人教版13.4课题学习-最短路径问题课件15张PPT

1、浠水县巴驿中学浠水县巴驿中学 陶威陶威人教版人教版 数学八年级（上）数学八年级（上） 13.413.4唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”。诗中隐含着一个有。诗中隐含着一个有趣的数学问题。趣的数学问题。BAl将将 军军 饮饮 马马 情情 境境 导导 入入 将将 军军 饮饮 马马 情情 境境 导导 入入 BAl？问题1：如图所示，一位将军要从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然后到河对面B地，问到河边什么地方饮马可使他的路程最短？ 探探 索索 新新 知知 分析：怎样将这个实际问题转化为数学问题呢？分

2、析：怎样将这个实际问题转化为数学问题呢？ 1 1、如图，将、如图，将A，B 两地看成两个点，将河两地看成两个点，将河l看成看成一条直线一条直线 2 2、那么这个实际问题就转化为是否能、那么这个实际问题就转化为是否能在直线在直线l上找一点上找一点C，使得，使得 CA+ +CB最小？最小？作法：连接作法：连接AB，与与l交点即为所求点交点即为所求点C。依据：两点之间，线段最短。依据：两点之间，线段最短。BA河l？C问题问题2 2：如图所示，若将军要从：如图所示，若将军要从A地出发，到一条笔直的河边饮马，然地出发，到一条笔直的河边饮马，然后回到与后回到与A同侧的同侧的B B地，问到河边什么地方饮马可

3、使他的路程最短？地，问到河边什么地方饮马可使他的路程最短？类比问题类比问题1 1将这个实际问题转化为数学问题。将这个实际问题转化为数学问题。（1 1）如图，将）如图，将A A，B B 两地看成两个点，将河两地看成两个点，将河l看成看成为一条直线。为一条直线。（2 2）上面问题就转化为：是否能在）上面问题就转化为：是否能在l上找一点上找一点C C，使得，使得CACA+ +CBCB最小。最小。lBA 探探 索索 新新 知知 ABlC？BAlC探索：探索：比较问题比较问题2和问题和问题1，有什么区别与联系，有什么区别与联系.分析分析:若能将点若能将点B移到移到l的另一侧的另一侧B，同时对，同时对l上

4、任一点上任一点C，都能保持，都能保持CB与与CB的的长度相等，就可以将问题长度相等，就可以将问题2 2转化为转化为问题问题1 1。猜想：猜想：利用轴对称知识找所求点利用轴对称知识找所求点B. 探探 索索 新新 知知 AlCBBAlC问题：为什么这样找到的点问题：为什么这样找到的点C C，就能使得，就能使得CACA+ +CBCB最短呢？最短呢？请看动态演示图请看动态演示图. .(1)(1)作点作点B B关于直线关于直线l 的对称点的对称点BB；(2)(2)连接连接AB,AB,与直线与直线l 相交于点相交于点C C。则点则点C C即为所求即为所求作法：作法：B提示提示：本题也可作本题也可作A点关于

5、直线点关于直线l的对称点，利用同样的方法求出点的对称点，利用同样的方法求出点C 探探 索索 新新 知知 AB/ABlQC证明：如图所示证明：如图所示,在直线在直线l上任意取不同于点上任意取不同于点C的一点的一点Q， 连接连接QA、QB、 QB. CB=CB,CA+CB=CA+CB=AB.QB=QB,QA+QB=QA+QB.又又ABQA+QB,(两点之间线段最短两点之间线段最短）CA+CB QA+QB.即此时点即此时点C使得使得CA+CB的值最小的值最小. 探探 索索 新新 知知 归纳回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的的方式、归纳回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的的方式、借助什么知识来解决问

6、题的？借助什么知识来解决问题的？ 过过 程程 回回 顾顾 问题1问题2建立模型转化为数学问题建立模型转化为数学问题借助轴对称的性质将问题2转化为问题1联想问题解决实际问题 过过 程程 回回 顾顾 如图，在 RtABC中，A= 30,C=90,且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上一动点，求PB+PC的最小值NMACB130PP解：MN为AC的垂直平分线， 点A与点C关于MN对称. 当点P为AB与MN的交点时，PB+PC最小. 此时PB+PC=AB. RtABC中，A=30，BC=1, AB=2BC=2.（ ） PB+PC的最小值为2. 分析分析：B、C在MN同侧，属于“两定点在直

7、线同侧路径最短问题”，可直接应用“同侧对称点”解决问题。 新新 知知 应应 用用 直角三角形中，若一个锐 角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。河 小小 试试 牛牛 刀刀 1.1.今天我们学习了两种情况下的最短路径问题，是哪两种呢？今天我们学习了两种情况下的最短路径问题，是哪两种呢？ 归归 纳纳 小小 结结 （1）两点在一条直线异侧（2）两点在一条直线同侧2.2.对于这两种情形怎样解决问题对于这两种情形怎样解决问题？（1）两点在一条直线异侧异侧直接连 （2）两点在一条直线同侧同侧对称点1.1.如图，在等边如图，在等边ABCABC中，边中，边BCBC的高的高ADAD=4=4，点，点P P是高是高AD