专题7.1锐角的三角函数（举一反三）（苏科版）（原卷版）

专题7.1锐角的三角函数【十大题型】【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1锐角的三角函数概念辨析】 1【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】 2【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】 4【题型4根据锐角的三角函数值求边长】 5【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】 6【题型6求特殊角的三角函数值】 7【题型7同角的三角函数值的证明或求值】 8【题型8互余两角的三角函数关系的计算】 8【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】 9【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】 10【知识点1锐角三角函数】在中，，则的三角函数为定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)【知识点2特殊角的三角函数值】三角函数30°45°60°1【题型1锐角的三角函数概念辨析】【例1】（2022·广东·佛山市南海区金石实验中学九年级期中）在△ABC中，∠C＝90°，BCAB=3A．cosA＝35 B．sinB＝35 C．tanA＝43 D．【变式1-1】（2022·上海·九年级单元测试）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosBA．CDAC B．BDCB C．CDCB【变式1-2】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（）A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB【变式1-3】（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校九年级阶段练习）图①、图②是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、点B和点C在小正方形的顶点上.请在图①、图②中各画一个图形，满足以下要求：(1)在图①中以AB和BC为边画四边形ABCE，点E在小正方形的顶点上，且此四边形有两组对边相等．(2)在图②中以AB为边画△ABD，使tan∠ADB=【题型2直接根据定义求锐角的三角函数值】【例2】（2022·山东·肥城市湖屯镇初级中学九年级阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么sin∠EFC的值为()．A．13 B．45 C．23【变式2-1】（2022·河南南阳·九年级期末）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=35，BE＝2，则tanA．12 B．2 C．52 【变式2-2】（2022·广东·惠州一中二模）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=6,BC=8，点D为BC的中点，DE⊥AB于点E，则cos∠BDE的值等于（

A．52 B．53 C．23【变式2-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=5，AD=3，点E在AB上，点F在BC上．若AE=2，CF=1，则sin∠1+∠2=（A．12 B．22 C．32【题型3构造直角三角形求锐角的三角函数值】【例3】（2022·浙江·九年级专题练习）如图，A，B，C，D均为网格图中的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为（

）A．3 B．2 C．22 D．3【变式3-1】（2022·江苏·九年级专题练习）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDAD=13A．13 B．1 C．223【变式3-2】（2022·浙江·宁波市兴宁中学九年级期中）如图，将△ABC沿着CE翻折，使点A落在点D处，CD与AB交于点F，恰好有CE＝CF，若DF＝42，AF＝12，则tan∠CEF＝___．【变式3-3】（2022·江苏·阳山中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝12，则ACBC的值为【题型4根据锐角的三角函数值求边长】【例4】（2022·全国·九年级课时练习）如图，等腰Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD为△ABC的角平分线，若CD=2，则AB的长为（

）A．3 B．22+2 C．4 【变式4-1】（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，菱形ABCD中，AB＝23，∠ABC＝60°，矩形BEFG的边EF经过点C，且点G在边AD上，若BG＝4，则BE的长为（）A．32 B．332 C．【变式4-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC．点D在△ABC内部，AD⊥CD，且∠ADB【变式4-3】（2022·安徽·九年级专题练习）如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接(1)求证：四边形BCED是菱形．(2)已知点F为BC中点，过点F作GF⊥BC交AB于点G，BG=5，cos∠ABC=0.6，请直接写出BE【题型5根据特殊角的三角函数值求角的度数】【例5】（2022·安徽·桐城市第二中学九年级期末）已知△ABC中，点D为BC边上一点，则下列四个说法中，一定正确的有（

）①连接AD，若D为BC中点，且AD平分∠BAC，则AB=AC；②若∠BAC=90°，且BC=2AC，则∠B=30°；③若∠B=30°，且BC=2AC，则∠BAC=90°；④若AB=BC，∠C=60°，且AD平分∠BAC，则△ABC的重心在AD上．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式5-1】（2022·黑龙江·绥棱县克音河乡学校一模）在△ABC中，若，sinB−12【变式5-2】（2022·湖南·长沙市雅礼实验中学二模）若菱形的周长为82，高为2，则菱形两邻角的度数比为（

