高三数学寒假作业1

高三数学寒假作业1

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设，是虚数单位，则复数1-万+3%-4户等于（）

A.-2-6/B.-2+2iC.4+2zD.4-6z

2.已知集合4={X*-4>O},B={X\X-2<0},则（CRA）CB等于（）

A.（-8,2）B.[-2,2]C.（-2,2）D.[-2,2）

3.“机=3”是“函数f（x）=/为实数集R上的奇函数”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

1

4.在区间[0,由上随机取一个实数x,使得siar40,1的概率为（）

1212

A.一B,一C.-D.—

7T7T33

5.将函数/。）=5加（2万+9的图象向右平移e个单位，得到的图象关于原点对称，则隼

的最小正值为（）

TCTC57r77T

A•一B,-C.—D.—

631212

6.已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）

正视图侧视图

俯视图

A.12B.24C.36D.48

%+y—3N0

7.直线x+my+l=0与不等式组2x—yNO表示的平面区域有公共点，则实数m的取值

x—240

范围是（）

4133

B.I-3,-3]C.[-,3]D.[-3,-方

8.（理）已知圆心为。，半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C,其中&•茄=0,存

在实数入，口满足鼠+221+〃茄=3,则实数入，u的关系为（）

11

A.入2+『=1B.-4--=1C.入口=1D.入+p=l

A〃

%2y2

9.已知抛物线V=8x的准线与双曲线二一77=1（a>0,b>0）相交于A、8两点，双曲

a12345b2

线的一条渐近线方程是），=好，点厂是抛物线的焦点，且△或8是等边三角形，则该

双曲线的标准方程是（)

x2y2.x2y2

A.—­=iB.---=1

366163

x2y2.x2y2

C.一­=1D.---=1

632316

10.对于函数/(x)=a"若存在实数W、使得了（X）W0的解集为[加,n]（〃?<〃）,

则实数a的取值范围是（)

11

A.(-00,0)U(0,-)B.(-00,0)U(0,-]

11

C.(0,-)D.(0,-]

e

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11.为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200

名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用

茎叶图表示（如图），据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于

30次的教师人数为.

1235579

203345

30148

4122

569

12.执行如图所示的程序，则输出的结果为

13.等差数列｛a〃｝中，“4=6,贝I2m-。5+〃11=.

Q2

14.已知a,b为正实数，直线x+y+a=O与圆(x-Z?)2+(y-1)2=2相切，则工的取值

'b

范围是.

15.对于函数/(x)=#可，给出下列结论：

①等式/(-X)V(x)=0在AGR时恒成立；

②函数/(x)的值域为(-1,1)

③函数g(x)=/(x)-x在R上有三个零点：

⑷右XI则----------->0

%1一%2

⑤若X1<X2,则2寸(六凸

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题：

16.(12分)在AABC中，角4,8,C所对的边分别为小b,c,火x)=sin2xcos8-2cos2xsinfi+sinfi,

xER,函数/(x)的图象关于直线％=居对称.

(I)当xe[0,舒时，求函数f(x)的最大值并求相应的x的值；

(II)若6=3且sin4+sinC=求4487的面积.

17.(12分)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为

了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量

与PM2.5的数据如下表：

时间周一周二周三周四周五

车流量X（万辆）5051545758

PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879

（I）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程'=6刀+。；

（II）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（I）求出的线性回归方程预测，此

时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？

（参考公式：6=鱼乒奖盯囚，歹=6•元+a,参考数据：嵩=1々=270,

Si=l0「元）

用1=%=370）

18.（12分）已知数列｛“”｝和｛氏｝对任意的〃€N*满足的。2…即=,若数列｛“”｝是等比

数列，且m=l,bi=b\+2.

（I）求数列｛如｝和｛加｝的通项公式；

（II）设Cn=；—/（n6N*）,求数列｛Cn｝的前"项和S”.

19.（13分）如图，在多面体ABC-4B1C1中，四边形4BB14是正方形，ZvliCB是等边

三角形，AC=A8=1,B\C\//BC,BC=2BiCi

（1）求证：ABi〃平面AiCiC

（II）求多面体ABC-A\B\C\的体积.

C

高三数学寒假作业1(答案解析)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.设i是虚数单位，则复数1-2H3P-4产等于()

A.-2-6/B.-2+2/C.4+2/D.4-6/

【解答】解：复数1-2计3t-4尸=复数1-2/-3+4/=-2+2/.

故选：B.

2.已知集合4={小2-4>0},B={xlx-2<0},则(CRA)C8等于()

A.(-8,2)B.[-2,2]C.(-2,2)D.[-2,2)

【解答】解：由A中的不等式得：/-4>0,得到x>2或x<-2,

:.4=(-oo,-2)U(2,+8),

由x-2<0,解得x<2,

：.B=(-8,2),

:全集U=R,

，CuA=[-2,2],

(CuA)AB=[-2,2).

故选：D.

3.“〃?=3”是“函数/(x)=/为实数集R上的奇函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

【解答】解：当机=3时，函数/(x)=/为奇函数，满足条件.

