2023年高考数学后期教学复习策略讲座

Cheng

Du

ShiGaoZhongShu

Xue2020JiJiao

Yan

HuoDong问题导向，追本溯源；精准高效，大幅提分2023年高考数学后期教学复习建议PA

RT

01CONTENTS高

三

后

阶

段

的

复

习

建

议目

录PA

RT

02关于今年高考的几点想法与思考·进一步强化知识之间的关联程度01高三后阶段的复习建议·进一步加强思想方法的渗透落实·进一步着力数学运算等能力培养·进一步聚焦大幅提分的技巧训练高三后阶段的复习建议2019年中国高考评价体系以考查要求为例。高考评价体系中的“四翼”突出基础性。高考围绕学科主干内容，加强对基本概念、基本思想方法的考查，杜绝偏题怪题和繁难试题，引导教学重视教材，夯实学生学习基础，给学生提供深度学习和思考的空间。同时，“四翼”也十分注重综合性、应用性与创新性，通过设置真实的问题情境，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，允许学生从多角度作答，使“死记硬背”“机械刷题”“题海战术”的收益大大降低，引导学生的关注点从“解题”向“解决问题”、从“做题”向“做人做事”转变。高三后阶段的复习建议2019年中国高考评价体系考查要求围绕学科主干内容，后期复习策略加强思想方法的渗透落实加强对基本概念、基本思想方法的考查重视教材，夯实学生学习基础……深度学习和思考的空间强化知识之间的关联程度注重综合性、应用性与创新性、设置真实的问题情境着力数学运算、逻辑推理等能力培养从多角度作答，从“解题”向“解决问题”、从“做题”向“做人做事”转变积累基本解决问题经验，聚焦大幅提分的技巧训练高三后阶段的复习建议进一步强化知识之间的关联程度案例一：高三后期圆锥曲线回归教材的处理策略高三后阶段的复习建议进一步强化知识之间的关联程度案例二三：高三后期函数与导数常见题型的逻辑梳理进一步强化知识之间的关联程度根据教学后期教学实际需要，复习课应该以目标问题导向式进行，具体的教学环节可归纳为“三阶段”：通过前置学习、问题导向、任务驱动、追本溯源，培养学生自主学习探究的能力.{体验与感悟生成与内化通过自主探究、生生合作、师生共探、课堂展示、合作交流，促使基本解题技能形成与内化.三阶段通过归纳总结、反思感悟、反馈演练、迁移应用、评价检测，提升能力与素养.评价与反馈进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学教学定位与构想本节课教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-1第二章第2节《椭圆》.是在学生学习了《2.2.1椭圆及其标准方程》及《2.2.2椭圆的简单几何性质》之后的一节椭圆的复习课.椭圆概念是圆锥曲线的核心概念.椭圆概念的建立对圆锥曲线的学习具有建构和引领作用，在椭圆概念的建构过程中解析几何的两类核心问题：几何限制条件到代数方程、利用方程工具研究几何性质都有突出体现.椭圆概念的研究对双曲线和抛物线概念的形成和建构具有奠基作用.进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学教材研究学习感悟在人教A版教材例、习题中频频出现与椭圆定义有关的素材，它们的背景大多源于学习生活或社会生活，题干简练、设问合理，题型丰富，还有一些探究性和开放性问题，足以证明它的重要性。但这些问题分散在各个板块，本课就是从这个角度出发整合分散在例、习题中的椭圆的三种定义的题目。但是又考虑到现在课本都没有明确提出椭圆的第二定义和第三定义的概念，所以就转而从我们经常在题目中遇到的“点在椭圆上”这个条件的处理思路入手，引导学生探究点在椭圆上的多种几何解释。对学有余力的同学可根据情况介绍椭圆的另外两种定义，并关注定义与几何解释之间的对应关系。这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大的意义,也体现了数学的学科素养.进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学解决问题【例1】x2y2+

=1的两个焦点，过点

F2

的直线交椭圆于点

A，B，(1)已知

F，F

为椭圆1216

9若

AB

=

5

，则

AF

+

BF

=11(2

)设椭圆的两个焦点分别为

F、F

，过

F

作椭圆长轴的垂线交

椭圆于点P

，若122

F1PF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为222x

y+

=1的左焦点，

为椭圆上任意一点，点

的坐标为(3)设

F1

是椭圆PM(6,4)25

16+|

PM

|

|

PF

|则的最大值为_______1进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学解决问题【例2】22x

y+

=

1(a

b

0)

的左右焦点分别为F

(

c,

0)、F

(c,0)

，若椭圆上存−已知椭圆在点

P

使1222a

bac=，则该椭圆的离心率的取值范围为sin

PF

F

sin

PF

F1

22

1进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学解决问题【例3】22y

x(1)直线

y

=

x

+1被椭圆+

=1所截得的线段的中点坐标是4

222x

y+

=1的左、右顶点分别为

A、A

，点P

在C

上且直线PA

斜(2

)已知椭圆C

:1224

3率的取值范围是[−2,−1]

