Chap函数的数值逼近

第5章

函数的数值逼近刘东毅天津大学理学院数学系15:函数的数值逼近函数的数值逼近主要目的：

讨论函数的数值逼近的基本理论与方法最佳平方逼近函数的存在性、唯一性最佳平方逼近函数的求法讨论曲线拟合的最小二乘问题主要内容：正交多项式最佳平方逼近用正交多项式作函数的最佳平方逼近曲线拟合的最小二乘解25:函数的数值逼近5.1

正交多项式其中为权函数，则称此函数组为在区间[a,b]

上带权

的正交函数组,其中

Ak

为正数。若Ak=1,（k=0,1,2,…）称该函数组是标准正交的。定理5.1.1设函数组正交，则它们一定线性无关。1.正交函数组及其性质定义5.1.1设有C[a,b]中的函数组若满足35:函数的数值逼近设它们线性无关的充分必要条件是其Gram行列式其中定理5.1.245:函数的数值逼近设是线性无关的函数组,则由正交结构公式定理5.1.3得出的函数组是正交函数组,且与可互相线性表示.55:函数的数值逼近定义5.1.2给定区间

[a,b]和对应的权函数ρ(x)

及多项式序列其中首项系数2.正交多项式及其性质

2.1正交多项式定义若gk(x)

满足则称为在区间[a,b]上带权

ρ(x)

的正交多项式序列,gk(x)称为k次正交多项式.65:函数的数值逼近2.2正交多项式的性质

定理5.1.4n次正交多项式gn(x)与任意次数不超过n-1的多项式P(x)在区间[a,b]上带权ρ(x)

正交.定理5.1.5n次正交多项式gn(x)(n

1)的

n

个零点都是实的单零点,且都在区间(a,b)内.75:函数的数值逼近3.Legendre多项式

若区间[-1,1],权函数由{1,x,x2,…,xn,…}经正交化结构公式可得正交多项式族P0(x),P1(x),…,Pn(x),…,

称这族多项式为Legendre多项式。其标准形式为:85:函数的数值逼近

可以证明,Legendre多项式有下列递推关系：由上式可推出当n为偶数时,Legendre多项式Pn(x)为偶函数；当n为奇数时,Legendre多项式Pn(x)为奇函数。95:函数的数值逼近4.Chebyshev多项式

若取区间[-1,1],权函数为由{1,x,x2,…,xn

,…}经正交化结构公式可得一族Chebyshev多项式.其标准形式为:105:函数的数值逼近可以证明,Chebyshev

多项式有下列递推关系：

当n为偶数时,多项式

Tn(x)为偶函数；当n为奇数时,多项式

Tn(x)为奇函数.

Tn(x)在（-1,1）内有n个不同的零点

Tn(x)在[-1,1]上有n+1

个极值点

由上式可推出115:函数的数值逼近5.Hermite多项式

若取区间(-,+),权函数为。正交的一族Hermite多项式标准形式为:125:函数的数值逼近

可以证明,Hermite

多项式有下列递推关系：

由上式可推出：135:函数的数值逼近6.Laguerre多项式

若取区间(0,+),权函数为。正交的一族Laguerre（拉盖尔）多项式标准形式为:145:函数的数值逼近可以证明,Laguerre

多项式有下列递推关系：由上式可推出：155:函数的数值逼近5.2最佳平方逼近165:函数的数值逼近1.最佳平方逼近函数的概念当时，满足上式的称为f(x)的n

次最佳平方逼近多项式，简称n次最佳平方逼近。定义5.2.1设有f

∈C[a,b]及C[a,b]中的子集成立,则称S*(x)为f(x)在Φ中的最佳平方逼近函数。

其中线性无关。若存在使得=（5.2.1）175:函数的数值逼近2.最佳平方逼近的求法定理5.2.1对于任意的函数f∈C[a,b]，其在Φ中的最佳平方逼近函数S*(x)是存在且唯一的。证明：由于Φ中元素（函数）可以表示为，故求最佳平方逼近函数等价于求多元函数的最小值问题。

2.1最佳平方逼近的存在与唯一性185:函数的数值逼近由极值存在的必要条件有。

对求偏导数，我们可得到整理并写成C[a,b]空间中内积的形式，得。。(5.2.4)195:函数的数值逼近从而得到关于a0,a1,…,an的线性方程组即因为线性无关，所以上述方程组(5.2.5)的系数矩阵的行列式非零，故有唯一解。205:函数的数值逼近设

下面证明满足式（5.2.1），即要证明成立。由（2.5.4）知。又由于，所以有。这样，有215:函数的数值逼近=0于是，。这就证明了为在Ф中的最佳平方逼近函数。

下面我们看一看最佳平方逼近的几何意义225:函数的数值逼近2.2最佳平方逼近的几何意义可知，由与Φ中的所有函数都正交，与Φ中的所有元素均垂直，即S*为元素f在Φ中的正交投影。从几何意义上来讲如下图所示整个平面代表空间C[a,b]，这条水平线代表子空间Φ。235:函数的数值逼近2.3最佳平方逼近函数的平方误差由最佳平方逼近的几何意义知245:函数的数值逼近2.4最佳平方逼近的求法(4)计算平方误差(1)确定Φ，即确定S

