曲线运动中的临界问题（教师版）

专题五曲线运动中的临界问题考点一抛体运动的临界问题1.平抛运动的临界问题有两种常见情形(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好达到某一方向。2.临界点的确定(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点；(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点；(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。(多选)刀削面是西北人喜欢的面食之一，全凭刀削得名。如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便水平飞向锅里，若面团到锅上沿的竖直距离为0.8m，面团离锅上沿最近的水平距离为，锅的直径为。若削出的面片能落入锅中，则面片的水平初速度可能是(g=10m/s)()A....BC水平飞出的面片发生的运动可看成平抛运动，根据平抛运动规律，水平方向:x=v0t①，竖直方向:y=12gt2②，其中水平位移大小的范围是≤x≤0.8m，联立①②代入数据解得如图所示，水平屋顶高H＝5m，围墙高h＝3.2m，围墙到房子的水平距离L＝3m，围墙外空地宽x＝10m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的空地上，g取10m/s2。求：(1)小球离开屋顶时的速度v0的大小范围；(2)小球落在空地上的最小速度。(1)5m/s≤v0≤13m/s;(2)55m/s。(1)设小球恰好落到空地的右侧边缘时的水平初速度为v1，则小球的水平位移：L＋x＝v1t1小球的竖直位移：H＝1解以上两式得：v1＝(L＋x)g2H设小球恰好越过围墙的边缘时的水平初速度为v2，则此过程中小球的水平位移：L＝v2t2小球的竖直位移：H－h＝1解以上两式得：v2＝Lg2H-h小球抛出时的速度大小范围为5m/s≤v0≤13m/s。(2)小球落在空地上，下落高度一定，落地时的竖直分速度一定，当小球恰好越过围墙的边缘落在空地上时，落地速度最小。竖直方向：veq\o\al(2,y)＝2gH又有：vmin＝v2解得：vmin＝55求解平抛运动中临界问题的一般思路：(1)找出临界状态对应的临界条件。(2)作草图，画出临界轨迹。确定物体的临界位置，标注速度、高度、位移等临界值。(3)分解速度或位移。(4)利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行求解。1.如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6m，竖直墙的厚度d＝0.4m，某人在距离墙壁L＝1.4m、距窗子上沿h＝0.2m处的P点，将可视为质点的小物件以垂直于墙壁的速度v水平抛出，要求小物件能直接穿过窗口并落在水平地面上，不计空气阻力，g＝10m/s2。则可以实现上述要求的速度大小是()A.2m/sB.4m/sC.8m/sD.10m/sB小物件做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧墙边缘穿过时速度v最大，此时有：L=vmaxt1，h＝12gt12，代入数据解得：vmax＝7m/s，小物件恰好擦着窗口下沿左侧墙边缘穿过时速度v最小，则有：L＋d＝vmint2，H＋h＝12gt22.如图所示，在楼梯口，用弹射器向第一级台阶弹射小球。台阶高为H，宽为L，A为竖直踢脚板的最高点，B为水平踏脚板的最右侧点，C是水平踏脚板的中点。弹射器沿水平方向弹射小球，弹射器高度h和小球的初速度v0可调节，小球被弹出前与A的水平距离也为L。某次弹射时，小球恰好没有擦到A而击中B，为了能击中C点，需调整h为h'，调整v0为v0'，下列判断正确的是（）A.h'的最大值为2hB.h'的最小值为2hC.v0'的最大值为156vD.v0'的最小值为156vC小球做平抛运动有y＝12gt2，x＝v0t，可得v0＝xg2y，y＝gx22v02∝x2，调整前hh+H＝122，即h＝13H，调整后考虑临界情况，小球恰好没有擦到A而击中C，则h'h'+H＝232，即h'＝45H，所以h'＝125h，从越高处抛出而击中C点，抛物线越陡，越不容易擦到A点，所以h'＝125h是满足条件的最小值，故A、B错误；由v0＝xg2y，且两次平抛从抛出到A点过程，x都为L，所以v0'v0＝h考点二圆周运动的临界问题一．水平面内圆周运动的临界问题1.