矢量分析与场论知识点归纳

《矢量分析与场论》知识点归纳

标量、矢量和张量▎标量Scalar-heatandmassarescalars只具有数值大小（magnitude），而没有方向（direction）的量，称为“标量”。例如，质量、密度、温度、速率、体积、时间和热量等物理量。无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。标量间的运算遵循一般的代数法则。▎矢量Vector-Heatandmassfluxesarevectors又被称为“向量”。有些物理量physicalquantities，是由数值大小magnitude和方向direction二者共同确定的，这些物理量被称为“向量”。例如，速度、加速度、位移、力、冲量、动量和磁场强度等都是矢量。向量间的运算并不遵循一般的代数法则，在相加减时它们遵从几何运算法则。▎张量Tensor-momentumfluxisatensor以二阶张量为例，其不仅具有数值大小，而且具有两个方向。流体力学中作用在流体元上的应力场即为二阶张量。零阶张量（r=0）为标量；一阶张量（r=1）为向量；二阶张量（r=2）则成为矩阵。点积、叉积和混合积▎点积DotProduct点积，又被称为向量的内积或数量积。求得的结果是一个数。向量a·向量b=|a||b|cos<a,b>。在物理学中，已知力与位移求功，实际上就是求向量F与向量s的内积，要用点乘。点积的几何意义：向量a到向量b的投影。这在论述上有一定的问题，应该说成向量a在单位向量b上的投影。点积的力学意义：一物体在力F的作用下，沿直线AB移动了S，F与AB的夹角为

α，如下图，则力对物体做的功为▎叉乘Cross

Product叉乘，又被称为向量的外积、向量积。求得的结果是一个向量，记这个向量为c。向量c的模可表示为|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin<a,b>。向量c的方向与向量a和b所在的平面垂直，且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。因此，向量的外积不遵守乘法交换率，因为向量a×向量b=-向量b×向量a在物理学中，已知力与力臂求力矩，就是向量的外积，即叉乘。为了解决已知两有向线段，求已他们为邻边的平行四边形的面积的问题，引入了叉积，(叉乘的意义也正在与此)。物理意义：力矩，如下图，O为一根杠杆L的支点，有一个力F作用在其上点P处，F与OP的夹角为θ，由力学规定，力F对支点O的力矩是一个向量M，它的模是叉积模的几何意义：表示以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积。▎混合积MixedProduct已知三个向量a，b和c，数量(a×b)·c被称为这三个向量的混合积。向量混合积的几何意义：它是一个数，它的绝对值表示以向量a，b和c为棱的平行六面体的体积。方向导数和梯度▎方向导数

DirectionalDerivative方向导数∂u/∂l是指在一点M0处沿方向l，函数u(M)对距离的变化率。▎梯度Gradient梯度问题可以认为是将一维的斜度扩展到了三维的梯度。在向量微积分中，标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率，即方向导数最大值。在单变量的实值函数的情况，梯度只是导数，或者，对于一个线性函数，也就是线的斜率。梯度一词有时用于斜度，也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。可以通过取向量梯度和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。梯度运算的对象是标量，运算出来的结果会是向量。由梯度给出全微分：哈密尔顿算子和拉普拉斯算子▎哈密尔顿算子▽

HamiltonianOperator哈密尔顿算子的定义为：设u=u(x,

y,

z)，则：注意：u为标量场。设：注意：A为矢量场。则：此时，高斯公式和斯托克斯公式可分别写成：▎拉普拉斯算子LaplaceOperator其中：称之为拉普拉斯算子。散度▎散度Divergence散度的运算对象是向量，运算出来的结果是标量。散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从高斯公式里理解。散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）。散度的数学定义：在连续可微的矢量场A中，对于包含某一点(x,

y,

z)的小体积ΔV，其闭合曲面为S，定义矢量场A通过S的净通量与ΔV之比的极限：为矢量场A在该点的散度

(divergenceof

A)。环量和旋度▎环量Circulation环量的定义：设有矢量场A(M)，则沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分叫做次矢量按积分所取方向曲线l的环量。▎旋度Curl旋度的运算对象是向量，运算出来的结果是向量。旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从斯托克斯公式里理解。旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场。物质导数▎物质导数

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