可数集合实变函数

实变函数论RealAnalysis1整理课件

2整理课件课题引入第三节中，将有限集合“元素个数〞的概念推广到无限集合,通过在集合间建立一一映射,引入了集合的基数的概念.大家比较熟悉、比较重要的三数集--自然数集合N、有理数集Q和实数集合R都是无限集合.它们给我们直观的印象:自然数集合N“稀稀拉拉〞排列在数轴上，有理数集Q“密密麻麻〞排列在数轴上，实数集合R“密不透风〞地构成实数直线，即数轴.那么，它们的基数有什么不同么？

下面我们将在第四节和第五节，对这些常见的无限集合的基数和运算作较为详尽的讨论.3整理课件注：A可数当且仅当

A可以写成无穷序列的形式{a1,a2,a3,…}1,2,3,4,5,6,…例如：定义1

与自然数集N对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为a.一.可数集的定义2)[0,1]上的有理数全体§1.4可数集合a1,a2,a3,a4,a5,a6,…4整理课件假设这是一个无限集M我们可以取出其中一个点a1显然M\{a1}还是无限集在M\{a1}中可以取出一点a2显然M\{a1，a2}还是无限集我们可以取出一个可数子集{a1,a2,a3,...}(即可数集是无限集中具有最小势的的集合)二.可数集的性质定理1任何无限集合均含有可数子集5整理课件

可数集的任何无限必有可数集,从而可数集合的任可子集或为有限集或为可数集定理2

6整理课件定理3有限集与可数集的并仍为可数集,可数集与可数集的并仍为可数集推论

设

是有限集或可数集,则也是有限集或可数集,但如果至少有一个时，可数集。必为证明:设

A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,…},B={b1,b2,b3,…,bn}C={c1,c2,c3,c4,c5,c6,…}〔1〕首先假设A，B，C两两不交，那么A∪B={b1,b2,b3,…,bn，a1,a2,a3,…}A∪C={c1,a1,c2,a2,c3,a3,…}它们均为可数集。7整理课件(2)一般情形.,那么令

且

但B*作为B的子集仍为有限或可数集(定理2),这样就归结到(1)的情形了.证毕.8整理课件当Ai互不相交时,按箭头所示,我们得到一个无穷序列;当Ai有公共元时,在排列的过程中除去公共元素；因此,是可数集.A1A2A3A4证明:定理4可数个可数集的并仍为可数集.9整理课件[][][][][][]-2-101234首先[0,1]中的有理数全体={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5,…}是可数集，例1:

全体有理数之集Q是可数集所以Q是可数集〔可数个可数集的并〕说明:有理数集在直线上稠密,但仍与稀疏分布在直线上的整数集有相同多的点(对等意义下).10整理课件定理6

有限个可数集的卡氏积是可数集设A，B是可数集，那么A×B也是可数集从而A×B也是可数集〔可数个可数集的并〕利用数学归纳法即得有限个乘积的情形

x固定，y在变11整理课件证明：平面上的圆由其圆心(x,y)和半径r唯一决定,从而

r(x,y)例2平面上坐标为有理数的点全体所成的集为一可数集；平面上以有理点为圆心，有理数为半径的圆全体A为可数集。12整理课件元素

例3是由

个正整数所组成的,其全体成一可数集.

整系数多项式例4的全体是一可数集.事实上,先固定

，由定理6，整系数的

，由定理6，整系数的的全体是一可数集，再用定理4即得。次多项式每个多项式只有有限个根，所以得下面的定理。13整理课件整系数多项式方程的实根称为代数数；不是代数数的实数成为超越数。设P是整系数多项式全体所成之集,P(n)是n次整系数多项式全体例5代数数全体是可数集由代数根本定理知任意整系数多项式至多有有限个实根，从而结论成立.14整理课件有关超越数的说明1874年Cantor开始研究无限集的计数问题;1873年C.埃尔米特证明了e是超越数;1882年Lindemann证明了π是超越数;1934年A.O.盖尔丰得证明了假设α不是0和1的代数数，β是无理代数数,那么αβ是超越数(此问题为Hilbert于1900年提出的23个问题中的第7问题)。我们证明了代数数全体是可数集合，通过后面可知道超越数全体是不可数集，故超越数比代数数多得多15整理课件假设这是集合A从中可以取出可数子集M很容易将M一分为二M1,M2，使得两个都是可数集A\MM={a1,a2,a3,a4,a5,a6,

…}M1

={a1,a3,