浙江省温州市沙城中学高三数学文上学期摸底试题含解析

浙江省温州市沙城中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设全集U是实数集R，M={x|x＜﹣2或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，则图中阴影部分所表示的集合是(

)A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|x＜2}参考答案：C【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【专题】计算题．【分析】由韦恩图表示集合的方法，分析图形中表示的阴影部分表示的几何意义，我们不难分析出阴影部分表示集合（CUM）∩N，然后结合M={x|x＜﹣2或x＞2}，N={x|x2﹣4x+3＜0}，我们不难求出阴影部分所表示的集合．【解答】解：由图知，阴影部分表示集合（CUM）∩N，由于M={x|x＜﹣2或x＞2}，∴CUM={x|﹣2≤x≤2}，N={x|1＜x＜3}，所以（CUM）∩N={x|1＜x≤2}．故选C【点评】韦恩图是分析集合关系时，最常借助的工具，其特点是直观，要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合，要先分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．2.已知f（x）=x﹣sinx，命题p：?x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0C．p是真命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0参考答案：A【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：f（x）=x﹣sinx，x∈（0，），f′（x）=1﹣cosx＞0，∴f（x）是（0，）上是增函数，∵f（0）=0，∴f（x）＞0，∴命题p：?x∈（0，），f（x）＜0是假命题，￢p：?x∈（0，），f（x）≥0，故选：A．3.设点O是边长为1的正△ABC的中心（如图所示），则（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】平面向量数量积的运算．F3

【答案解析】D

解析：因为点O是边长为1的等边△ABC的中心，D为BC的中点，两两夹角为120°．所以==．所以（）?（）==+++==﹣．故选D．【思路点拨】由题意求出的长度，推出夹角大小，直接利用向量的数量积求解即可．4.设函数的反函数为y＝g(x)，若，则a等于()A．－2

B．

C.

D．2参考答案：C略5.已知锐角α的终边上一点P（sin40°，1+cos40°），则α等于(

)A．10°B．20°C．70°D．80°参考答案：C考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由题意求出PO的斜率，利用二倍角公式化简，通过角为锐角求出角的大小即可．解答： 解：由题意可知sin40°＞0，1+cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα===cot20°=tan70°，由α为锐角，可知α为70°．故选C．点评：本题考查直线的斜率公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．6.问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会.方法：Ⅰ.随机抽样法

Ⅱ.系统抽样法

Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是（

）A．①Ⅰ，②Ⅱ

B．①Ⅲ，②Ⅰ

C．①Ⅱ，②Ⅲ

D．①Ⅲ，②Ⅱ参考答案：B7.已知函数，若数列满足，且是递减数列，则实数的取值范围是(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：C8.由曲线，直线所围成的平面图形的面积为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（）A． B． C． D．参考答案：C考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

专题： 三角函数的求值．分析： 利用两角和的正弦函数对解析式进行化简，由所得到的图象关于y轴对称，根据对称轴方程求出φ的最小值．解答： 解：函数f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）的图象向右平移φ的单位，所得图象是函数y=sin（2x+﹣2φ），图象关于y轴对称，可得﹣2φ=kπ+，即φ=﹣，当k=﹣1时，φ的最小正值是．故选：C．点评： 本题考查三角函数的图象变换，考查正弦函数图象的特点，属于基础题．10.已知的矩形ABCD，沿对角形BD将折起得到三棱锥C—ABD，且三棱锥的体积为则异面直线BC与AD所成角的余弦值为(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为

参考答案：。由已知得，解得，高，所以。12.a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2＝1，则a﹣b＜1；②若＝1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb＝1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb＝1，则a﹣b＜1．其中真命题的有

．参考答案：①③①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2-b2=（a+b）（a-b）=1，所以a-b＜1，故①正确．②中＝=1,只需a-b=ab即可，取a=2，b=,满足上式但a-b=>1故②错；

③构造函数y=x-ex，x＞0，y′=1-ex＜0，函数单调递减，∵ea-eb=1，∴a＞b，∴a-ea＜b-eb，

∴a-b＜ea-eb=1，故③正确；④若lna-lnb=1，则a=e，b=1，a-b=e-1＞1，故④不正确．故答案为：①③．

13.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92，如果学号为1号到30号的同学平均成绩为90，则学号为31号到50号同学的平均成绩为

．参考答案：95由题意得14.设变量、满足约束条件，则的最小值为

参考答案：答案：

15.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是

.

（第6题图）11

11

参考答案：600略16.（13分）已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点F1，F2在x轴上，离心率为，点Q在椭圆C上且满足条件：=2，–2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设A、B为椭圆上不同的两点，且满足OA⊥OB，若(∈R)且，试问：是否为定值．若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由。参考答案：解析：（Ⅰ）设椭圆方程为，∵e=，∴a=2c∴，．又–2

∴cos∠F1QF2=．由|F1F2|2=|QF1|2+|QF2|2–2|QF|·|QF2|cos∠F1QF2得a=2，c=1，b2=3∴椭圆C的方程为．

……5分（Ⅱ）依题意可知，点M为由点O向直线AB所作的垂线的垂足．设A(x1，y1)，B(x2，y2)（1）当x1=x2时，直线OA、OB的斜率分别为±1，解方程组得x=±．∴．

……6分（2）当x1≠x2时，设AB的直线方程为：y=kx+m，代入得(3+4k2)x2+8mkx+4m2–12=0x1+x2=，x1·x2=

……8分∵，∴=∴7m2=12(k2+1)

∴

……11分又∵．综上所述．

……13分17.已知函数（其中，，)的部分图象如下图所示,如果对函数g(x)的图像进行如下变化:横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，也可得到f(x)函数的图像，则函数g(x)的解析式是

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）已知椭圆C2：=1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…解得：，所以抛物线C1的方程为：y2=8x…（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，∵椭圆C2的离心率为，∴，，∴椭圆C2的方程为：…设A（x1，y1）、B（x2，y2），由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0由韦达定理得：，…由△＞0?（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，∴===…②由①、②得实数k的范围是或…19.直线l的参数方程为，曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2．（1）写出直线l的普通方程与曲线C直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于两点A、B，若点P为（1，0），求+．参考答案：【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由直线l的参数方程为，消去t即可得出，由曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2，利用ρ2=x2+y2，即可得出．（II）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A、B两点在直线l中对应的参数分别为t1、t2，利用根与系数的关系、参数的意义即可得出．【解答】解：（I）由直线l的参数方程为，消去t可得l：，由曲线C的极坐标方程（1+sin2θ）ρ2=2，可得x2+y2+y2=2．即．（II）将直线l的参数方程代入曲线C：x2+2y2=2，得7t2+4t﹣4=0．设A、B两点在直线l中对应的参数分别为t1、t2，则，．∴，∴．20.（本题13分）设函数．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，求实数的取值范围．参考答案：21. 已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（I）判断直线与圆C的位置关系；

（Ⅱ）若点P（x，y）在圆C上，求x+y的取值范围．参考答案：（Ⅰ）直线