2020年湖南省湘潭市中考数学试卷

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号

涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）

1.-6的绝对值是（）

11

A.-6B.6C.-zD.-

66

2.地摊经济一词最近彻底火了，发展地摊经济，进行室外经营与有序占道经营，能满足民

众消费需求，在一定程度上缓解了就业压力，带动了第三产业发展，同时活跃市场，刺

激经济发展，一经推出，相关微博话题阅读量就超过了60（X）00000次，这个数据用科学

记数法表示为（）

A.0.6X108B.6XIO7C.6X108D.6X109

3.已知与.4y3是同类项，则〃的值是（)

A.2B.3C.4D.5

4.下列图形中，不是中心对称图形的是（）

A.OB.冈J

5.下列运算中正确的是（）

1

A.（/）3=〃5B.（-）1=-2C.（2-V5)°=1D.浸・。3=2。6

2

6.如图，NAC。是△ABC的外角，若NACO=UO0,ZB=50°,则NA=()

A

人

BCD

A.40°B.50°C.55°D.60°

7.为庆祝建党99周年，某校八年级（3）班团支部为了让同学们进一步了解中国科技的发

展，给班上同学布置了一项课外作业，从选出的以下五个内容中任选部分内容进行手抄

报的制作：A、“北斗卫星”：8、“5G时代”；C、“智轨快运系统”；£>、“东风快递”；E、

“高铁”.统计同学们所选内容的频数，绘制如图所示的折线统计图，则选择“5G时代”

的频率是（）

A.0.25B.0.3C.25D.30

8.如图，直线y=Ax+b（&V0）经过点P（l,1）,当h时，则x的取值范围为（）

A.xWlB.C.x<1D.x>l

二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24

分）

9.计算：sin45°=.

10.在数轴上到原点的距离小于4的整数可以为.（任意写出一个即可）

11.计算：V8-V2=.

12.走路被世卫组织认定为“世界上最好的运动”，每天走6000步是走路最健康的步数.手

机下载微信运动，每天记录自己走路的步数，已经成了不少市民时下的习惯.张大爷连

续记录了3天行走的步数为：6200步、5800步、7200步，这3天步数的平均数是步.

y3x—y

13.若一=则--=________.

x7x

14.如图，在半径为6的。。中，圆心角/AOB=60°,则阴影部分面积为.

15.如图，点尸是N4OC的角平分线上一点，PD1OA,垂足为点。，且PO=3,点M是

射线OC上一动点，则PM的最小值为.

16.算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很

大的贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字如图：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零

_LF=TTT

则置空.示例如图：-LTITT,则LIJ-'n'表示的数是.

三、解答题（本大题共io小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程

写在答题卡相应位置上，满分72分）

3

17.解分式方程：—-+2=—

x-1XT

18.化简求值：（1-2）+,其中a=-2.

a-1a'—22"a二+l"

19.生死守护，致敬英雄.湘潭28名医护人员所在的湖南对口支援湖北黄冈医疗队红安分

队，精心救治每一位患者，出色地完成了医疗救治任务.为致敬英雄，某校音乐兴趣小

组根据网络盛传的“红旗小姐姐”跳的脩州调声组建了舞蹈队.现需要选取两名学生作

为舞蹈队的领舞，甲、乙两班各推荐了一男生和一女生.（温馨提示：用男I、女1;男2、

女2分别表示甲、乙两班4个学生）

（1）请用列举的方法写出所有可能出现的结果；

（2）若选取的两人来自不同的班级，且按甲、乙两班先后顺序选取.请用列表或画树状

图的方法求出恰好选中一男一女的概率.

