上海市重点名校2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

上海市重点名校2023-2024学年高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设a，b，c非零实数，且，则（）A. B.C. D.2．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1C.-3 D.33．已知双曲线的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为（）A. B.C. D.4．已知实数，满足不等式组，则的最小值为（）A2 B.3C.4 D.55．过椭圆+=1左焦点F1引直线交椭圆于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的周长是（）A.20 B.18C.10 D.166．在平面直角坐标系xOy中，过x轴上的点P分别向圆和圆引切线，记切线长分别为．则的最小值为（）A.2 B.3C.4 D.57．下列命题是真命题的个数为（）①不等式的解集为②不等式的解集为R③设，则④命题“若，则或”为真命题A1 B.2C.3 D.48．已知，，，则最小值是（）A.10 B.9C.8 D.79．设为直线上任意一点，过总能作圆的切线，则的最大值为（）A. B.1C. D.10．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则（）A. B.C. D.11．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝112．由1，2，3，4，5五个数组成没有重复数字的五位数，其中1与2不能相邻的排法总数为（）A.20 B.36C.60 D.72二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则__________.14．已知正四面体ABCD中，E，F分别是线段BC，AD的中点，点G是线段CD上靠近D的四等分点，则直线EF与AG所成角的余弦值为______15．函数y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a＝________.16．已知等比数列中，则q＝___三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）证明；（2）设，证明：若一定有零点，并判断零点的个数18．（12分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.①求的方程，并说明是什么图形；②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.19．（12分）已知等差数列的首项为2，公差为8.在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.20．（12分）在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.设数列的前项和为，且__________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.21．（12分）已知椭圆的两焦点为、，P为椭圆上一点，且（1）求此椭圆的方程；（2）若点P在第二象限，，求的面积22．（10分）已知是等差数列的前n项和，且，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】对于A、B、D：取特殊值否定结论；对于C：利用作差法证明.【详解】对于A：取符合已知条件，但是不成立.故A错误；对于B：取符合已知条件，但是，所以不成立.故B错误；对于C：因为，所以.故C正确；对于D：取符合已知条件，但是，所以不成立.故D错误；故选：C.2、B【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.3、B【解析】利用双曲线的实轴长为，求出，即可求出该双曲线的渐近线的斜率.【详解】由题意，，所以，，所以双曲线的渐近线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题.4、B【解析】画出可行域，找到最优解，得最值.【详解】画出不等式组对应的可行域如下：平行移动直线，当直线过点时，.故选：B.5、A【解析】根据椭圆的定义求得正确选项.【详解】依题意，根据椭圆的定义可知，三角形的周长为.故选：A6、D【解析】利用两点间的距离公式，将切线长的和转化为到两圆心的距离和，利用三点共线距离最小即可求解.详解】，圆心，半径，圆心，半径设点P，则，即到与两点距离之和的最小值，当、、三点共线时，的和最小，即的和最小值为.故选：D【点睛】本题考查了两点间的距离公式，需熟记公式，属于基础题.7、B【解析】举反例判断A，解一元二次不等式确定B，由导数的运算法则求导判断C，利用逆否命题判断D【详解】显然不是的解，A错；，B正确；，，C错；命题“若，则或”的逆否命题是：若且，则，是真命题，原命题也是真命题，D正确真命题个数2.故选：B8、B【解析】利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值【详解】∵，，，∴＝，当且仅当，即时等号成立故选：B9、D【解析】根据题意，判断点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系，即可求得的最大值.【详解】因为过过总能作圆的切线，故点在圆外或圆上，也即直线与圆相离或相切，则，即，解得，故的最大值为.故选：D.10、C【解析】对函数求导，利用导数的几何意义结合垂直关系计算作答.【详解】函数定义域为，求导得，于是得函数的图象在点处切线的斜率，而直线的斜率为，依题意，，即，解得，所以.故选：C11、D【解析】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.12、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4个位置上选2个排1，2.【详解】先排3，4，5,,共有种排法，然后在4个位置上选2个排列1,2，有种排法，则1与2不能相邻的排法总数为种，故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】根据线面平行列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以.故答案为：14、【解析】建立空间直角坐标系，令正四面体的棱长为，即可求出点的坐标，从而求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令正四面体的棱长为，则，所以，所以，所以，，，，，设，因为，所以，所以，所以，，设直线与所成角为，则故答案为：15、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或当a＝－3，b＝3时，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝416、3【解析】根据等比数列的性质求得，再根据等比数列的通项公式求得答案.【详解】等比数列中，故，，所以，故答案为：3三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析；（2）证明见解析，1个零点.【解析】(1)求导同分化简，构造新函数判断导数正负即可；(2)令g(x)＝0，化简方程，将问题转化为讨论方程解的个数问题.【小问1详解】,设，则，时，递减，时，递增，而，所以时，，所以；小问2详解】有零点，则有解，即有解，又，则只要，因为，方程可以化为，现在证明有解，令，则，可知在递减，在递增，所以，因为，所以，在内恒有，而在递增，当x＝时，h()＝，故根据零点存在性定理知在存在唯一零点.所以有且只有一个零点，所以有零点，有一个零点【点睛】本题关键是是将方程零点问题转化为方程解的问题，通过讨论单调性和最值（极值）的正负即可判断零点的有无和个数.18、（1）；（2）①，圆；②存在，.【解析】（1）设圆心，根据题意，得到半径，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；（2）①设，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到，代入圆的方程，即可得出结果；②假设存在一点满足（其中为常数），设，根据题意，得到，再由①，得到，两式联立化简整理，得到，推出，求解得出，即可得出结果.【详解】（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径.∵圆心到直线的距离，由，解得.故圆心为或，半径等于.∵圆与轴正半轴相切圆心只能为故圆的方程为；（2）①设，则：，，∵点A在圆上运动即：所以点的轨迹方程为，它是一个以为圆心，以为半径的圆；②假设存在一点满足（其中为常数）设，则：整理化简得：，∵在轨迹上，化简得：，所以整理得，解得：；存在满足题目条件.【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.19、（1）；（2）【解析】（1）由题意在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，可知的公差，进而可求出其通项公式；（2）根据题意可得，进而得到，再代入中得，利用错位相减即可求出前项和.【小问1详解】由于等差数列的公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则的公差，的首项和首项相同为2，则数列的通项公式为.【小问2详解】由于，是等比数列的前两项，且，，则，则等比数列的公比为3，则，即，.①.②.①减去②得..20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析【解析】（1）若选①：根据，利用数列通项与前n项和的关系求解；若选②：构造利用等比数列的定义求解；（2）根据（1）得到，再利用错位相减法求解.【小问1详解】解:若选①：，当时，，当时，满足上式，故若选②：易得于是数列是以为首项，2为公比的等比数列，【小问2详解】若选①：由（1）得，从而，，作差得，于是若选②由（1）得，从而，，作差得，于是21、（1）；（2）.【解析】（1）由题可得，根据椭圆的定义，求得，进而求得的值，即可求解；（2）由题可得直线方程为，联立椭圆方程可得点P，利用三角形的面积公式，即求.