*(x)的形式。(3)令，则S*(x)为最佳平方逼近函数。(2)解以a0,a1,...,an

为未知元的线性法方程组255:函数的数值逼近解：依题意，设一次最佳平方逼近多项式为所以a0,a1满足以下方程组例5.2.1

求函数f(x)=ex

在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式,并计算平方误差.即取265:函数的数值逼近通过计算得：275:函数的数值逼近得解得：所以由于是285:函数的数值逼近平方误差为：295:函数的数值逼近5.3用正交多项式作函数的最佳平方逼近其中应为下列方程组的解设在[a,b]上带权正交，则由上一节可知，f(x)的最佳平方逼近函数由正交性可将它化为？305:函数的数值逼近由正交性可将上式化为其解所以(5.3.2)315:函数的数值逼近

用Legendre多项式作

f(x)的最佳平方逼近因为{Pn(x)}在区间[-1,1]上正交且有(1)

若f(x)∈C[-1,1],由以上讨论,得：则。325:函数的数值逼近平方误差为：335:函数的数值逼近(2)

若f(x)∈C[a,b],由以上讨论作变换：则t∈[-1,1],那么按（1）的方法求F(t)在[-1,1]上的最佳平方逼近Sn

(t),再换回原变量x,得f(x)在[a,b]上的最佳平方逼近多项式.平方误差345:函数的数值逼近例5.3.1

求用Legendre多项式求f(x)=ex

在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式,

并计算平方误差解：则根据题意，再令其中令

355:函数的数值逼近所以

故于是由365:函数的数值逼近平方误差为375:函数的数值逼近5.4曲线拟合的最小二乘法5.4.1曲线拟合的最小二乘问题xkx0x1x2…xmyk=f(xk)y0y1y2…ym已知一组实验数据要求y=f(x)的近似表达式（经验公式）。从几何上来讲，就是求y=f(x)的一条近似曲线，故称曲线拟合问题。385:函数的数值逼近基于函数最佳平方逼近的原理，提出如下问题

令，，在C[a,b]中选定线性无关的函数。在中寻求一个函数(5.4.1)使S

*(x)与y=f(x)在上述m+1个点上的偏差(或称残差)满足395:函数的数值逼近其中，。(5.4.3)为所讨论区间[a,b]上的权函数，它表示不同(xi,yi)数据点的权重，满足式(5.4.2)的函数S

*(x)称为问题的最小二乘解（或称f(x)的离散形式的最佳平方逼近函数），求S

*(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。405:函数的数值逼近5.4.2最小二乘解的求法

要求问题的最小二乘解，首先需确定函数类Φ，为此需确定S

*(x)的形式。通常的做法是将数据(xi,yi)描绘在坐标纸上，依据这些数据点的分布规律确定此函数的具体形式。这也等于确定了函数类Φ。

其次是按式（5.4.2）求S

*(x)，即需要确定其系数。此问题转化为求下面的多元函数极值问题415:函数的数值逼近由极值存在的必要条件知，ak(k=0,1,…,n)应满足

即

或

(5.4.5)425:函数的数值逼近为了方便，规定离散形式的“内积”和“范数”：则(5.4.5)这是关于线性方程组。

(5.4.7)可写成435:函数的数值逼近线性方程组矩阵形式为称之为法方程（或正规方程）。系数矩阵是对称矩阵，其行列式记为Gn，按(5.4.6)定义的“内积”可证明线性无关的充要条件是行列式Gn不是零（证法与本章定理5.1.2类似，此处略）。由于线性无关，可知（5.4.8）有唯一解。于是有445:函数的数值逼近可以证明：S

*(x)确实使多元函数u达到最小，即S

*(x)为f(x)的最小二乘解。

定理5.4.1设线性无关，为(5.4.8)的解，则满足并且平方误差为。(5.4.9)

455:函数的数值逼近计算曲线拟合问题最小二乘解的步骤：1.首先需确定函数类Φ，即确定S

*(x)的形式。2.解以

a0,a1,...,an

为未知元的线性法方程组：3.计算平方误差

。求得。465:函数的数值逼近例5.4.1已知一组数据如下：xk00.250.500.751.00yk=f(xk)1.00001.28401.64872.11702.7183求问题的最小二乘解。解：(1)首先确定拟合函数类

。将上述数据描绘在坐标纸上，发现这些点近似一直线，由近似一条抛物线，故可用一次或二次多项式来拟合。475:函数的数值逼近485:函数的数值逼近(2)利用直线来拟合上述数据。

即在函数空间Φ=span{1,x}中寻找。此问题中，n=1，m=4，

0(x)=1，

1(x)=x。

(x)没有给出，则认为

(x)=1。从而a0*和a1*

满足法方程495:函数的数值逼近通过计算，有，，，，。505:函数的数值逼近得法方程组解得，。故。其平方误差。515:函数的数值逼近(3)用抛物线拟合上述数据。

即在函数空间

=span{1,x,x2}中寻找。在此问题中，n=2，m=4，

(x)=1。

0(x)=1,

1(x)=x，

2(x)=x2，其法方程为类似上面的讨论，在只需计算525:函数的数值逼近从而得方程组535:函数的数值逼近解得，，。故。平方误差为。由于的平方误差较小，所以用拟合上述数据较好。545:函数的数值逼近例5.4.2已知一组实验数据如下：xk1234y=f(xk)1.953.053.553.85求问题的最小二乘解。

解：(1)首先确定拟合函数类

。将上述数据描绘在坐标纸上，发现这些点近似一指数曲线，其图形如下。故选择要拟合的曲线为，555:函数的数值逼近565:函数的数值逼近其中a，b为待定常数。

。令