2022-2023学年福建省龙岩市高一下学期期末教学质量检查数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的〖答案〗均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，则（）A-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗复数，，由共轭复数的定义可知，，则有.故选：A2.已知向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，所以向量在向量上的投影向量为，故选：D3.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗五条线段中任取3条有

种结果，这些结果等可能出现.要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边，故只有：这四种可能，故所求概率

.故选：B4.已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为，经计算全班数学平均成绩，且，则该班学生此次数学成绩的标准差为（）A.20 B. C.10 D.〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以此次数学成绩的标准差为，故选：D5.如图，在正方体中，，为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）A.若，，则B.若，，则平面平面C.若，，则D.若，，则平面〖答案〗C〖解析〗A.如图所示：若，，则平面，因为平面，平面，则，又，且，平面平面，所以平面，又平面，所以，故正确；B.若，，则平面，由正方体的性质得平面，又，则平面，即平面，又平面，所以平面平面，故正确；C.当，时，则平面，则与共面，不一定平行，故错误；D.如图所示：若，，则平面，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，故正确；故选：C6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为点，纪念碑的最底端记为点（在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取，两点，测得的长为15米，，，，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（）A.14米 B.15米 C.16米 D.17米〖答案〗B〖解析〗设米，在中，，，得，在中，，，得，在中，，，则由余弦定理得，，解得，所以纪念碑高度为15米，故选：B7.已知等边三边形的边长为4，为的中点，将沿折到，使得为等边三边形，则直线与所成的角的余弦值为（）A. B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗分别取的中点，连接，则∥，∥，且，所以直线与所成的角为（或其补角），由题意可知：，，平面，所以平面，且平面，可得，则，在中，由余弦定理可得，所以直线与所成的角的余弦值为.故选：D.8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为所以，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周长为∵，∴的周长为，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.的虚部为C.D.复数在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，则，故A正确；则的虚部为，故B错误；则，故C正确；则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故D错误.故选：AC.10.新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则（）A.本地新增阳性人数最多的一天是10日B.本地新增确诊病例的极差为84C.本地新增确诊病例人数的中位数是46D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由统计图可知2日至16日新增阳性人数依次为8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，其中本地新增阳性人数最多的一天是10日，所以A正确，对于B，由统计图可知本地新增确诊病例的极差为，所以B正确，对于C，由统计图可知本地新增确诊病例人数从小到大排列依次为6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，则中位数为第8个数46，所以C正确，对于D，由统计图可知本地新增无症状感染者的平均数为，本地新增确诊病例的平均数为，所以本地新增无症状感染者的平均数小于本地新增确诊病例的平均数，所以D错误，故选：ABC11.已知是边长为1的正六边形所在平面内一点，，则下列结论正确的是（）A.当为正六边形的中心时， B.的最大值为4C.的最小值为 D.可以为0〖答案〗ACD〖解析〗以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，如图，正六边形边长为1，，设则，，可得，，，，时，的最小值为，C对，为正六边形的中心时，即时，，A对，可以为0，没有最大值，D对，B错，故选：ACD.12.如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转45°，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转45°，得到正方形，则（）A.直线平面B.到平面的距离为C.点到点的距离为D.平面与平面所成的锐二面角为60°〖答案〗BD〖解析〗由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上，正方形和正方形的位置如图所示，连接，如图所示，因为平面平面，直线与平面相交，则直线与平面相交，所以A选项错误；平面与平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角，平面，平面，，正方形中，，平面，，平面，同理，平面，平面与平面所成的锐二面角，等于直线与所成的角，由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为，故选项D正确.过作，则有，平面，平面，，到平面的距离等价于到平面的距离，如图所示，，，则，，点到的距离为，，设到平面的距离为，根据等体积关系，有，解得，由此得到平面的距离为，故B选项正确；连接、，如图所示，中，，，，由余弦定理得，在中，，故C选项错误；故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.方程在复数范围内的根为____________.〖答案〗〖解析〗方程在复数范围内的根为，故〖答案〗为：14.数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为_____________.