题型简述:在水平面内做圆周运动的物体，当转速变化时，会出现绳子张紧、绳子突然断裂、静摩擦力随转速增大而逐渐达到最大值、弹簧弹力大小方向发生变化等，从而出现临界问题。2.两类典型题型(1)圆锥摆的临界问题，主要与弹力有关的临界问题①绳子松弛的临界条件是：绳恰好拉直且没有弹力；绳子断开的临界条件是：绳上的拉力恰好达最大值。②两物体接触或脱离的临界条件是：两物体间的弹力恰好为零。③对于半圆形碗内的水平圆周运动，有两类临界情况：摩擦力的方向发生改变、恰好发生相对滑动。(2)水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题①如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，则最大静摩擦力Fm＝mv②如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。二．竖直平面内圆周运动的临界问题1.题型简述:竖直方向上圆周运动的临界问题，主要涉及到重力提供向心力的相关临界极值问题。2.两类模型的对比轻“绳”模型轻“杆”模型情境图示弹力特征弹力只能向下或为0弹力可能向下，可能向上，也可能为0力学方程mg＋FT＝mvmg±FN＝mv临界特征FT＝0，即mg＝mv2r，得vv＝0，即FN＝0，此时FN＝mg模型关键(1)“绳”只能对小球施加向下的力(2)小球通过最高点的速度至少为gr(1)“杆”对小球的作用力可以是拉力，也可以是支持力(2)小球通过最高点的速度最小可以为0三．斜面上圆周运动的临界极值问题1.题型简述在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、绳控制、杆控制等，物体的受力情况和所遵循的规律也不相同。2.解题关键——重力的分解和视图物体在斜面上做圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直斜面的分力与物体受到的支持力相等，解决此类问题时，可以按以下操作，把问题简化。题型一水平面内圆周运动的临界问题“圆锥摆”类问题(2023·德州模拟)有一竖直转轴以角速度ω匀速旋转，转轴上的A点有一长为l的细绳系有质量为m的小球。要使小球在随转轴匀速转动的同时又不离开光滑的水平面，则A点到水平面的高度h最大为()A.gω2B.ω2gC.A以小球为研究对象，小球受三个力的作用，重力mg、水平面支持力FN、绳子拉力F，在竖直方向合力为零，在水平方向所需向心力为mω2R，设绳子与竖直方向的夹角为θ，则有：R＝htanθ，那么Fcosθ＋FN＝mg，Fsinθ＝mω2htanθ；当球即将离开水平面时，FN＝0，此时Fcosθ＝mg，Fsinθ＝mgtanθ＝mω2htanθ，即h＝gω2，故A题型二水平面内圆周运动的临界问题“转盘”类问题(多选)如图所示，两个可视为质点的相同的木块A和B放在水平转台上，且木块A、B与转台中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转台的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转台中心的竖直转轴OO′转动。开始时，绳恰好伸直但无弹力。现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，则以下说法正确的是()A.当ω>2kg3L时，A、BB.当ω>kg2LC.ω在kg2L<ω<2kg3L范围内增大时，D.ω在0<ω<2kg3L范围内增大时，AABDA、B两木块随转台一起转动，A、B相对转台即将发生滑动时，对A有kmg－T＝mω2L，对B有T＋kmg＝mω2·2L，联立解得ω＝2kg3L，或对系统有2kmg＝mω2L＋mω2·2L，仍得ω＝2kg3L，故ω>2kg3L时，A、B将相对转台滑动，选项A正确。当B达到最大静摩擦力时，绳子开始出现弹力，kmg＝mωeq\o\al(2,1)·2L，解得ω1＝eq\r(\f(kg,2L))，可知ω>kg2L时，绳子一定有弹力，选项B正确。ω在0<ω<kg2L范围内增大时，B所受的摩擦力变大；ω在kg2L<ω<2kg3L范围内增大时，B所受摩擦力不变，选项C错误。ω在0<ω<2kg3L范围内增大时，A所需向心力增大，则A所受摩擦力一直增大，选项D题型三竖直面内圆周运动的临界问题如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接绕定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时绳子拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b以及重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是（）A.