当机=1时，函数/(x)=%为奇函数，但帆=3不成立，

故“机=3”是“函数/(x)=4"为实数集R上的奇函数”的充分不必要条件，

故选：A.

1

4.在区间[0,用上随机取一个实数x,使得siiixqo,鼻]的概率为()

1212

A.—B•—C.-D.一

7T7T33

【解答】解：在区间[0,nJ上，当xe[0,常U筐，扪时，S讥xe[0,1],由几何概型

n,n

--1--i

知，符合条件的概率为j=不

n3

故选：C.

5.将函数/(x)=sin(2x+9的图象向右平移＜p个单位，得到的图象关于原点对称，则隼

的最小正值为()

717i57r77r

A•一B,-C.—D.—

631212

【解答】解：将函数/(x)=sin(2x+分的图象向右平移叩个单位，得到的图象对应的函

数解析式为y=sin[2(x-＜p)+^]=sin(2x+5—2cp),

再根据所得函数的图象关于原点对称，可得三一2叩=依，依z,即＜p建一器则中的最

7T

小正值为二，

6

故选：A.

6.已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是()

正视图侧视图

俯视图

A.12B.24C.36D.48

【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱

垂直底面矩形的一个得到，

1

所以棱锥的体积为：-X4X3X3=12.

故选：A.

%+y-3>0

7.直线x+m.y+l=O与不等式组2x—y20表示的平面区域有公共点，则实数，〃的取值

x—240

范围是()

144133

A.[-,-]B.[―最C.[-,3]D.[-3,

【解答】解：即直线x+〃?y+l=O过定点。(-1,0)

作出不等式组对应的平面区域如图：

当"?=0时，直线为x=-l,此时直线和平面区域没有公共点，

11

故x+my+l=0的斜截式方程为y=--x--,

斜率％=-煮，

要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+l=0的斜率k>0,

1

即％=--->0,即/?7<0»满足kCD&k〈kAB,

此时AB的斜率以8=2,

由口才=2

,即C(2,1),

y=1

A—11

CD的斜率kcD=7

-1-Z3,

由解得即A⑵4),

A。的斜率kAD=春与=r

<k<I，

„,411

则产一六9

解得-3W〃?W—

故选：D.

8.（理）已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A、B、C,其中扇•防=0,存

在实数入，口满足江++〃晶=3,则实数入，口的关系为（）

o）11

A.A2+|i2=lB.-+—=1C.入|i=lD.入+|1=1

A〃

【解答】解：由题意可得|&|=|后|=|左|=1,且&.后=0.

,：OC+AOA+uOB=0,即OC=平方可得l=M+『，

故选：A.

%2y2

9.已知抛物线y2=8x的准线与双曲线/一公=1（a>0,b>0）相交于A、8两点，双曲

线的一条渐近线方程是y=竽为点尸是抛物线的焦点，且△项B是等边三角形，则该

双曲线的标准方程是（）

x2y2x2y2

A.---=1B.---=1

366163

x2y2x2y2

C.---=1D.---=]

632316

【解答】解：由题意可得抛物线V=8x的准线为-2,焦点坐标是（2,0）,

%2y2

又抛物线«=8x的准线与双曲线下-yr=1相交于A,B两点，又△EAB是等边三角形，

a2b2

则有A,B两点关于X轴对称，横坐标是-2,纵坐标是4tan30°与-4tan30。，

4J3416

将坐标（-2,±—-）代入双曲线方程得下一二=1,①

3a23b2

又双曲线的一条渐近线方程是y=#lr,得2="，②

3a3

由①②解得4=75，b=4.

x2y2

所以双曲线的方程是二-T-=l.

316

故选：D.

10.对于函数/(X)若存在实数机、n,使得f(x)W0的解集为[m,n]

则实数。的取值范围是()

11

A.(-oo,0)U(0,-)B.(-8,0)U(0,-]

ee

11

C.(0,-)D.(0,-]

ee

【解答】解："炭W尤(e是自然对数的底数)，转化为仁宗

x

令人y=m，

则y,=竺含竺，令y=0,可得X=1,

当x>l时，y'<0,函数y递减；当x<l时，<>0,函数y递增.

则当x=1时函数y取得最大值士

e

由于存在实数根、”，使得了(X)W0的解集为的，川，

则由右边函数y=a的图象可得“的取值范围为(0,1).

故选：C.

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.

11.为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200

名授课教师中抽取20名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用

茎叶图表示(如图)，据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于

30次的教师人数为90.

【解答】解：根据题意，得;

9

样本容量为20时，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为9,...频率为二；

20

由此估计该校上学期200名教师中，使用多媒体辅助教学不少于30次的教师人数为

9

200X.=90.

故答案为：90.

12.执行如图所示的程序，则输出的结果为24.

【解答】解：第一次执行循环体后，z=2,满足继续循环的条件，x=2,y=4；

再次执行循环体后，z=6,满足继续循环的条件，x=5,y=7；

再次执行循环体后，z=12,满足继续循环的条件，x=8,y=10；

再次执行循环体后，z=18,满足继续循环的条件，x=ll,y=13；

再次执行循环体后，z=24,不满足继续循环的条件，

故输出的结果为：24,

故答案为：24.