20.为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD

为矩形，DE=10m,其坡度为ii=l：V3,将步梯OE改造为斜坡AF,其坡度为匕=1：

4,求斜坡4F的长度.（结果精确到0.01机，参考数据：75=1.732,旧=4.122）

21.“停课不停学”.突如其来的新冠肺炎疫情让网络学习成为了今年春天一道别样的风景.隔

离的是身体，温暖的是人心.“幸得有你，山河无恙”.在钟南山、白衣天使等人众志成

城下，战胜了疫情.在春暖花开，万物复苏之际，某校为了解九年级学生居家网络学习

情况，以便进行有针对性的教学安排，特对他们的网络学习时长(单位：小时)进行统

计.现随机抽取20名学生的数据进行分析：

收集数据：4.5,6,5.5,6.5,6.5,5.5,7,6,7.5,8,6.5,8,7.5,5.5,6.5,7,6.5,

6,6.5,5

整理数据:

时长X(小时)4cxW55cxW66VxW77VxW8

人数2a84

分析数据:

项目平均数中位数众数

数据6.46.5b

应用数据：

(1)填空：a=,h=:

(2)补全频数直方图；

(3)若九年级共有1000人参与了网络学习，请估计学习时长在5<xW7小时的人数.

22.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的。。交BC于点O,过点。作。E_LAC,

垂足为点E.

(1)求证：△ABO且△AC£>；

(2)判断直线。E与。0的位置关系，并说明理由.

23.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，菱形0A3C的顶点A的坐标为（3,4）.

（1）求过点8的反比例函数的解析式；

（2）连接08,过点B作BO_LOB交x轴于点。，求直线的解析式.

24.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之

气”.某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则

臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本.已知购买2本《北上》和1本《牵风

记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同.

（1）求这两种书的单价；

（2）若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价

不超过1600元.请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少

元？

25.阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心.

AD

（图一）（图二）（图三）

（1）特例感知：如图（一），已知边长为2的等边△A8C的重心为点。，求△。861与4

A2C的面积.

（2）性质探究：如图（二），已知△ABC的重心为点0,请判断立、驳型是否都为定

0AS^ABC

值？如果是，分别求出这两个定值；如果不是，请说明理由.

（3）性质应用：如图（三），在正方形ABCO中，点E是8的中点，连接8E交对角

线AC于点M.

①若正方形ABC。的边长为4,求EM的长度；

②若SACME=1,求正方形A8CQ的面积.

26.如图，抛物线y=-/+版+5与x轴交于4,B两点.

（1）若过点C的直线x=2是抛物线的对称轴.

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点P,使点B关于直线0P的对称点9恰好落在对称轴上.若存

在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(2)当b24,0WxW2时，函数值y的最大值满足3WyW15,求人的取值范围.

2020年湖南省湘潭市中考数学试卷

参考答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号

涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24分）

1.B；2.C；3.B；4.D；5.C；6.D；7.B；8.A；

二、填空题（本大题共8小题，请将答案写在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分24

分）

V2-4

9.一；10.3；11.V2；12.6400；13.一；14.6n；15.3；16.8167；

三、解答题（本大题共10小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤请将解答过程

写在答题卡相应位置上，满分72分）

17.；18.；19.；20.；21.6；65；22.；23.；

24.；25.；26.：

2020年黑龙江省黑河市中考数学试卷

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.（3分）2020的倒数是（）

11

A.2020B.-2020C.----D.-福；

20202020

2.（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.a+2a—3aB.（a+匕）2—a1+ab+b2

C.（-2a）2=-4a2D.a*2a2=2a2

4.（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1"、“2"、“3"、“4”、“5”、“6”,

掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（）

5.（3分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的

速度小于下山的速度.在登山过程中，他行走的路程S随时间/的变化规律的大致图象

是（）

6.（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的

答题情况绘制成条形统计图.由图可知，全班同学答对题数的众数为（

个学生数

7.（3分）若关于尤的分式方程一；=—+5的解为正数，则m的取值范围为（）

x-22-x

A.m<-10B.-10

C.-10且-6D.m>-10且mW-6

8.（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元，百合每支

3元.小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）

A.3利1B.4种C.5种D.6利1

9.（3分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，

先将含30°角的纸板固定不动,再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使〃/5E,

如图②所示，则旋转角的度数为（）

CEC

DBABA

图①图②

A.15°B.30°C.45°D.60°

10.（3分）如图，抛物线y—a^+bx+c（a#0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴为直线x

=1,结合图象给出下列结论：

①“c<0；

②4“-2b+c>0；

③当x>2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程ar+bx+c=O有两个不相等的实数根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11.（3分）2020年初新冠肺炎疫情发生以来，近4000000名城乡社区工作者奋战在中国大

地的疫情防控一线.将数据4000000用科学记数法表示为.