数据a与小球的质量有关B.数据b与小球的质量无关C.比值baD.利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径D由题图乙可知当v2＝a时，绳子的拉力为零，此时物体的重力提供向心力，则有mg＝mv2r，解得v2＝gr，即a＝gr，A错误；当v2＝2a时，对小球进行受力分析，则有mg＋b＝mv2r，解得b＝mg，b与小球的质量有关，B错误；根据A、B选项可知ba＝mr，C错误；由A、B项分析可得r＝ag，(2022·河北)(多选)如图所示，竖直平面内有一半径为R的圆形管道，管道内有一质量为m的小钢球，小钢球的直径稍小于圆管的内径，小钢球的直径远小于R。在最低点给小钢球一大小为v0、方向水平向右的初速度，小钢球到达最高点的速度大小为gR(g为重力加速度大小)。圆管内壁光滑，水平线ab过管道圆心。下列说法正确的是()A.小钢球到达最高点时，受到管壁的作用力大小为mgB.稍微减小v0，小钢球无法通过最高点C.稍微增大v0，小钢球通过最高点时，对圆管外侧管壁有压力D.小钢球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小钢球一定有作用力CD小钢球到达管道最高点时，设管壁对小钢球的力为N，方向竖直向下，根据牛顿第二定律有N＋mg＝mv2R，由题知v＝gR，联立得N＝0，即小钢球在最高点不受管壁的作用，故A错误；稍微减小v0，只要12mveq\o\al(2,0)－2mgR≥0，即到达最高点时速度不小于零，小钢球便可以通过管道最高点，B错误；稍微增大v0，根据题设和动能定理可知，小钢球通过管道最高点时速度大于gR，小钢球重力不足以提供其所需向心力，小钢球的重力与圆管外侧管壁对小钢球的压力的合力提供向心力，根据牛顿第三定律可知，小钢球对圆管外侧管壁有压力的作用，故C正确；小钢球在水平线ab以下的管道中运动时，重力沿垂直管壁向下的分力与管壁对小钢球的弹力的合力提供向心力，所以外侧管壁对小钢球一定有作用力，故D正确。故选：CD。题型四斜面上静摩擦力控制下的圆周运动（多选）如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为32，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2，则以下说法中正确的是（）A.小物体随圆盘做匀速圆周运动时，一定始终受到三个力的作用B.小物体随圆盘以不同的角速度ω做匀速圆周运动时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力一定越大C.小物体受到的摩擦力可能背离圆心D.ω的最大值是1.0rad/sCD当物体在最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，合力提供向心力，故A错误；当物体随圆盘转到最高点时，可能只受到重力与支持力2个力的作用，也可能受到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方向可能沿圆盘向上，也可能沿斜面向下，摩擦力的方向沿圆盘向上时，ω越大，小物体在最高点处受到的摩擦力越小，故B错误，C正确；当物体转到圆盘的最低点且恰好不滑动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的重力、垂直于圆盘向上的支持力、沿圆盘指向圆心的摩擦力，则有FN＝mgcosθ，Ff＝μFN＝μmgcosθ，沿圆盘的合力提供向心力，有μmgcos30°－mgsin30°＝mω2R，解得ω＝1.0rad/s，故D正确。题型五斜面上轻绳控制下的圆周运动如图所示，一倾角为θ＝30°的斜劈静置于粗糙水平面上，斜劈上表面光滑，一轻绳的一端固定在斜面上的O点，另一端系一小球。在图示位置垂直于绳给小球一初速度，使小球恰好能在斜面上做圆周运动。已知O点到小球球心的距离为l，重力加速度为g，整个过程中斜劈静止，下列说法正确的是（）A.小球在顶端时，速度大小为glB.小球在底端时，速度大小为5C.小球运动过程中，地面对斜劈的摩擦力大小不变D.