2019-2020学年人教B版必修第二册平面向量初步章末综合测评(三)

平面向量初步章末综合测评(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列等式中正确的是()A.eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→)) B.eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0 D.eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))D[起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，eq\o(OA,\s\up12(→))－eq\o(OB,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))；eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))是一对相反向量，它们的和应该为零向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BA,\s\up12(→))＝0,0·eq\o(AB,\s\up12(→))＝0才对，故选D.]2．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))|等于()A．1 B．2C．3 D．2eq\r(3)B[由正六边形知eq\o(FE,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))＝eq\o(AD,\s\up12(→))，所以|eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(FE,\s\up12(→))＋eq\o(CD,\s\up12(→))|＝|eq\o(AD,\s\up12(→))|＝2.]3．在下列向量中，可以把向量a＝(3，－1)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(3,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(3,2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(－3,5)，e2＝(3，－5)B[根据平面向量的基本定理可知，作为平面向量基底的一组向量必须为非零不共线向量，而A中的e1为零向量，不符合条件；C，D中的两组向量均为共线向量，不符合条件．故选B.]4．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．0C[由a∥b知1×2＝m2，即m＝eq\r(2)或m＝－eq\r(2).]5．设a，b为不共线的两个非零向量，已知向量eq\o(AB,\s\up12(→))＝a－kb，eq\o(CB,\s\up12(→))＝2a＋b，eq\o(CD,\s\up12(→))＝3a－b，若A，B，D三点共线，则实数k的值等于()A．10 B．－10C．2 D．－2C[因为A，B，D三点共线，所以eq\o(AB,\s\up12(→))＝λeq\o(BD,\s\up12(→))＝λ(eq\o(CD,\s\up12(→))－eq\o(CB,\s\up12(→)))，所以a－kb＝λ(3a－b－2a－b)＝λ(a－2b)，所以λ＝1，k＝2.]6．在重600N的物体上系两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为()A．300eq\r(3)N,300eq\r(3)N B．150N,150NC．300eq\r(3)N,300N D．300N,300NC[如图，作矩形OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°，所以|eq\o(OA,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|cos30°＝300eq\r(3)N，|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝|eq\o(OC,\s\up12(→))|sin30°＝300N，|eq\o(OB,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|＝300N．]7．四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up12(→))＝－4a－b，eq\o(BD,\s\up12(→))＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD是()A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形B[因为eq\o(AB,\s\up12(→))＝a＋2b，又eq\o(DC,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→))－eq\o(BD,\s\up12(→))＝－4a－b－(－5a－3b)＝a＋2b＝eq\o(AB,\s\up12(→)).所以在四边形ABCD中，有|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝|eq\o(DC,\s\up12(→))|且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．]8．已知向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，λa＋μb与a－2b共线，则eq\f(λ,μ)等于()A.eq\f(1,2) B．2C．－eq\f(1,2) D．－2C[易知a，b不共线，则有eq\f(λ,1)＝eq\f(μ,－2)，故eq\f(λ,μ)＝－eq\f(1,2).]9．已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若a∥b，则()A．λ＝0 B．e2＝0C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0D[∵a∥b，∴存在实数k，使得a＝kb，即(2k－1)e1＝λe2.∵e1≠0，∴若2k－1＝0，则λ＝0或e2＝0；若2k－1≠0，则e1＝eq\f(λ,2k－1)e2，此时e1∥e2，又0与任何一个向量平行，∴有e1∥e2或λ＝0.]10．如图所示，平面内的两条直线OP1和OP2将平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括边界)，若eq\o(OP,\s\up12(→))＝aeq\o(OP1,\s\up12(→))＋beq\o(OP2,\s\up12(→))，且点P落在第Ⅰ部分，则实数a，b满足()A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0C．a＜0，b＞0 D．a＜0，b＜0C[当点P落在第Ⅰ部分，eq\o(OP,\s\up12(→))按向量eq\o(OP1,\s\up12(→))与eq\o(OP2,\s\up12(→))分解时，一个与eq\o(OP1,\s\up12(→))反向，一个与eq\o(OP2,\s\up12(→))同向，故a＜0，b＞0.]11.如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设eq\o(AD,\s\up12(→))＝a，eq\o(BE,\s\up12(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up12(→))等于()A.eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC.eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bB[eq\o(BC,\s\up12(→))＝2eq\o(BD,\s\up12(→))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BE,\s\up12(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up12(→))))＝eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.]12．设0≤θ＜2π，已知两个向量eq\o(OP1,\s\up12(→))＝(cosθ，sinθ)，eq\o(OP2,\s\up12(→))＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量eq\o(P1P2,\s\up12(→))长度的最大值是()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)C[∵eq\o(P1P2,\s\up12(→))＝eq\o(OP2,\s\up12(→))－eq\o(OP1,\s\up12(→))＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴|eq\o(P1P2,\s\up12(→))|＝eq\r(2＋sinθ－cosθ2＋2－cosθ－sinθ2)＝eq\r(10－8cosθ)≤3eq\r(2).]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.－1[∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，∴a＋b＝(1，m－1)．∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1.]14．下列命题中正确命题的个数为________个．①在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；②若eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；③若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．