13.等差数列｛“”｝中，“4=6,则2m-a5+mi=12.

【解答】解：等差数列｛“”｝中，44=6,

.,.a\+3d=6,

贝！]2m-45+aii=2ai-(ai+4J)+ai+10d=2(ai+3d)=12.

故填12.

a2

14.已知a,b为正实数，直线x+y+a=0与圆(x-〃)2+(])2=2相切，则一的取值

'b

范围是(0,+8).

【解答】解：•直线x+y+a=0与圆(x-b)2+(y-1)2=2相切，

二圆心到直线的距离d=也誓Nl=V2,

V2

即|。+什1|=2,

/.a+h=\,或〃+Z?=-3

・・Z,〃为正实数

：.a+b=-3（舍去）,

即b=]-a,

a2a2

：.0<a<]0<b<\

99b1-a

f]2

构造函数f（。）=占，（0<a<l）,

2a(l—a)+a2_2a—a2

则/(a)~~-=7；

(1一Q)(1—a)

•・•当OVaVl时，2CL〃2>。，即/⑺>o,

：.f（a）在（0,1）上是增函数,

A0</（6Z）<1,

a2

则七的取值范围是（0,+°°）.

b

故答案为：（0,+8）.

15.对于函数/（X）=不&，给出下列结论：

①等式/（-X）V（X）=0在XGR时恒成立;

②函数/（x）的值域为（-1,1）

③函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点;

④若X1WX2,

XI~X2

⑤若为<%2,则</（±~今

其中所有正确结论的序号为①②⑷.

【解答】解：f（x）=而，/（-%）=品；

故等式f（-x）+f（x）=0在xeR时恒成立，故①成立;

1-e’x-°

八）=肃=

-1+1I.，xVO

故-1</（X）<1,

故函数/（X）的值域为（-1,1）,故②成立；

x>0

g(x)=f⑴-x=(I'%,

岛，xVO

故函数g(x)=f(x)-X在R上有一个零点，故③不成立;

1-击，x~°

可⑴=晶

-1+1I.fxV0

故可判断f(X)在R上是增函数，

故若；则"/)一""2)〉o,

x1-x2

故④成立；

丫(1-1_Lv，％之0

作函数/"(x)=4=11+彳的图象如下,

11-1+士，XV0

yn

若,,0<xi<x2,则r;(工2)勺(X±i+~X?3

若xi〈x2<0,则/工匕八二/〉于(六二).

故⑤不成立.

故答案为：①②④.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.(12分)在△ABC中，角4,8,C所对的边分别为“,b,c,火x)=sin2xcosB-2cos2xsinB+sinB,

xGR,函数/(x)的图象关于直线％=居对称.

(I)当xe[0,刍时，求函数f(x)的最大值并求相应的x的值；

(II)若6=3且sinA+sinC=马之求△4BC的面积.

【解答】解：f(x)=sin2xcosB-2cos2xsinB+sinB=sin2xcosB-(1+cosZr)sinB+sinB=

sin(2x-B).

(I)由函数/(x)的图象关于直线％=居对称，知2x招_B="+自解得B=-内r+E

(依Z),

又BE(0,n),，当左=0时，B=

当X£[0,刍时，一,工2%一自打等'

于是当2x-?=?'即k驾时，函数/(X)的最大值为1;

baca+c3l

(II)由正弦定理得一^=——=——=————=灰=2y3»

sinBsinAsinCsinA+sinC里

2

又sinA+sinC=得a+c=2V3x=4,

2

由余弦定理得〃2=/+c2-24ccosB=42+d-ac=(a+c)-3acf

解得ac=3

一117V37V3

于是△ABC的面积为一acsinB=-x-x—=——.

223212

17.（12分）PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为

了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量

与PM2.5的数据如下表：

时间周一周二周三周四周五

车流量X（万辆）5051545758

PM2.5的浓度y（微克/立方米）6970747879

（I）根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=bx+a；

（II）若周六同一时间段车流量是25万辆，试根据（I）求出的线性回归方程预测，此

时PM2.5的浓度为多少（保留整数）？

（参考公式：匕=匾华&写2,9=6•元+a,参考数据：£乙项=270,

理=]0「幻

Sf=1%=370）

【解答】解：（I）由条件可知±=“0+51+54+57+58）=54,y=1（69+70+74+78+79）

=74

2

H=i(々一号(%—歹)=4X5+3X4+3X4+4X5=64,把1(xz-x)=50,

：.b==1,28,a=74-1.28X54=4.88,

故y关于x的线性回归方程是：y=1.28x+4.88；

(II)当x=25时，y=1.28X25+4.88=36.88比37,

，可以预测此时PM2.5的浓度约为37.

18.(12分)已知数列｛的｝和｛为｝对任意的"6N*满足…%1=3如-%若数列｛〃”｝是等比

数列，且m=l,bi—b\+2.

(I)求数列｛。；｝和｛b｝的通项公式；

(II)设Cn=1---r~(nEN*),求数列｛Cn｝的前〃项和

Qn

【解答】解：(I)由条件可知%