12.（3分）在函数），=缪中，自变量x的取值范围是.

13.（3分）如图，已知在△A8O和△ABC中，点A、B、E在同一条直线

上，若使△ABOgZVIBC,则还需添加的一个条件是.（只填一个即可）

14.（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面

积是.

俯视图

15.（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABC。的边AB在y轴上，点C坐标为（2,

-2）,并且A0：80=1：2,点。在函数）=［（x>0）的图象上，则％的值为.

17.（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定

规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点Ai（0,2）变

换到点A2（6,0）,得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6,0）,

得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10,4V2）,得到等腰直角三

角形④；第四次滚动后点A4变换到点分（10+12企,0）,得到等腰直角三角形⑤；依

此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是

三、解答题(本题共7道大题，共69分)

18.(10分)(1)计算：sin30°+V16-(3-V3)°+|-1|

(2)因式分解：3/-48

19.(5分)解方程：/-5x+6=0

20.(8分)如图，4B为。。的直径，C、力为。。上的两个点，AC=CD=DB,连接4力,

过点D作DELAC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是00的切线.

(2)若直径AB=6,求AQ的长.

21.(10分)新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职

工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们

的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表

中的信息回答下列问题：

(1)本次被抽取的教职工共有名；

(2)表中。=,扇形统计图中“C”部分所占百分比为%；

(3)扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为°；

(4)若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职

工大约有多少人？

志愿服务时间(小时)频数

A0<后30a

B30«6010

C60<x^9016

D90<x^l2020

22.(10分)团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出

发，沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800km,在行驶过程中乙车速

度始终保持80h〃//2,甲车先以一定速度行驶了500hw,用时5/?,然后再以乙车的速度行

驶，直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程

与所用时间x(〃)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)甲车改变速度前的速度是km/h,乙车行驶到达绥芬河：

(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(公〃)与所用时间x(力)之间的函数解析式，

不用写出自变量尤的取值范围；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有km；出发h时，甲、

乙两车第一次相距40km.

y/km.

23.(12分)综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下

册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步

发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片A8CZ),使与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平；再一次折叠纸片，

使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B,得到折痕BM,把纸片展平，连接AN,

如图①.

(1)折痕(填“是”或“不是")线段AN的垂直平分线；请判断图中△A8N

是什么特殊三角形？答：；进一步计算出°；

(2)继续折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，并使折痕经过点8,得到折痕BG,

把纸片展平，如图②，则NGBN=°；

拓展延伸：

(3)如图③，折叠矩形纸片ABC。，使点A落在边上的点4处，并且折痕交8c边

于点T,交AD边于点S,把纸片展平，连接A4交ST于点。，连接AT.

求证：四边形SA7"是菱形.

解决问题：

(4)如图④，矩形纸片ABCQ中，AB=10,AD=26,折叠纸片，使点A落在BC边上

的点4处，并且折痕交A8边于点T,交边于点S,把纸片展平.同学们小组讨论后，

得出线段A7的长度有4,5,7,9.

请写出以上4个数值中你认为正确的数值.

24.(14分)综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线y="+fex+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点,

点B在y轴上，且04=08,直线A8与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线A8的函数解析式为，点M的坐标为,cos/ABO=；

连接0C,若过点。的直线交线段AC于点P,将△AOC的面积分成1：2的两部分，则

点P的坐标为；

(3)在)，轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②，作点A关于y轴

的对称点A',连接AM'交y轴于点。，连接AM、AQ,此时△4W。的周长最小.请求出

点Q的坐标；

（4）在坐标平面内是否存在点M使以点A、0、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图①图②

2020年黑龙江省黑河市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.（3分）2020的倒数是（）

【解答】解：2020的倒数是与，

2020

故选：C.

