2-2 Z变换与逆Z变换

——序列的Z变换数字信号处理Z变换定义Z变换性质Z变换收敛域引入分析介绍掌握Z变换的定义；了解Z变换的基本性质；Z变换的定义Z变换收敛域的特点教学思路重点难点目的要求掌握ROC与序列性质的关系。正变换反变换1.正变换定义式为幂级数求和，那么要求幂级数收敛才有意义；2.反变换为求解围线积分，且c为收敛域内的一条闭合曲线；3.x(n)对应的Z

变换应该为X(z)的表达式及收敛域共同组成的。收敛域Z变换的定义定义Z平面示意图复平面对任意给定序列x(n)，能使X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。级数收敛的必要且充分条件是满足绝对可和定义若级数绝对收敛，则级数也一定收敛达朗贝尔判别法收敛域的定义判别方法Z平面示意图复平面使分子为零的z值，我们称为零点，用圆圈表示；使分母为零的z值，我们称为极点，用叉号表示；Z变换的收敛域（ROC）Z变换的收敛域（ROC）Regionofconvergence使级数收敛的所有z值的集合定义有限长序列01若Z变换的收敛域（ROC）若Z变换的收敛域（ROC）有限长序列01例1：求序列对应的Z变换及收敛域解：因果序列Z变换的收敛域（ROC）右边序列02系统性质-线性解：Z变换的收敛域（ROC）【例2】求的Z变换及其收敛域。零点：极点：Z变换的收敛域（ROC）左边序列03解：Z变换的收敛域（ROC）【例3】求的Z变换及其收敛域。零点：极点：x(n)对应的Z

变换应该由X(z)的表达式及收敛域共同组成.Z变换的收敛域（ROC）比较双边序列04为任意值时皆有值Z变换的收敛域（ROC）收敛域的特点解：Z反变换【例4】求x(n)右序列演示因果序列Z反变换长除法因果序列展开式为

z的负幂次Z反变换长除法2

非因果序列展开式为

z的正幂次Z反变换——部分分式法部分分式法【例】,求对应序列。解：序列的Z变换逆Z变换c是X(z)收敛域中一条包围原点的逆时针的闭合曲线用F(z)表示被积函数：F(z)=X(z)zn-1围线积分路径Z反变换——留数法如果F(z)在围线c内的极点用zk表示，则根据留数定理有1、如果zk是单阶极点，则根据留数定理有2、如果zk是N阶极点，则根据留数定理有式中,Res［F(z),zk］表示被积函数F(z)在极点z=zk的留数，逆Z变换是围线c内所有的极点留数之和。逆Z变换对于N阶极点，需要求N－1次导数，这是比较麻烦的。如果c内有多阶极点，而c外没有多阶极点，则可以根据留数辅助定理改求c外的所有极点留数之和。Z反变换——留数法例

求

，

的反变换。解的反变换为由于收敛域为

，所以应为因果序列，当

时，

不是

的极点。所以，在收敛域内环绕原点的围线c内只有一阶极点、

，则Z反变换——留数法由此得所求序列为Z反变换——留数法部分分式展开法

若设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式:观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，在极点z=zm的留数就是系数Am。

Z反变换——留数法解：Z反变换——留数法【例】设，求序列x(n)Z反变换——留数法Z反变换——留数法【例】,求序列x(n)Z反变换——观察法解：将多项式展开并合并解：例：已知，求它的Z变换线性性质01叠加原理Z变换的性质由欧拉公式可知Z变换的性质时移性02序列线性加权性-z域求导性03Z变换的性质乘以指数序列-z域尺度变换04Z变换的性质对序列x(n)乘以指数序列即可实现Z域的尺度变换。序列共轭性05若序列为实数序列，则实数序列的零极点一定共轭成对出现Z变换的性质序列对称性（翻转序列的z变换）06Z变换的性质而收敛域为故可写成序列对称性06Z变换的性质若序列x(n)为偶对称序列，则x(n)=x(-n)若序列x(n)为奇对称序列，则x(n)=-x(-n)若序列x(n)为对称序列，则其零极点关于单位圆镜像成对出现系统性质-线性解：Z变换的性质【例】若一对称实序列存在一极点为1+j，那么该序列是否还存在

其他极点，若还存在其他极点，它们分别是？序列为实数序列，其极点一定共轭成对出现序列为对称序列，其极点一定关于单位圆镜像成对出现时域频域Z变换的性质时域卷积定理07Z域复卷积定理08时域频域例：已知系统的单位取样响应：，输入序列：，

求输出序列。解：Z变换的性质9.初值定理对于因果序列x(n)，即x(n)=0,n<0,有证由于x(n)是因果序列，则有:(2-34)利用Z变换求解差分方程利用单边Z变换移位性质Z变换的性质例：若离