1.1.2-集合的表示方法-图文

1.1.2

集

合

的

表

示

方

法山东世纪金榜书业有限公司世

纪金磅世纪金确一

、

复

习

回

顾

：1、

元素与集合的关系：2

、

集合中

的元素特征：3

、常用数集的记

法

：4、

集合

的

分

类：山东世纪金榜书业有限公司思考

1

怎样表示“

方

程x²-5x=0在实数内解

的全体

”组

成

的集

合C?解答：可以这样表示：

C={0,5}.像这样把集合的元素一一列举出来，并用花括号“

{}”括起来表示集合的看法叫做列举法.思考2

怎样用列举法来表示“由大于3小于10的整

数

组

成的

集

合”

?解答

：{4,5,

6,7,8,9}.金媒伽敬学课佛Multimedia

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Teaching山东世纪金榜书业有限公司金媒伽敬学课弹Multimedia

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Teaching列举法的优点与适应范围：(1)优点：可以明确集合中具体的元素及元素的个数.(2

)

使

用

列

举

法

必

须

注

意

：①元素间用“,”分隔.②集合中的元素必须满足三个特性.③

元素不能遗漏.④适用范围：i.含有有限个元素且个数较少的集合.ii.有些集合的元素较多，元素的排列又呈现山东世纪金榜书业有限公司一定的规律，在不致于发生误解的情况下，

也可

以列

出几个元素作

为

代

表，其

他

元

素

用省略号

表

示.例如：

不

大

于1

0

0的自然数

构

成的

集

合

可

表

示

为{0,1,2,3,…,100}iii.无限集有时也可用上述的列举法表示.例如：自然数

集N

可

表

示

为{

0

,1

,

2

,

3

,

…

,n,…}.金螺做敬等课佛山东世纪

金

榜书

业

有限

公同柴

.

染·杂

.张·

杂.

杂

·

染

。思考3

能不能用列举法表示“由大于3小于10的实数组成的

集

合”

?解答：我们不能用列举法来表示大于3小于10的实数组成的集合，

因为这个集合的元素是列举不完的，而元素的排

列又不呈现明显的规律.金螺做敬等课佛

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Teaching山东世纪金榜书业有限公同对于元素较多的集合或者根本就不能将元素一一列

举的集合用“描述法”来表示就显得简洁明了。金媒伽敬学课弹Multimedia

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Teaching东世纪金榜书业有限公司金壤体敬学课件

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Teaching2、

描述法：定

义

：

把集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法

。一般地，如果在集合I中，属于集合A

的任意一个元素都具有性质p(x),

而不属于集合A的元素都不具有性质p(x),

则性质p(x)

叫做集合A的一个特征性质，故，集合A可以用它的特征性质p(x)描述为A={x∈I|p(x)}山东世纪金榜书业有限公司注意：在不致发生误解时，

x的取值集合可以省略不写.例如，在实数集R中取值“∈R”常常省略不写，像上述

集合也可以写作{x|3<x<10}.山东世纪金榜书业有限公同金螺做敬等课拌

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Teaching大于3小于10的实数组成的集合可表示为：所有元素所共有的“特征

性

质

”{(x

∈R

3<x<10

)

}代

表

元

素描述

法的

一

般

形式

为

：{x∈I|p(x)}x为该集合的代表元素p(x)表示该集合中的元素x

所具有的性质复媒伽敬学课弹Multimedia

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Teaching山东世纪金榜书业有限公司毫螺体敬学课豫

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Teaching说

明：用描述法表示集合时，要注意以下几点：(1)

写

清

楚

该

集

合

中

元

素

的

代

表

符

号(

2

)

特

征

性

质

必

须

是

明

确

的

；(3

)

不

能

出

现

未

被

说

明

的

字

母(4)多层描述

时应

当

准确

使

用“且

”、

“

或

”(5)所有描述

的

内容都

要

写

在

花

括

号

内

，

语

言

力

求

简

明

、

准

确(6)

若

元

素

范

围

为R,,“∈R”可以省略不写；(7)有的集合可以直接写出元素名称，并用{}

括起来表示这类元素的全体，如{实数}山东世纪金榜书业有限公司课

堂

训

练例1

用

列

举

法

表

示

下

列

集

合

：(1)A={x∈N|0<x≤5};(2)B={x|x²-5x+6=0}.[

分

析

]

对

于(

1

)

集

合A

中“x∈N”且“0<x

≤5”共集

合元素的

属

性，而(

2

)中所求的也即

是

方

程

解

方

程

即

得

.解：

(1)A={1,2,3,4,5};(2)B={2,3}.同

限制

了的

解

集

，复媒体敬学魂弹山

东世

纪

金

榜

书

业

有

限

公

司(2)由小于8的所有素数组成的集合.{2,3,5,7}(3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合.{(1,4)}练习：

用

列

举

法

表

示

下

列

集

合

：(

1

)由x²-9=0方程的所有实数根组成的集合.{3,-3}金媒伽敬学课佛Multimedia

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Teaching东世纪金榜书业有限公司例

2

用描述

法

表

示

下

列

集

合：(1){-1,1};(2)大

于

3

的

全

体

偶

数

构

成

的

集

合；(

3

)

在

平

面

a内

，

线

段AB的

垂

直

平

分

线

.分析：对于用描述法表示的集合，要从本质上去认识它，看清集合的“代表元素”,判断出我们要研究的集合元素所共有的“特征性质”.山东世纪金榜书业有限公同复媒体敬学魂弹

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Teaching解：(1)这个集合的一个特征性质可以描述为绝对值等于1的实数，