2.（3分）下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（）

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

8、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；

。、是轴对称图形，故本选项符合题意.

故选：D.

3.（3分）下列计算正确的是（）

A.。+2a=3〃B.（a+b）2=a2-^-ab+b2

C.（-2a）2--4a1D.a'la1--2a2

【解答】解：A.a+2a=（1+2）a=3m此选项计算正确;

B.（.a+b）2—a1+2ab+b2,此选项计算错误;

C.（-2a）2=4/,此选项计算错误；

D.a-2（r=2a\此选项计算错误；

故选：A.

4.（3分）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”,

掷小正方体后，观察朝上一面的数字出现偶数的概率是（）

1112

A.一B.-C.—D.—

2343

【解答】解：•.•掷小正方体后共有6种等可能结果，其中朝上一面的数字出现偶数的有2、

4、6这3种可能，

31

...朝上一面的数字出现偶数的概率是-=

62

故选：A.

5.（3分）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的

速度小于下山的速度.在登山过程中，他行走的路程5随时间t的变化规律的大致图象

【解答】解：因为登山过程可知：

先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度.

所以在登山过程中，他行走的路程S随时间f的变化规律的大致图象是B.

故选：B.

6.（3分）数学老师在课堂上给同学们布置了10个填空题作为课堂练习，并将全班同学的

答题情况绘制成条形统计图.由图可知，全班同学答对题数的众数为（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由条形统计图可得，

全班同学答对题数的众数为9,

故选：C.

3xrn,

7.（3分）若关于x的分式方程一；=「+5的解为正数，则根的取值范围为（）

x-22-x

A.m<-10B.mW-10

C.帆2-10且mW-6D.〃2>-10且加£-6

【解答】解：去分母得：3x=-m+5（x-2）,

由方程的解为正数，得到根+10>0,且M+10W4,

则m的范围为m>-10且mr-6,

故选：D.

8.（3分）母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元，百合每支

3元.小明将30元钱全部用于购买这两种花（两种花都买），小明的购买方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【解答】解：设可以购买x支康乃馨，y支百合，

依题意,得:2x+3y=30,

2

/.y=10-1x.

Vx,y均为正整数，

"ly=8'ly=6'ly=4'[y=2，

小明有4种购买方案.

故选：B.

9.（3分）有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放,

先将含30°角的纸板固定不动,再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使BC〃£>E,

如图②所示，则旋转角NBA。的度数为（）

C.45°D.60°

【解答】解：如图，设AD与BC交于点F,

EC

DO/\

BA

图②

,:BC〃DE,

AZCM=ZD=90°,

VZCFA=ZB-^ZBAD=6O0+ZBAD,

：.ZBAD=30°

故选：B.

10.（3分）如图，抛物线y=—+灰+c（〃W0）与x轴交于点（4,0）,其对称轴为直线x

=1,结合图象给出下列结论：

①acVO；

②4a-20+c>0；

③当x>2时，y随x的增大而增大；

④关于x的一元二次方程o?+法+c=0有两个不相等的实数根.

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：抛物线开口向上，因此。>0,与y轴交于负半轴，因此cVO,故ac<0,

所以①正确；

抛物线对称轴为x=l,与x轴的一个交点为（4,0）,则另一个交点为（-2,0）,于是

有4a-2b+c—0,所以②不正确；

x>l时，y随x的增大而增大，所以③正确；

抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程以2+&v+c=0有两个不相等的

实数根，所以④正确；

综上所述，正确的结论有：①③④，

故选：C.