A．6：1 B．5：1 C．4：1 D．3：1【变式5-3】（2022·山东日照·三模）如图，直线AB=−33x+3与坐标轴相交于A、B两点，动点P在线段AB上，动点Q在线段OA上，连接OP，且满足∠BOP=∠OQP，则当【题型6求特殊角的三角函数值】【例6】（2022·广东·东莞市东华初级中学九年级阶段练习）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．33【变式6-1】（2022·广东·深圳市龙华区丹堤实验学校模拟预测）计算：(1)3tan(2)cos2【变式6-2】（2022·江苏·涟水县麻垛中学九年级阶段练习）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若∠A＝60°，AC＝6，则sin∠ABC【变式6-3】（2022·河南·油田十中九年级阶段练习）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正切值是______．

【题型7同角的三角函数值的证明或求值】【例7】（2022·全国·九年级课时练习）下列结论中（其中α，β均为锐角），正确的是___________．（填序号）①sin2α+cos2α=1；②cos2α=2cos【变式7-1】（2022·江苏·镇江市外国语学校一模）已知sinα⋅cosα=18【变式7-2】（2022·福建莆田·一模）求证：若α为锐角，则sin2α+cos2α＝1．要求：①如图，锐角α和线段m用尺规作出一个以线段m为直角边，α为内角的Rt△ABC保留作图痕迹，不写作法）②根据①中所画图形证明该命题．【变式7-3】（2022·全国·九年级课时练习）已知sinα，cosα为方程x2【题型8互余两角的三角函数关系的计算】【例8】（2022·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于(

A．25 B．35 C．45【变式8-1】（2022·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝1213A．513 B．1213 C．512【变式8-2】（2022·全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα+cosβ=【变式8-3】（2022·福建·龙海二中九年级阶段练习）李华在作业中得到如下结果：tantantantantan根据以上，李华猜想：对于任意锐角α，均有tan（1）当α=30°时，验证tanα⋅（2）李华的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．（3）小明发现一次函数解析式中的k值（一次项系数的值）其实就是该一次函数图像与x轴所形成的夹角的正切值，已知平面直角坐标系中有两条直线互相垂直，l1：y1=k1x+b1，l2【题型9利用增减性判断三角函数的取值范围】【例9】（2022·福建省泉州实验中学九年级期中）三角函数sin40°、cos16°、A．tan50°>cos16°>C．cos16°>tan50°>【变式9-1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知△ABC是锐角三角形，若AB>AC，则（）A．sinA<sinB B．sinB<sinC【变式9-2】（2022·四川·西昌市俊波学校九年级阶段练习）已知32<cosA．30°<A<B B．60°<A<B C．B<A<60° D．B<A<30°【变式9-3】（2022·全国·九年级课时练习）如图，梯子地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间的关系，下列叙述正确的是（

）A．sinAB．cosAC．梯子的长度决定倾斜程度D．梯子倾斜程度与∠A的函数值无关【题型10三角函数在等腰直角三角形中的应用】【例10】（2022·河北·顺平县腰山镇第一初级中学一模）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝102cm，D为AB边上一点，tan∠ACD＝15，点P由C点出发，以2cm/s的速度向终点B运动，连接PD，将PD绕点D逆时针旋转90°，得到线段DQ，连接PQ(1)填空：BC＝，BD＝；(2)点P运动几秒，DQ最短；(3)如图2，当Q点运动到直线AB下方时，连接BQ，若S△BDQ＝8，求tan∠BDQ；(4)在点P运动过程中，若∠BPQ＝15°，请直接写出BP的长．【变式10-1】（2022·黑龙江佳木斯·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标是(0,−1)，点A1，A2，A3，A4，A5…所在直线与x轴交于点B0(−2,0)，点B1，B2，B3，B4…都在【变式10-2】（2022·广东深圳·九年级期末）如图1，分别以ΔABC的AB、AC为斜边间外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACF，点G是AC的中点，连接DG、BF．（1）求证：ΔADG∽ΔABF；（2）如图2，若∠BAC=90°，AB=22，AC=32，求（3）如图3，以ΔABC的BC边为斜边问外作等腰直角三角形BCE，连接EG，试探究线段DG、EG的关系，并加以证明．【变式10-3】（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校一模）（1）【问题情境】数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线MN经过点C，AE⊥MN，垂足为E，BF⊥MN，垂足为F，则AE与CF