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文档简介
专题7.1锐角的三角函数【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1锐角的三角函数概念辨析】 1【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】 2【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】 4【题型4根据锐角的三角函数值求边长】 5【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】 6【题型6求特殊角的三角函数值】 7【题型7同角的三角函数值的证明或求值】 8【题型8互余两角的三角函数关系的计算】 8【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】 9【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】 10【知识点1锐角三角函数】在中,,则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)【知识点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【题型1锐角的三角函数概念辨析】【例1】(2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中)在△ABC中,∠C=90°,BCAB=3A.cosA=35 B.sinB=35 C.tanA=43 D.【变式1-1】(2022·上海·九年级单元测试)如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠A≠45°,则下列比值中不等于cosBA.CDAC B.BDCB C.CDCB【变式1-2】(2022·全国·九年级课时练习)在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列结论正确的是()A.b=a•sinA B.b=a•tanA C.c=a•sinA D.a=c•cosB【变式1-3】(2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习)图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,点A、点B和点C在小正方形的顶点上.请在图①、图②中各画一个图形,满足以下要求:(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE,点E在小正方形的顶点上,且此四边形有两组对边相等.(2)在图②中以AB为边画△ABD,使tan∠ADB=【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】【例2】(2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习)如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=5,点E在DC上,将矩形ABCD沿AE折叠,点D恰好落在BC边上的点F处,那么sin∠EFC的值为().A.13 B.45 C.23【变式2-1】(2022·河南南阳·九年级期末)如图,在菱形ABCD中,DE⊥AB,cosA=35,BE=2,则tanA.12 B.2 C.52 【变式2-2】(2022·广东·惠州一中二模)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=6,BC=8,点D为BC的中点,DE⊥AB于点E,则cos∠BDE的值等于(
A.52 B.53 C.23【变式2-3】(2022·全国·九年级专题练习)如图,在长方形ABCD中,AB=5,AD=3,点E在AB上,点F在BC上.若AE=2,CF=1,则sin∠1+∠2=(A.12 B.22 C.32【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例3】(2022·浙江·九年级专题练习)如图,A,B,C,D均为网格图中的格点,线段AB与CD相交于点P,则∠APD的正切值为(
)A.3 B.2 C.22 D.3【变式3-1】(2022·江苏·九年级专题练习)如图所示,在Rt△ABC中,斜边AB=3,BC=1,点D在AB上,且BDAD=13A.13 B.1 C.223【变式3-2】(2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中)如图,将△ABC沿着CE翻折,使点A落在点D处,CD与AB交于点F,恰好有CE=CF,若DF=42,AF=12,则tan∠CEF=___.【变式3-3】(2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在AB的延长线上,连接CD,若AB=2BD,tan∠BCD=12,则ACBC的值为【题型4根据锐角的三角函数值求边长】【例4】(2022·全国·九年级课时练习)如图,等腰Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD为△ABC的角平分线,若CD=2,则AB的长为(
)A.3 B.22+2 C.4 【变式4-1】(2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题)如图,菱形ABCD中,AB=23,∠ABC=60°,矩形BEFG的边EF经过点C,且点G在边AD上,若BG=4,则BE的长为()A.32 B.332 C.【变式4-2】(2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习)如图,在△ABC中,AB=AC.点D在△ABC内部,AD⊥CD,且∠ADB【变式4-3】(2022·安徽·九年级专题练习)如图,△ABC≌△ABD,点E在边AB上,CE∥BD,连接(1)求证:四边形BCED是菱形.(2)已知点F为BC中点,过点F作GF⊥BC交AB于点G,BG=5,cos∠ABC=0.6,请直接写出BE【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】【例5】(2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末)已知△ABC中,点D为BC边上一点,则下列四个说法中,一定正确的有(
)①连接AD,若D为BC中点,且AD平分∠BAC,则AB=AC;②若∠BAC=90°,且BC=2AC,则∠B=30°;③若∠B=30°,且BC=2AC,则∠BAC=90°;④若AB=BC,∠C=60°,且AD平分∠BAC,则△ABC的重心在AD上.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式5-1】(2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模)在△ABC中,若,sinB−12【变式5-2】(2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模)若菱形的周长为82,高为2,则菱形两邻角的度数比为(
A.6:1 B.5:1 C.4:1 D.3:1【变式5-3】(2022·山东日照·三模)如图,直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点,动点P在线段AB上,动点Q在线段OA上,连接OP,且满足∠BOP=∠OQP,则当【题型6求特殊角的三角函数值】【例6】(2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习)由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan∠ABC=(
)A.13 B.12 C.33【变式6-1】(2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测)计算:(1)3tan(2)cos2【变式6-2】(2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,若∠A=60°,AC=6,则sin∠ABC【变式6-3】(2022·河南·油田十中九年级阶段练习)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上,则∠AOB的正切值是______.