二、填空题（每小题3分，满分21分）

11.（3分）2020年初新冠肺炎疫情发生以来，近4000000名城乡社区工作者奋战在中国大

地的疫情防控一线.将数据4000000用科学记数法表示为4义1。6.

【解答】解：将数据4000000用科学记数法表示为4X106,

故答案为:4X106.

12.（3分）在函数中，自变量x的取值范围是*2-3且*#2.

【解答】解:由题可得，—+上?,

5-2H0

解得吃丁，

...自变量X的取值范围是X2-3且xW2,

故答案为：》2-3且#2.

13.（3分）如图，已知在△48。和△ABC中，ND4B=NC4B,点A、B、E在同一条直线

上，若使△ABO也△ABC,则还需添加的一个条件是AO=AC（/£>=NC或

N4BC等）.（只填一个即可）

【解答】解：:NDAB=NCAB,AB=AB,

，当添加AO=4C时，可根据"SAS”判断△ABDgaABC；

当添加NO=/C时，可根据“AAS”判断△ABZ）丝△ABC；

当添加NABO=NABC时，可根据“ASA”判断△ABOgZUBC.

故答案为AC=AC（/。=/（7或/48。=/4%;等）.

14.（3分）如图是一个几何体的三视图，依据图中给出的数据，计算出这个几何体的侧面

积是65TT.

主视图左视图

【解答】解：由三视图可知，原几何体为圆锥,

11

Sm=宏•2m“/=1X2TTX5X13=65TC.

故答案为：65n.

15.（3分）等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是10或11.

【解答】解：①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、4,

•.•此时能组成三角形，

周长=3+3+4=10；

②3是底边长时，三角形的三边分别为3、4、4,

此时能组成三角形，

所以周长=3+4+4=11.

综上所述，这个等腰三角形的周长是10或11.

故答案为：10或11.

16.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCZ）的边A3在），轴上，点C坐标为（2,

-2）,并且AO：BO=1：2,点。在函数〉=右（x>0）的图象上，则1的值为2.

【解答】解：如图，•••点C坐标为（2,-2）,

矩形O3CE■的面积=2义2=4,

VAO：BO=1：2,

二矩形AOEC的面积=2,

•.•点。在函数y=1(JC>0)的图象上,

：.k=2,

故答案为2.

17.(3分)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定

规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点4(0,2)变

换到点42(6,0),得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点42变换到点43(6,0),

得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点心变换到点4(10,4鱼)，得到等腰直角三

角形④；第四次滚动后点4变换到点A5(10+12V2,0),得到等腰直角三角形⑤；依

此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22°2。.

【解答】解：•.•点4(0,2),

第1个等腰直角三角形的面积=2x2x2=2,

VA2(6,0),

6—2

.•.第2个等腰直角三角形的边长为f=2近，

.♦.第2个等腰直角三角形的面积=|x2V2x2V2=4=22,

VA4（10,4夜），

•••第3个等腰直角三角形的边长为10-6=4,

.•.第3个等腰直角三角形的面积=1x4x4=8=23,

则第2020个等腰直角三角形的面积是2202。；

故答案为：22°2°（形式可以不同，正确即得分）.

三、解答题（本题共7道大题，共69分）

18.（10分）（1）计算：sin30°+V16-（3-V3）°+|-1|

（2）因式分解：3a2-48

【解答】解：（1）sin30。+帝一（3-V3）°+|-||

11

--

2

2

4:

（2）3a1-48

=3-16）

=3（。+4）（。-4）.

19.（5分）解方程：?-5x+6=0

【解答】解：；X2-5X+6=0,

...（X-2）（X-3）=0,

贝！］x-2=0或x-3=0,

解得xi=2,X2—3.

20.(8分)如图，AB为。。的直径，C、力为。0上的两个点，AC=CD=DB,连接AO,

过点D作DELAC交AC的延长线于点E.

(1)求证：QE是。。的切线.

(2)若直径AB=6,求A。的长.

【解答】（1）证明：连接O。，

\'AC=CD=DB,

1

AZBOD=1xl80°=60°,

VCD=DB.