小球运动过程中，地面对斜劈的支持力等于小球和斜劈的重力之和B小球在顶端时，绳的拉力FT与重力沿斜面向下的分力的合力提供小球做圆周运动所需的向心力，有FT＋mgsinθ＝mv2l，可知绳的拉力越小，小球的速度越小，当绳的拉力为零时，小球恰好在斜面上做圆周运动，在顶端时的速度为vmin＝glsinθ＝gl2，选项A错误；小球由顶端向底端运动时，只有重力对小球做功，根据动能定理有mg·2lsinθ＝12mv2－12mvmin2，代入数据可得v＝题型六斜面上轻杆控制下的圆周运动如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝0.8m的轻杆，一端固定在O点，另一端系一质量为m＝0.2kg的小球，沿斜面做圆周运动。g取10m/s2。若要小球能通过最高点A，则小球在最低点B的最小速度是（）A.4m/s10m/s5m/s2m/sA小球受轻杆控制，在A点的最小速度为零，由动能定理得2mgLsinα＝12mvB2，可得vB＝4m/s，1.对水平面内圆周运动临界问题的解题思路(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等关键词，表明题述的过程存在临界状态。(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等关键词，表明题述的过程存在着极值，这个极值点也往往是临界状态。(3)当确定了物体运动的临界状态或极值条件后，要分别针对不同的运动过程或现象，选择相对应的物理规律，然后再列方程求解2.竖直平面圆周运动问题的一般解题思路3.求解斜面上圆周运动的临界问题一般思路：与竖直面内的圆周运动类似，斜面上的圆周运动通常也是分析物体在最高点和最低点的受力情况，通过列牛顿运动定律方程解题。只是在受力分析时，一般需要进行立体图到平面图的转化，这是解斜面上圆周运动问题的难点。1.如图，有一倾斜的匀质圆盘（半径足够大），盘面与水平面的夹角为θ，绕过圆心并垂直于盘面的转轴以角速度ω匀速转动，有一物体（可视为质点）与盘面间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），重力加速度为g。要使物体能与圆盘始终保持相对静止，则物体与转轴间最大距离为（）A.μgcosθω2 B.gsinθω2C由题意易知临界条件是物体在圆盘上转到最低点受到的静摩擦力最大，由牛顿第二定律μmgcosθ－mgsinθ＝mω2r，解得r＝μcosθ-sinθω2g，故A、B2.(多选)如图甲所示，两个完全相同物块A和B(均可视为质点)放在水平圆盘上，它们分居圆心两侧，用不可伸长的轻绳相连，两物块质量均为1kg，与圆心距离分别为RA和RB，其中RA<RB且RA＝1m。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘以不同角速度ω绕轴OO′匀速转动时，绳中弹力FT与ω2的变化关系如图乙所示，重力加速度g＝10m/s2。下列说法正确的是()A.物块与圆盘间的动摩擦因数μ＝B.物块B与圆心距离RB＝2mC.A受到的静摩擦力方向始终指向圆心D.当角速度为2rad/s时，A恰好要相对圆盘发生滑动BD角速度较小时，物块各自受到的静摩擦力提供向心力，绳中无拉力，根据牛顿第二定律可得Ff＝mω2R，因为RA<RB，所以物块B与圆盘间的静摩擦力先达到最大值，随着角速度增大，轻绳出现拉力，拉力FT和最大静摩擦力的合力提供向心力，对物块B分析，有FT＋μmg＝mω2RB，则FT＝mω2RB－μmg，结合FT­ω2图像可得μ＝，RB＝2m，故A错误，B正确；当ω>0.5rad/s时，绳子中拉力随着角速度增大而增大，则A所受的静摩擦力变小，当A所受的静摩擦力为0时，对A由牛顿第二定律，有FT1＝mω2RA，对B，有FT1＋μmg＝mω2RB，联立解得ω＝1rad/s，当ω>1rad/s时，拉力增大，A要保持相对静止，则静摩擦力沿着半径向外，故C错误；当A恰好要相对圆盘发生滑动时，其摩擦力为最大值，且方向沿半径向外，对A分析，根据牛顿第二定律可得FT－μmg＝mω2RA，此时对B分析，有FT＋μmg＝mω2RΒ，联立解得ω＝2rad/s，故D正确。故选BD。3.（多选）如图甲所示，陀螺在圆轨道外侧运动而不脱离，好像被施加了魔法一样。该陀螺可等效成一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示，在竖直面内固定的强磁性圆轨道上，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。已知该陀螺的质量为m，强磁性圆轨道半径为R，重力加速度为g，陀螺沿轨道外侧做完整的圆周运动，受到的轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F。当陀螺以速率2gR通过A点时，对轨道的压力为7mg。不计一切摩擦和空气阻力，下列说法正确的是（A.强磁性引力F大小为8mgB.陀螺在B点的速率为6C.