0,b>0)

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被

开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一

个因数（或因式）的指数都小于根指数2.

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1.常见题型：与分式的化简求值相结合.

2.解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简.

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果.

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.

5.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式代

入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求出X

（或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一

次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程组的

任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到

原方程组的解，用［x=a的形式表示.

Iy=b

6.坐标与图形性质

1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵

坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离

求坐标时，需要加上恰当的符号.

2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，

是解决这类问题的基本方法和规律.

3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去

解决问题.

7.一次函数图象与系数的关系

由于y=fcc+〃与y轴交于（0,b）,当6>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交

于正半轴；当b<0时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴.

①%>0,的图象在一、二、三象限；

②女>0,匕<0=y=fcv+6的图象在一、三、四象限；

③1<0,。>0=.丫=区+6的图象在一、二、四象限；

④上<0,的图象在二、三、四象限.

8.一次函数图象上点的坐标特征

一次函数>=丘+匕，（ZW0,且A,匕为常数）的图象是一条直线.它与x轴的交点坐标是（-

二，0）；与y轴的交点坐标是（0,b）.

k

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+h.

9.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科

学合理，又要符合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根

据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

(1)简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

(2)理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

10.一次函数综合题

(1)一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

(2)一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前

面范围内的前提下求出最值.

(3)用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信