：.XEAD=ZDAB=^Z,BOD=30°,

9：0A=0D,

：.ZADO=ZDAB=30Q,

VDEIAC,

：.ZE=90°,

・・・NEAQ+Nm4=90°,

AZ£DA=60°,

AZEDO^ZEDA+ZADO^90Q,

OD1DE,

是OO的切线；

(2)解：连接B。，

为0。的直径，

AZADB=9QQ,

VZDAB=30°,AB=6,

1

：.BD=1AB=3,

：.AD=V62-32=3V3.

21.（10分）新冠肺炎疫情期间，某市防控指挥部想了解自1月20日至2月末各学校教职

工参与志愿服务的情况.在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们

的志愿服务时间进行统计，整理并绘制成两幅不完整的统计图表.请根据两幅统计图表

中的信息回答下列问题：

（1）本次被抽取的教职工共有50名:

（2）表中〃=4,扇形统计图中“C”部分所占百分比为32%；

（3）扇形统计图中，所对应的扇形圆心角的度数为144°；

（4）若该市共有30000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职

工大约有多少人？

【解答】解：（1）本次被抽取的教职工共有：10・20%=50（名）,

故答案为：50；

（2）4=50-10-16-20=4,

扇形统计图中“C”部分所占百分比为：1^xl00%=32%,

故答案为：4,32；

（3）扇形统计图中，“£>”所对应的扇形圆心角的度数为：360°x|§=144".

故答案为：144;

(4)30000X--=21600(人).

答：志愿服务时间多于60小时的教职工大约有21600人.

22.(10分)团结奋战，众志成城，齐齐哈尔市组织援助医疗队，分别乘甲、乙两车同时出

发，沿同一路线赶往绥芬河.齐齐哈尔距绥芬河的路程为800hw,在行驶过程中乙车速

度始终保持80。?/力，甲车先以一定速度行驶了500hm用时5/7,然后再以乙车的速度行

驶，直至到达绥芬河(加油、休息时间忽略不计).甲、乙两车离齐齐哈尔的路程y(Am)

与所用时间x(/!)的关系如图所示，请结合图象解答下列问题：

(1)甲车改变速度前的速度是乙车行驶106到达绥芬河;

(2)求甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y()与所用时间x(人)之间的函数解析式，

不用写出自变量x的取值范围；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程还有100km；出发2九时,甲、乙

两车第一次相距40km.

【解答】解：(1)甲车改变速度前的速度为：500出5=100(加历)，乙车达绥芬河是时

间为：8004-80=10Ch),

故答案为：100；10；

(2)•.•乙车速度为80kM人，

甲车到达绥芬河的时间为：5+8。*500=苧(九)，

甲车改变速度后，到达绥芬河前，设所求函数解析式为：y=kx+b(kWO),

35(5k+b=500

将(5,500)和(丁，800)代入得：35,j，

4(彳上+b=8Q0n0n

解得仁乳，

**•y=80R+100,

答：甲车改变速度后离齐齐哈尔的路程y(km)与所用时间x⑺之间的函数解析式为

3s

y=80x+100(5<x<^)；

(3)甲车到达绥芬河时，乙车距绥芬河的路程为：800-80x^=100(km),

404-(100-80)=2(/?),

即出发2/7时，甲、乙两车第一次相距40初7.

故答案为：100;2.

23.(12分)综合与实践

在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能.例如教材八年级下

册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣.在经历图形变换的过程中，进一步

发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验.

实践发现：

对折矩形纸片ABC。，使A。与BC重合，得到折痕ER把纸片展平；再一次折叠纸片,

使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B,得到折痕BM,把纸片展平，连接4N,

如图①.

