第13次课(3.1矢势及其微分方程)

复习三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）1．设外场电势为，场中电荷分布为，体系具有的总能量为：可以证明：因此：+称为体系的相互作用能，或带电体系在外场中的能量。2．带电体系为小区域时相互作用能的展开将对电荷所在小区域展开为麦克劳林级数zyx3．相互作用能的意义：体系电荷集中在原点时，在外场中的能量；体系等效电偶极子在外场中的能量；体系等效电四极子在外场中的能量。若外场为均匀场4.带电体系在外场中受到的力和力矩设W为带电体系在外场中的静电势能，则带电体系在外场中受到的力（假定Q不变）以下仅讨论和力：相当于带电体系集中在一点上点电荷在外场中受到的作用力若为均匀场电偶极子只在非均匀场中受力。假定在外场作用下不变，设为与之间的夹角，则

可见即使均匀场，但力矩：总结第二章的主要内容1.静电场的电势

2.微分方程和边值关系3．静电场的能量4.唯一性定理5.分离变量法6.电象法：用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。7.电势的多极展开8、电荷体系在外电场中的能量下一次课交第二章的作业7.有一内外半径分别为r1

和r2

的空心介质球，介质的电容率为ε。使介质内均匀带静止自由电荷ρf

，求（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。r2r1ε作业答案2）由公式：r2r1ε外球壳上，r=r2，n

从介质1指向介质2，即介质指向真空P2n

=0内球壳上，r=r1，n从介质1指向介质2，即真空指向介质，P1n

=08.内外半径分别为r1和r2

的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流jf。导体的磁导率为μ。求磁感应强度和磁化电流r2r1从介质1指向介质2在内表面上,M1=

0在外表面上,M2=

0r2r19.证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。12.证明(1)当两种绝缘介质的分界面上不带面自由电荷时，电场线的曲折满足其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。2当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线曲折满足其中和分别为两种介质的电导率。第三章静磁场Staticmagneticfield本章重点：1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁场的能量2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程与静电势方程的比较3、了解A-B效应和超导体的电磁性质本章难点：利用磁标势解决具体问题§1矢势及其微分方程

Vectorpotentialanddifferentialequation一、稳恒电流磁场的矢势1．稳恒电流磁场的基本方程稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不随时间变化的磁场。基本方程边值关系本节仅讨论情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。2．矢势的引入及意义静电场物理意义：（a）与的关系稳恒电流磁场其中S为回路L为边界的任一曲面沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一曲面的磁通量，而每点A无直接物理意义。（b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关（c）物理意义３、矢势的不唯一性由A的这种任意性，为了方便，我们可以对它加上一定的限制条件即辅助条件对于上式总可以找到一个A适合.证明：设有某一解不满足上式另取一解A′的散度为取

为泊松方程的一个解，就得证。对A所加的辅助条件称为规范条件。二．矢势满足的方程及方程的解1．满足的方程（1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程（2）与静电场中形式相同（3）矢势为无源有旋场2．矢势的形式解已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。3．的解这正是毕奥--萨伐尔定律通过类比4．的边值关系12（a）（b）5．矢量泊松方程解的唯一性定理定理：给定V内传导电流和V边界S上的或

V内稳恒电流磁场由和边界条件唯一确定。三．稳恒电流磁场的能量已知均匀介质中总能量为1．在稳恒场中有

②不是能量密度。能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。③

导出过程2.电流分布在外磁场中的相互作用能设为外磁场电流分布，为外磁场的矢势；为处于外磁场中的电流分布，它激发的场的矢势为。总能量：最后一项称为相互作用能，记为，可以证明：例1无穷长直导线载电流I，求磁场的矢势和磁感应强度。解：设P点到导线的垂直