即

|x|=1

于是这个集合可以表示为{x||x|=1}.(2)这个集合的一个特征性质可以描述为x>3,

且x=2n,n∈N.于是这个集合可以表示为{x|x>3,且x=2n,n∈N}.复媒体敬学魂弹

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Teaching山东世纪金榜书业有限公同(3

)

设

点P为

线

段AB的垂直平分线上任

一点，点P和线

段AB都

在

平

面

a内，

则

这

个集合的特征性质可以描述为PA=PB于是这个集合可以表示为{点P∈平面

a|PA=PB}.在几何中，通常用大写字母表示点

(

元

素

)

,

用

小写字母表示点的集合，

应注意区别.复媒体敬学课弹

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Teaching山东世纪金榜书业有限公同技巧点拨：使用描述法时，还应注意以下几点：①写清集合中代表元素的符号，如实数或实数对或点的坐标表示

；②说明该集合中元素具有的特征性质，

如方程、不等式、函

数③描述法的语言形式主要有两种：

文字语言和符号语言，如表示直角坐标轴上的点的集合.文字语言：

{点P|P是直角坐标轴上的点};符号语言：

{

(x,y)|xy=0}.复媒体敬学魂弹

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Teaching山东世纪金榜书业有限公同复媒伽敬学课弹

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Teaching练习：用

描

述

法

表

示下

列

给

定的

集

合

：(

1)

不

等

式4x—5<3

的解集

.{x

|x<2

}(2)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合.{y

l

y≥-4(3)反

比

例

函

数的自变量的值组成的集合.{x

l

x≠0}(4

)不等式

3x

≥4-2

x

的解集.山东世纪金榜书业有限公司例3用适当的方法表示下列集合：(1

)比

4

大

2

的

数

；(2)方程x²+y²-4x+6y+13=0的解集；(3

)

不

等

式x—2>3的解的集合；(4)二次函数y=x²-1图象上所有点组成的集合.金媒伽敬学课弹Multimedia

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Teaching山东世纪金榜书业有限公司分析：由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合.对于(1),比4大2的数就是6,宜用列举法；对于(2),方程为二元二次方程，可将

方程左边因式分解后求解，

宜用列举法；对于(3),不等

式的解有无数个，宜采用描述法；对于(4),所给二次函数图象上的点有无数个，

宜采用描述法.复媒体敬学魂弹

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Teaching山东世纪金榜书业有限公同解

：(

1

)比

4大

2

的

数

显

然

是

6

,

故

可

表

示

为{

6

}

.(

2

)

方

程x²+y²-4x+6y+13=0可化

为(x-2)²+(y+3)²=0,,

∴

方

程

的

解

集

为

(

}

或

{

(

2

,

-3)}.(

3

)由x-2>3,

得x>5.故

不

等式的

解

集

为{x|x>5}.(

4

)

“

二

次

函

数y=x²-1

的图象上的点”

用

描

述法表示为

{(x,y)ly=x²-1}.金螺做敬等课佛山

东世

纪

金

榜

书

业

有

限

公

同规律总结：

用什么方法表示集合，

要具体问题具体分析：(1)列举法对于元素较少的集合可以一目了然，方便快捷，但元素较

多

时就

不

太

方

便

了

.(2)用描述法表示集合

，

首

先

应

弄

清

楚

集

合

的

类

型

，

是数集、点集还是其

他

的

类

型

.

描

述

法

多

用

于

元

素

个

数

无限

的

集

合

.金媒伽敬学课佛Multimedia

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Teaching东世纪金榜书业有限公司

练

三3.

用

适当的

方

法

表

示下

列

集

合

：(1

)

二

元

二

次

方

程

组

的集合；(2)大于4的全体奇数组成的集合；

(3)A={(x,y)|x+y=3,x∈N,y∈N};(4)一次函数y=2x+1图象上所有点组成的集合.毫螺体敬学课件Multimedia

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Teaching山东世纪金榜书业有限公司解：(

1

)

列

举法

：{(

0

,

0

)

,(1,1)};(

2

)

描

述

法

：{x|x=2k+1,k≥2,k∈N};(

3

)

列

举

法

：因

为

x∈N,y∈N,x+y=3,所以

或

或所以A={(0,3),

(1,2),

(2,1),

(3,0)};(

4

)

描

述法

：{

(x,y)ly=2x+1}.复媒体敬学课弹山

东世

纪

金

榜

书

业

有

限

公

同下列

说

法：(1)集合{x∈N|x³=x}用列举法表示为{-1,0,1};(2)实数集可以表示为{x|x

为所有实数}或{R};(3

)

方

程组

的解集为

{x=1,y=2}.其中正确的有(

)A.3个

B.2

个C.1

个

D.0

个毫媒体敬学课弹

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Teaching东世纪金榜书业有限公司练

习【分析】对于用描述法表示集合，

一清楚符号“{x|x的属性}”表示的是所有具有某种属性的x的全体，

而不是部分；

二从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么.解：(1)由x³=x,即x(x²-1)=0,得x=0或x=1或x=-1,因

为

-

1

4

N,故集合{x

∈N|x³=x}

用列举法表示为{0,1}.(2)集合表示中的符号“{

}”已包含“所有”、“全体”等含义，而符号“R”表示所有的实数构成的集合，实数集正确的表示应为{x|x

为实数}或R.金螺做敬等课佛

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Teaching山东世纪金榜书业有限公同(

3

)

方

程

组

的解是有序实数对，而集合{x=1,y=2}表示由两个等式组成的集合，方程组的解集正确的表