第四节(解析函数)

复习

复数的三角表示式：

复数的指数表示式：复数的代数表示式：复数的运算扩充复平面：§1.1复数与复数运算§1.2复变函数复变函数的定义区域的概念单连通域与多连通域常见复变函数Cauchy-Riemann条件必要条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有§1.3导数充分必要条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是注意：条件点处满足在RiemannCauchy),(.2-yx点处可微；在),(),(),,(.1yxyxvyxuf(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导(微)点处可微；在),(),(),,(yxyxvyxuÛ充分条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在(x,y)处满足那么f(z)在z=x+iy处可导。Cauchy-Riemann方程在极坐标系下的形式为§1.4解析函数

一.解析定义().0解析在则称zzf(),00的邻域内处处可导及在如果函数zzzf二.解析函数的性质(1)若函数f(z)=u+iv,在区域B上解析,则u(x,y)=C1,v(x,y)=C2(C1C2为常数)是B上的两组正交曲线族两边分别相乘,得即梯度正交分别是曲线u=常数和v=常数的法向矢量,因此U=常数和v=常数是互相正交的两曲线族(2)若函数f(z)=u+iv在区域B上解析,则u,v均为B上的调和函数如果某函数H(x,y)在区域B上有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程则称H(x,y)为区域B上的调和函数.后边我们将证明,二阶偏导数存在且连续,对柯西-黎曼方程前一式子对x求导,后一式子对y求导,相加可以消除v,得到同理可得以上说明u(x,y)和v(x,y)都满足二维的拉普拉斯方程,即都是调和函数,又由于是同一个复变函数的实部和虚部,所以又特别称之为共轭调和函数若给定一个二元的调和函数,可以看做某个解析函数的实部(虚部),利用柯西-黎曼条件求出相应的虚部(实部),也就确定了这个解析函数.给定的二元函数u(x,y)是解析函数的实部,求相应的虚部v(x,y)二元函数v(x,y)的微分式是由柯西-黎曼条件可得是全微分，

三.求解析函数的实部或虚部原因如下满足拉普拉斯方程可以用下列方法计算出(1)曲线积分法全微分的积分与路径无关,可选取特殊积分路径

使积分路径容易算出.(2)凑全微分法

微分的右端凑成全微分显式,v(x,y)自然求出(3)不定积分法以上方法同样适用于从虚部v求实部u的情况例1已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2,求虚部和解析函数解:验证u是调和函数,满足拉普拉斯方程,确实是某解析函数的实部.根据柯西-黎曼条件有(1)曲线积分法先计算u的偏导数由此可得dv=2ydx+2xdy右边是全微分,积分值与路径无关,为便于计算,取如图路径:(x,0)(x,y)oxyC为积分常数CxyCxdyyx+=+=ò22),()0,x(Cxdyydxxdyydxvyxxx++++=òò2222),()0,()0,()0,0((2)凑全微分法由上已知dv=2ydx+2xdy很容易凑成全微分形式d(2xy),则dv=d(2xy)此时显然有v=2xy+C实质上也是曲线积分法,在容易凑微分的时候很方便.(3)不定积分法上边算出第一式对y积分,x看做参数,可得对x求导其中为x的任意函数,再由柯西-黎曼条件知道从而有可得v=2xy+C解析函数为例2已知解析函数f(z)的虚部求实部u(x,y)和解析函数f(z)解直角坐标系下，