陀螺在B点对轨道压力为6mgD.要使陀螺不脱离强磁性圆轨道，它在B点的速率不能超过7ABD陀螺在A点时，由牛顿第二定律得mg＋F－7mg＝mvA2R，解得F＝8mg，A正确；陀螺从A点到B点，由动能定理有mg·2R＝12mvB2－12mvA2，解得vB＝6gR，B正确；陀螺在B点时，由牛顿第二定律有F－FN－mg＝mvB2R，解得FN＝mg，陀螺在B点对轨道的压力大小为mg，C错误；陀螺恰好不脱离强磁性圆轨道时，轨道弹力为零，则此时由牛顿第二定律有F－mg＝mv4.（多选）如图甲所示，某体操运动员用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动。该运动员运动到最高点时，用力传感器测得他与单杠间弹力大小为F，用速度传感器记录他在最高点的速度大小为v，得到F－v2图像如图乙所示。g取10m/s2，则下列说法中正确的是（）A.该运动员的质量为65kgB.该运动员的重心到单杠的距离为0.9mC.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向上D.当该运动员在最高点的速度为4m/s时，单杠对他的弹力方向向下ABD对该运动员在最高点进行受力分析，当速度为零时，有F－mg＝0，结合题图乙解得质量m＝65kg，选项A正确；当F＝0时，由向心力公式可得mg＝mv2R，结合题图乙可解得R＝0.9m，故该运动员的重心到单杠的距离为0.9m，选项B正确；当该运动员在最高点的速度为4m/s时，假设拉力大小为F，方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg＋F＝mv2R，代入解得F≈506N，方向竖直向下假设成立，说明该运动员受单杠的拉力作用，方向竖直向下，选项C错误，5.（多选）如图所示，内壁光滑的圆形细管固定在倾角为θ的斜面上，其半径为R，A、C分别为细管的最高点和最低点，B、D为细管上与圆心O处于同一水平高度的两点，细管内有一直径稍小于细管内径的质量为m的小球，小球可视为质点。开始时小球静止在A点，某时刻对小球施加轻微扰动，使小球自A向B沿着细管开始滑动。以过直线BOD的水平面为重力势能的参考平面，重力加速度为g，下列说法正确的是（）A.小球不能返回到A点B.小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大C.小球在C点时的机械能为2mgRsinθD.小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为mg1+3siBD小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球能返回到A点，故A错误；小球在A点时速度为零，重力的瞬时功率为零，小球从A到B的过程中，速度逐渐增大，速度沿斜面的分量（v1）也逐渐增大，根据瞬时功率表达式P＝mgvsinθ，可知小球自A点到B点的过程中，重力的瞬时功率一直增大，故B正确；小球在A点时速度为零，重力势能为mgRsinθ，小球在运动过程中，机械能守恒，所以小球在C点时的机械能为mgRsinθ，故C错误；根据机械能守恒定律可得小球到达D点的过程，mgRsinθ＝12mvD2，根据牛顿第二定律可得侧壁对小球的支持力为FN＝mvD2R，解得FN＝2mgsinθ，管的底部对小球的支持力为FN'＝mgcosθ，所以小球到达D点时，细管对小球的作用力大小为F＝FN6.如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台静止不转动时，将一个质量为2kg、可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO′成θ=37°角。重力加速度g=10m/s2，，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：(1)当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？(2)若转台转动的角速度为30rad/s，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起转动，则陶罐给物块的弹力和摩擦力大小为多少？(1)5rad/s；(，(1)若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，对物块分析有圆周运动半径r=Rsinθ,解得ω0=5rad/s(2)当转台的角速度为30rad/s时，由于该角速度大于5rad/s，则物块有向外滑的趋势，摩擦力方向向内，则有，解得N，f