1[①真命题；②假命题，当A，B，C三点共线时，也可以有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＋eq\o(CA,\s\up12(→))＝0；③假命题，只有当a与b同向时才相等．]15．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．－3[∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m＋n＝9，,m－2n＝－8，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝5，))∴m－n＝2－5＝－3.]16．如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为半径的圆弧eq\x\to(BD)上的任意一点，设∠PAB＝θ，向量eq\o(AC,\s\up12(→))＝λeq\o(DE,\s\up12(→))＋μeq\o(AP,\s\up12(→))(λ，μ∈R)，若μ－λ＝1，则θ＝________.90°[eq\o(AP,\s\up12(→))＝cosθeq\o(AB,\s\up12(→))＋sinθeq\o(AD,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))＝－eq\o(AD,\s\up12(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))，于是有eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AD,\s\up12(→))＝(－λ＋μsinθ)eq\o(AD,\s\up12(→))＋(μcosθ＋eq\f(λ,2))eq\o(AB,\s\up12(→))，由于eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AD,\s\up12(→))不共线，所以－λ＋μsinθ＝1，μsinθ＝1＋λ＝μ，所以sinθ＝1，θ＝90°.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→)).[证明]因为eq\o(AP,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))，eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＋eq\o(BP,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→)).又因为BP＝QC且eq\o(BP,\s\up12(→))与eq\o(CQ,\s\up12(→))方向相反，所以eq\o(BP,\s\up12(→))＋eq\o(CQ,\s\up12(→))＝0，所以eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))，即eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(AP,\s\up12(→))＋eq\o(AQ,\s\up12(→)).18．(本小题满分12分)如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，eq\o(AB,\s\up12(→))＝a，eq\o(BC,\s\up12(→))＝b，eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.[解](1)由已知得a＋b＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))＝c，所以延长AC到E，使|eq\o(CE,\s\up12(→))|＝|eq\o(AC,\s\up12(→))|.则a＋b＋c＝eq\o(AE,\s\up12(→))，且|eq\o(AE,\s\up12(→))|＝2eq\r(2).所以|a＋b＋c|＝2eq\r(2).(2)连接BD，作eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(AC,\s\up12(→))，连接CF，则eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))，而eq\o(DB,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))－eq\o(AD,\s\up12(→))＝a－b，∴a－b＋c＝eq\o(DB,\s\up12(→))＋eq\o(BF,\s\up12(→))＝eq\o(DF,\s\up12(→))，且|eq\o(DF,\s\up12(→))|＝2.19．(本小题满分12分)设eq\o(OA,\s\up12(→))＝(2，－1)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(3,0)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(m,3)．(1)当m＝8时，将eq\o(OC,\s\up12(→))用eq\o(OA,\s\up12(→))和eq\o(OB,\s\up12(→))表示；(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．[解](1)当m＝8时，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(8,3)，设eq\o(OC,\s\up12(→))＝λ1eq\o(OA,\s\up12(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up12(→))，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ1＋3λ2＝8，,－λ1＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝－3，,λ2＝\f(14,3)，))∴eq\o(OC,\s\up12(→))＝－3eq\o(OA,\s\up12(→))＋eq\f(14,3)eq\o(OB,\s\up12(→)).(2)若A，B，C三点能构成三角形，则有eq\o(AB,\s\up12(→))与eq\o(AC,\s\up12(→))不共线，又eq\o(AB,\s\up12(→))＝eq\o(OB,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up12(→))＝eq\o(OC,\s\up12(→))－eq\o(OA,\s\up12(→))＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，则有1×4－(m－2)×1≠0，∴m≠6.20．(本小题满分12分)设e1，e2是正交单位向量，如果eq\o(OA,\s\up12(→))＝2e1＋me2，eq\o(OB,\s\up12(→))＝ne1－e2，eq\o(OC,\s\up12(→))＝5e1－e2，若A，B，C三点在一条直线上，且m＝2n，求m，n的值．[解]以O为原点，e1，e2的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy(图略)，则eq\o(OA,\s\up12(→))＝(2，m)，eq\o(OB,\s\up12(→))＝(n，－1)，eq\o(OC,\s\up12(→))＝(5，－1)，所以eq\o(AC,\s\up12(→))＝(3，－1－m)，eq\o(BC,\s\up12(→))＝(5－n,0)，又因为A，B，C三点在一条直线上，所以eq\o(AC,\s\up12(→))∥eq\o(BC,\s\up12(→))，所以3×0－(－1－m)·(5－n)＝0，与m＝2n构成方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mn－5m＋n－5＝0，,,m＝2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝10，,n＝5.))21．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，eq\o(AB,\s\up12(→))＝2e1＋e2，eq\o(BE,\s\up12(→))＝－e1＋λe2，eq\o(EC,\s\up12(→))＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．(1)求实数λ的值；(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求eq\o(BC,\s\up12(→))的坐标；(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．[解](1)eq\o(AE,\s\up12(→))＝eq\o(AB,\s\up12(→))＋eq\o(BE,\s\up12(→))＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得eq\o(AE,\s\up12(→))＝keq\o(EC,\s\up12(→))，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2k＝0，,λ＝k－1，))解得k＝－eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(3,2).(2)eq\o(BC,\s\up12(→))＝eq\o(BE,\s\up12(→))＋eq\o(EC,\s\up12(→))＝－3e1－eq\f(1,2)e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up12(→))＝eq\o(BC,\s\up12(→)).设A(x，y)，则eq\o(AD,\s\up12(→))＝(3－x,5－y)，因为eq\o(BC,\s\up12(→))＝(－7，－2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x＝－7，,5－y＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝10，,y＝7，))即