〖答案〗17.5〖解析〗这组数据共8个数，从小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21，，所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即.故〖答案〗为：17.515.为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为______________.〖答案〗〖解析〗设甲同学答对的的事件为A，答错的事件为，设乙同学答对的的事件为B，答错的事件为乙同学答对的的事件为C，答错的事件为，因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是，所以，解得，所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:，，故〖答案〗为：16.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为，为球表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为____________.〖答案〗〖解析〗依题可得，四面体的外接球的球心为中点，外接球半径，要使取到最大值，则，即与球相切时，所以,在中，，∴，∴，∴，过作，垂足为，所以点在以为圆心为半径的圆上，又，∴四面体体积的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，，.（1）当时，用，表示；（2）求的值解：（1）当时，，.（2）法一：，，.法二：取中点，则，且，∴.因为，，所以，所以.18.如图，在直三棱柱中，，，.（1）求三棱柱的侧面积；（2）设为的中点，求证：平面.（1）解：∵三棱柱为直三棱柱，∴侧面均为矩形，∵，所以底面均为直角三角形，又∵，，∴，∴三棱柱的侧面积为.∴三棱柱的侧面积为.（2）证明：连接交于点，连接，∵四边形为矩形，∴为的中点，∵D为的中点，∴.∴平面，平面，∴平面.19.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，因为为两两互斥事件，由已知得，解得∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间.（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以所以因为，所以此游戏不公平.20.某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.（1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，，记总的样本平均数为，样本方差为.证明：.（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.（1）解：估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450由频率分布直方图可知流量少于300的所占比例为，流量少于400的所占比例为，所以抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在内，且中位数为.（2）（i）证明：根据方差的定义，总样本的方差为由，可得同理可得因此（ii）解：估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为21.如图，在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，侧面底面.（1）若，求证：；（2）若与平面所成角为，求点A到直线的距离.（1）证明：如图，连接，因为侧面底面，侧面底面，，底面，所以底面，且平面，可得.在正方形中，，，平面，平面，所以平面，且平面，可得.（2）解：因为//，平面，平面，所以∥平面，过作，垂足为，连接，因为侧面底面，侧面底面，，底面，所以底面，且底面，可得，，平面，可得底面，则A到平面的距离即为到平面的距离，由与平面所成的角为，则，又因为//，则平面，且平面，可得，，，平面，所以平面，且平面，可得，即的长度即为点A到的距离，可得所以点A到的距离为.22.在中，角，，的对边分别为，，，点在边上，，，.（1）若，求；（2）若，求的面积.解：（1）在中，，，由余弦定理得，∴，化简得，解得，或.∴，或.∴，或，综上可得，或.（2）在中，设，则，∵，由正弦定理得，∴.在中，，，由正弦定理得，即.化简得，∵，∴，.∴或，解得或.当时，，，∴为等腰直角三角形，得到的面积为；当，，在中由正弦定理得，∴∴的面积为，综上可得的面积为4或.福建省龙岩市2022-2023学年高一下学期期末教学质量检查数学试题（考试时间：120分钟满分150分）注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的〖答案〗均填写在答题卡上.2.答题要求见答题卡上的“填涂样例”和“注意事项”.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，，则（）A-1 B.1 C.-5 D.5〖答案〗A〖解析〗复数，，由共轭复数的定义可知，，则有.故选：A2.已知向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为向量，，满足，，与的夹角的余弦值为，所以向量在向量上的投影向量为，故选：D3.从长度为1，3，7，8，9的5条线段中任取3条，则这3条线段能构成一个三角形的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗五条线段中任取3条有

种结果，这些结果等可能出现.要使选出的三条线段可构成三角形，则两条较小边的和要大于第三边，故只有：这四种可能，故所求概率

.故选：B4.已知某班40名学生某次考试的数学成绩依次为，经计算全班数学平均成绩，且，则该班学生此次数学成绩的标准差为（）A.20 B. C.10 D.〖答案〗D〖解析〗因为，且，所以此次数学成绩的标准差为，故选：D5.如图，在正方体中，，为正方体内（含边界）不重合的两个动点，下列结论错误的是（）A.若，，则B.若，，则平面平面C.若，，则D.若，，则平面〖答案〗C〖解析〗A.如图所示：若，，则平面，因为平面，平面，则，又，且，平面平面，所以平面，又平面，所以，故正确；B.若，，则平面，由正方体的性质得平面，又，则平面，即平面，又平面，所以平面平面，故正确；C.当，时，则平面，则与共面，不一定平行，故错误；D.如图所示：若，，则平面，因为，平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，又平面，所以平面，故正确；故选：C6.闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为点，纪念碑的最底端记为点（在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取，两点，测得的长为15米，，，，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（）A.14米 B.15米 C.16米 D.17米〖答案〗B〖解析〗设米，在中，，，得，在中，，，得，在中，，，则由余弦定理得，，解得，所以纪念碑高度为15米，故选：B7.