一课一练 八年级数学上册13.3.2等边三角形2

【文库独家】拓展训练八年级数学上册13.3.2等边三角形（2）一．1.已知等腰三角形的一边长为6，一个外角为120°，则它的周长为()A.12B.15C.16D.182.如图13-3-2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，∠A=30°，那么下列说法中正确的是()AD=2BDB.AD=BDC.AD=3BDD.AD=4BD3.如图13-3-2-13，在等边△ABC中，D是AB的中点，DE∠AC于E，EF⊥BC于F．已知AB=8．则BF的长为()A.3B.4C.5D.64.如图13-3-2-17，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于()A.15°B.30°C.45°D.60°5.已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FC⊥AB于点G．当G与D重合时．AD的长是()A.3B.4C.8D.96.如图13-3-2-20，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有()A.1个B.2个C.3个D.3个以上二．1.如图13-3-2-14，已知∠AOB=30°，点P在OA上，且OP=2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ=.2.如图13-3-2-18，在等边△ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD=.三．1.如图13-3-2-15，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．2.如图13-3-2-16，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s．点N的速度为2cm/s.当点N第一次到达日点时，M、N同时停止运动．(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形AMN?(3)当点M，N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN?如果能，请求出此时M、N运动的时间；如果不能，请说明理由．3.如图13-3-2-19，点M、N分别在等边△ABC的边BC、CA上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．4.同学们知道：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．”(1)请写出这个命题的条件和结论；(2)若交换命题的条件和结论，得到的命题是真命题吗？若你的判断是真命题，请写出证明过程（要求画图，并写出已知，求证）；若是假命题，请说明理由．答案：一．1.D∵一个外角为120°．∴与这个外角相邻的内角为180°-120°=60°．又∵此三角形为等腰三角形，∴此三角形是等边三角形．∴周长为6×3=18.故选D．2.C∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴AB=2BC,∠B=60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°．∴BC=2BD．∴BD=AB，∴AD=AB,∴AD=3BD，故选C．3.C∵在等边△ABC中，D是AB的中点，AB=8,∴AD=4,AC=8,∠A=∠C=60°,∵DE⊥AC于E、EF⊥BC于F,∴∠AED=∠CFE=90°,∴∠ADE=∠CEF=30°．∴AE=AD=2,∴CE=8-2=6,∴CF=CE=3，∴BF=5，故选c．4.A∵等边三角形ABC中，AD⊥BC．∴BD=CD，所以AD垂直平分BC,∴点E在AD上．∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45°,∴∠ECB=45°,∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=150．故选A．5.C设AD=2x，∴△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．．．‘DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB于点G，且点G与D重合，∴∠ADF=∠DEC=∠EFC=90°,∴AE=x．∴CE=12-x,∴CF=6-，∴BF=6+，∴BD=3+，∵3++2x=12，∴x=4．∴AD=8．故选C.6.D如图所示，过点P分别作OA，OB的垂线，垂足分别为C．D．连接CD，则△PCD为等边三角形．在OC，DB上分别取M．N，使CM=DN，则△PCM≌△PDN，所以∠CPM=∠OPN．PM=PN，∴∠MPN=60°，则△PMN为等边三角形，因为满足CM=DN的M，N有无数个，所以满足题意的三角形有无数个．二．1.答案2解析如图，连接oQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，O曰垂直平分PQ，∴∠POB=∠QOB=30°，OP=OQ，∴∠POQ=60°，∴APOQ为等边三角形，∴PQ=P0=2．故答案为2．2.答案30°解析∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°,AB=AC.又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°.故答案是30°.三．1.解析△APQ为等边三角形，证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC．在△ABP与△ACQ中，∵，∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ.∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°．∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60°，∴△APQ是等边三角形．2.解析(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，则x×1+12=2x，解得x=12，故点M、N运动12秒后，M、N两点重合．(2)设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形AMN，如图①，此时AM=t×1=tcm,AN=AB-BN=(12-2t)cm,∵△AMN是等边三角形，∴t=12-2t，解得t=4,∴点M、N运动4秒后，可得到等边△AMN.(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形AMN.由(1)知，12秒时M、N两点重合，恰好在C处，∴超过12秒后,M、N都在BC上，且N更靠近B，如图②，假设△AMN是以MN为底边的等腰三角形，则AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB,∵AB=AC，∴∠C=∠B．在△ACM和△ABN中，，∵△ACM≌△ABN0．CM=BN．此时，设M、N运动的时间为y秒，则CM=（y-12）cm，NB=(36-2，，)cm，∴y一12=36-2），，解得y=16．故假设成立．∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．3.证明∵△ABC为等边三角形．∴AB=BC,∠ABM=∠NCB=60°.在△ABM和△BCN中，,∴△ABM≌△BCN(SAS)，∵∠BAM=∠NBC.在△ABQ中，∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠NBC+∠ABN=∠ABC=60°.4.解析(1)条件：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，结论：那么这条直角边所对的锐角等于30°.(2)在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．得到的命题是真命题．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=30°．∠ACB=90°.求证：BC=AB，证法一：如图1所示，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，易证AD=AB．∠BAD=60°．∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD，∴BC=CD，∴BC=AB．证法二：如图2所示，取AB的中点D，连接DC，有CD=AB=AD=DB，∴∠DCA