【题型7同角的三角函数值的证明或求值】【例7】(2022·全国·九年级课时练习)下列结论中(其中α,β均为锐角),正确的是___________.(填序号)①sin2α+cos2α=1;②cos2α=2cos【变式7-1】(2022·江苏·镇江市外国语学校一模)已知sinα⋅cosα=18【变式7-2】(2022·福建莆田·一模)求证:若α为锐角,则sin2α+cos2α=1.要求:①如图,锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边,α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹,不写作法)②根据①中所画图形证明该命题.【变式7-3】(2022·全国·九年级课时练习)已知sinα,cosα为方程x2【题型8互余两角的三角函数关系的计算】【例8】(2022·全国·九年级课时练习)在△ABC中,∠C=90°,sinA=35,则sinB等于(
A.25 B.35 C.45【变式8-1】(2022·全国·九年级单元测试)若α为锐角,且cosα=1213A.513 B.1213 C.512【变式8-2】(2022·全国·九年级专题练习)已知α,β都是锐角,且α+β=90°,sinα+cosβ=【变式8-3】(2022·福建·龙海二中九年级阶段练习)李华在作业中得到如下结果:tantantantantan根据以上,李华猜想:对于任意锐角α,均有tan(1)当α=30°时,验证tanα⋅(2)李华的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.(3)小明发现一次函数解析式中的k值(一次项系数的值)其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角的正切值,已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直,l1:y1=k1x+b1,l2【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】【例9】(2022·福建省泉州实验中学九年级期中)三角函数sin40°、cos16°、A.tan50°>cos16°>C.cos16°>tan50°>【变式9-1】(2022·浙江·九年级专题练习)已知△ABC是锐角三角形,若AB>AC,则()A.sinA<sinB B.sinB<sinC【变式9-2】(2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习)已知32<cosA.30°<A<B B.60°<A<B C.B<A<60° D.B<A<30°【变式9-3】(2022·全国·九年级课时练习)如图,梯子地面的夹角为∠A,关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系,下列叙述正确的是(
)A.sinAB.cosAC.梯子的长度决定倾斜程度D.梯子倾斜程度与∠A的函数值无关【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】【例10】(2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模)如图1,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC=102cm,D为AB边上一点,tan∠ACD=15,点P由C点出发,以2cm/s的速度向终点B运动,连接PD,将PD绕点D逆时针旋转90°,得到线段DQ,连接PQ(1)填空:BC=,BD=;(2)点P运动几秒,DQ最短;(3)如图2,当Q点运动到直线AB下方时,连接BQ,若S△BDQ=8,求tan∠BDQ;(4)在点P运动过程中,若∠BPQ=15°,请直接写出BP的长.【变式10-1】(2022·黑龙江佳木斯·三模)如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标是(0,−1),点A1,A2,A3,A4,A5…所在直线与x轴交于点B0(−2,0),点B1,B2,B3,B4…都在【变式10-2】(2022·广东深圳·九年级期末)如图1,分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF,点G是AC的中点,连接DG、BF.(1)求证:ΔADG∽ΔABF;(2)如图2,若∠BAC=90°,AB=22,AC=32,求(3)如图3,以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE,连接EG,试探究线段DG、EG的关系,并加以证明.【变式10-3】(2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模)(1)【问题情境】数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,直线MN经过点C,AE⊥MN,垂足为E,BF⊥MN,垂足为F,则AE与CF
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