已知等边三边形的边长为4，为的中点，将沿折到，使得为等边三边形，则直线与所成的角的余弦值为（）A. B.0 C. D.〖答案〗D〖解析〗分别取的中点，连接，则∥，∥，且，所以直线与所成的角为（或其补角），由题意可知：，，平面，所以平面，且平面，可得，则，在中，由余弦定理可得，所以直线与所成的角的余弦值为.故选：D.8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为所以，∵，∴，，∵，∴，，∴，∴，由正弦定理得∴，，所以的周长为∵，∴的周长为，故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（）A.B.的虚部为C.D.复数在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗AC〖解析〗因为，所以，则，故A正确；则的虚部为，故B错误；则，故C正确；则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故D错误.故选：AC.10.新型冠状病毒阳性即新型冠状病毒核酸检测结果为阳性，其中包括无症状感染者和确诊病例.下图是某地某月2日至16日的新冠疫情病例新增人数的折线统计图，则（）A.本地新增阳性人数最多的一天是10日B.本地新增确诊病例的极差为84C.本地新增确诊病例人数的中位数是46D.本地新增无症状感染者的平均数大于本地新增确诊病例的平均数〖答案〗ABC〖解析〗对于A，由统计图可知2日至16日新增阳性人数依次为8，15，44，63，120，72，30，59，131，66，95，85，99，102，92，其中本地新增阳性人数最多的一天是10日，所以A正确，对于B，由统计图可知本地新增确诊病例的极差为，所以B正确，对于C，由统计图可知本地新增确诊病例人数从小到大排列依次为6，10，14，14，20，33，40，46，51，72，81，82，90，90，90，则中位数为第8个数46，所以C正确，对于D，由统计图可知本地新增无症状感染者的平均数为，本地新增确诊病例的平均数为，所以本地新增无症状感染者的平均数小于本地新增确诊病例的平均数，所以D错误，故选：ABC11.已知是边长为1的正六边形所在平面内一点，，则下列结论正确的是（）A.当为正六边形的中心时， B.的最大值为4C.的最小值为 D.可以为0〖答案〗ACD〖解析〗以为原点，以为轴，建立平面直角坐标系，如图，正六边形边长为1，，设则，，可得，，，，时，的最小值为，C对，为正六边形的中心时，即时，，A对，可以为0，没有最大值，D对，B错，故选：ACD.12.如图，水平放置的正方形边长为1，先将正方形绕直线向上旋转45°，得到正方形，再将所得的正方形绕直线向上旋转45°，得到正方形，则（）A.直线平面B.到平面的距离为C.点到点的距离为D.平面与平面所成的锐二面角为60°〖答案〗BD〖解析〗由已知条件中的旋转，可将正方形放于两个全等正方体的公共面上，正方形和正方形的位置如图所示，连接，如图所示，因为平面平面，直线与平面相交，则直线与平面相交，所以A选项错误；平面与平面所成的锐二面角可转化为平面与平面所成的锐二面角，平面，平面，，正方形中，，平面，，平面，同理，平面，平面与平面所成的锐二面角，等于直线与所成的角，由为等边三角形，可得所求锐二面角的平面角为，故选项D正确.过作，则有，平面，平面，，到平面的距离等价于到平面的距离，如图所示，，，则，，点到的距离为，，设到平面的距离为，根据等体积关系，有，解得，由此得到平面的距离为，故B选项正确；连接、，如图所示，中，，，，由余弦定理得，在中，，故C选项错误；故选：BD.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.方程在复数范围内的根为____________.〖答案〗〖解析〗方程在复数范围内的根为，故〖答案〗为：14.数据13，11，12，15，16，18，21，17的第三四分位数为_____________.〖答案〗17.5〖解析〗这组数据共8个数，从小到大排列是11，12，13，15，16，17，18，21，，所以第三四分位数是第6个数和第7个数的平均数，即.故〖答案〗为：17.515.为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为______________.〖答案〗〖解析〗设甲同学答对的的事件为A，答错的事件为，设乙同学答对的的事件为B，答错的事件为乙同学答对的的事件为C，答错的事件为，因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是，所以，解得，所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:，，故〖答案〗为：16.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，.记四面体的外接球的球心为，为球表面上的一个动点，当取最大值时，四面体体积的最大值为____________.〖答案〗〖解析〗依题可得，四面体的外接球的球心为中点，外接球半径，要使取到最大值，则，即与球相切时，所以,在中，，∴，∴，∴，过作，垂足为，所以点在以为圆心为半径的圆上，又，∴四面体体积的最大值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，，，.（1）当时，用，表示；（2）求的值解：（1）当时，，.（2）法一：，，.法二：取中点，则，且，∴.因为，，所以，所以.18.如图，在直三棱柱中，，，.（1）求三棱柱的侧面积；（2）设为的中点，求证：平面.（1）解：∵三棱柱为直三棱柱，∴侧面均为矩形，∵，所以底面均为直角三角形，又∵，，∴，∴三棱柱的侧面积为.∴三棱柱的侧面积为.（2）证明：连接交于点，连接，∵四边形为矩形，∴为的中点，∵D为的中点，∴.∴平面，平面，∴平面.19.已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是.（1）求盒中红球、黄球、蓝球的个数；（2）随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.（i）写出该试验的样本空间；（ii）设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.解：（1）从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件，因为为两两互斥事件，由已知得，解得∴盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是；（2）（i）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用表示黄球，用表示蓝球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示试验的样本点，则样本空间.（ii）由（i）得，记“取到两个球颜色相同”为事件，“取到两个球颜色不相同”为事件，则，所以所以因为，所以此游戏不公平.20.某大型企业为员