(1)折痕是(填“是”或“不是")线段AN的垂直平分线；请判断图中△ABN

是什么特殊三角形？答：等边三角形：进一步计算出60°；

(2)继续折叠纸片，使点A落在8c边上的点，处，并使折痕经过点8,得到折痕8G,

把纸片展平，如图②，则NGBN=15°；

拓展延伸：

(3)如图③，折叠矩形纸片A8CD,使点A落在8c边上的点4处，并且折痕交8c边

于点T,交边于点S,把纸片展平，连接44咬ST于点O,连接AT.

求证：四边形SA7次是菱形.

解决问题：

(4)如图④，矩形纸片ABC。中，AB=10,AO=26,折叠纸片，使点A落在BC边上

的点A处，并且折痕交AB边于点T,交AO边于点S,把纸片展平.同学们小组讨论后，

得出线段AT的长度有4,5,7,9.

请写出以上4个数值中你认为正确的数值

【解答】解：(1)如图①：对折矩形纸片A5CD,使AO与3c重合,

尸垂直平分AB,

：.AN=BN,AE=BE,NNEA=90°,

再一次折叠纸片，使点A落在E尸上的点N处，

垂直平分AN,NBAM=NBNM=90°,

:.AB=BN,

:.AB=AN=BN,

.♦.△A8N是等边三角形，

:.NEBN=6Q°,

:"ENB=30°,

：./MNE=6Q°,

故答案为：是，等边三角形，60；

(2)...折叠纸片，使点A落在BC边上的点H处，

，NABG=NaBG=45°,

：.4GBN=NABN-4ABG=15°,

故答案为：15°；

(3)♦.•折叠矩形纸片ABC。，使点A落在8c边上的点A处,

...S7垂直平分44',

：.AO=A'O,AA'rST,

'：AD//BC,

：.ZSAO=ZTA'O,ZASO=ZA'TO,

.,.△ASO丝△A'TO(A45)

：,SO=TO,

四边形ASA'T是平行四边形，

又；A4"L",

...边形SAm是菱形；

(4)...折叠纸片，使点A落在8c边上的点4处，

：.AT=A'T,

在中，A'T>BT,

：.AT>\0-AT,

：.AT>5,

•.•点T在AB上，

当点T与点8重合时，AT有最大值为10,

.•.5<ATW10,

正确的数值为7,9,

故答案为：7,9.

24.(14分)综合与探究

在平面直角坐标系中，抛物线)=#+bx+c经过点A(-4,0),点M为抛物线的顶点，

点8在y轴上，且OA=O8,直线AB与抛物线在第一象限交于点C(2,6),如图①.

(1)求抛物线的解析式；

(2)直线A8的函数解析式为y=x+4,点"的坐标为(-2,-析，cosZABO

V2

——;

连接OC,若过点O的直线交线段AC于点R将△AOC的面积分成1：2的两部分，则

点P的坐标为(-2,2)或(0,4)；

(3)在)，轴上找一点Q,使得△AMQ的周长最小.具体作法如图②，作点A关于y轴

的对称点A,连接交y轴于点。，连接AM、AQ,此时△AM。的周长最小.请求出

点。的坐标；

(4)在坐标平面内是否存在点M使以点A、0、C、N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图①

7yX16-46+c=0

【解答】解：(1)将点A、C的坐标代入抛物线表达式得:2，解得g=2

2X4+2b+c=6=0

2

故直线A8的表达式为：y=1X+2A-;

(2)点A(-4,0),OB=OA=4,故点B(0,4),

由点A、8的坐标得，直线A8的表达式为：y=x+4；

则NA3O=45°,故cosNA8O=与；

对于＞'=!?+2x,函数的对称轴为x=-2,故点M(-2,-2)；

OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=%C或|AC,

Vp12VP12、

则一=一或一,即———或一,解得：yp=2或4,

yc33633'

故点尸(-2,2)或(0,4)；

故答案为：_y—x+4；(~2,-2)；(-2,2)或(0,4)；

(3)△AMQ的周长=AM+AQ+MQ=AiW+A'M最小，

点A'(4,0),

设直线4M的表达式为：y=kx+b,则代.解得3

l-2f