，则直线

斜率的取值范围是PA122x

y+

==，直线

AB

的斜率k

1，(3)平行四边形ABCD内接于椭圆114

2k=则直线

AD

的斜率2进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学反思提升y()MF

+

MF

=

2a

a

c

0解释一：12M(x,y)？x如何化简+2+2+

−(x

c)

y

(x

c)

y

2a.2+2=OF1F2移项得(x

+

c)2+

y2=

2a

−

(x

−c)2+

y2−2+2=2−两边平方整理得

a

(x

c)

y

a

cx22x

y2+

2

=1(a

b

0)几何上如何解释？a

bc−2+2=

−即

(x

c)

y

a

xa进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学反思提升c

c

a−

x)

(x

c)

y

a

x

(2−2+2(x

c)

y

c−2+2=

−

==解释二：焦半径公式a2ca

a

ca−

xyM(x,y)MF

=

a

−

ex

MF

a

ex=

+左加右减21xOF1F2

a焦半径的最小值为−

最大值为

a

+

c.a

c,yMF

=

a

−

ey

MF

=

a

+

eyF2下加上减21x正方向减OM(x,y)F1进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学反思提升yx2

y2222−2yx

a

x1(a

b

0)=

=1−

=Ma

bb2a2a2Py2b22yyb

=

−xOB即

=

−

(x

a)A2−22x

−

a

x

+

a

a2x

a

a2b

k

k

=

−

=

k

kMAMBOPMB2a进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学反思提升22x

y解释三：AB已知是过椭圆1(a

b

0)

M+

=

中心的弦，点

是椭圆22a

b2b

=

−

.k

kMA,MB上任意一点，若直线的斜率都存在，则MAMB2ayx2

y2222−y

b

y2xy1(a

b

0)=

=1−

=AMMa

b22b2abA2−22+

−y

b

y

b

b2xy

b

b

=

−

=

−

(x

0)xOOa2x2a2xxBb2a2B

k

k

=

−MAMB进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学反思提升代数解释()定义：

MF

+

MF

=

2a

a

c

0等式12

点在椭圆上=

+=

−焦半径公式：

MF

a

ex

MF

a

ex12b2

=

−k

k1几何解释中心弦、中点弦结论：2？a2y−a

x

a,−b

y

bM不等a

−

c

|

M

F1

|

a

+

cxO顶角

F

MF

=

的变化规律

式21进一步强化知识之间的关联程度案例1：复习课《点在椭圆上》主题教学应用反馈（2018

全国

III

卷

20题改编）x2y2+

=1

的左、右焦点，已知斜率为k

的直线l

与椭圆C设

F，F

分别为椭圆C

:124

3交于

A、B

两点(1)lF

若直线

经过椭圆右焦点

，求

ABF

的周长；21(2)

若线段

AB

中点为M

(1,m)(m

0)1k

−①证明：；2++=②设

P

为C

上一点,且

F

P

F

A

F

B

0

．证明：|

F

A|

|

F

P

|

|

F

B

|成等差，，222222数列．进一步强化知识之间的关联程度案例2：复习课《一阶导数判正负，策略多种有招数》1判断一阶导数正负的策略反思提升f

'(x)（1）的正负易判的正负不易判易解：小构造，再求导，大智慧数形结合f

'(x)（2）代数法几何法f

'(x)

0f

'(x)

0和令令解不等式f

'(x)不易解：画正负的示意图试根找零点极限定走势函数运算性质二次求导'=①成功：

f

(x

)

00的无根（导数恒正恒负）②不成功：f'(x0

)

=

0x，隐零点有根（但非特殊值）0进一步强化知识之间的关联程度案例2：复习课《一阶导数判正负，策略多种有招数》反思提升二次求导目的：一次导的单调性（或值域）

一次导的正负

原函数的单调性将一阶导数（或其一部分）令作一个新函数，对这个新函数再进行一次求导，整个题表面上进行了二次求导，本质上是两个一次求导。本质：思想方法数形结合转化与化归进一步强化知识之间的关联程度案例3：复习课《遇到含参单调性，讨论标准如何定》类型一

变号函数为一次函数型【例】

已知函数

f

(x)

=

ln

x

−

mx(m

R)

，讨论函数

f(x)

的单调性.11−

mx

(x

0)f'(x)

=

−

m

=【解析】xx类型二

变号函数为准一次函数型【例】

已知函数

f

(x)

e

2ax

5−

−

，讨论函数

f(x)

的单调性.=x【解析】

(

)f

'

x

=

ex

−

a2【例】

已知函数

f

(x)

ln(e

1)

ax+

−

，讨论函数

f(x)

的单调性.=xex(1−

a)ex−

a【解析】

f

'

(x)

=−

a

=ex+1ex+1进一步强化知识之间的关联程度案例3：复习课《遇到含参单调性，讨论标准如何定》类型三

变号函数为二次函数型【例】

（2020

新课标

III）

已知函数f

'

(x)

=

3x2

−

kf

(x)

=

x

−

kx

+

k2

，讨论函数

f(x)

的单调性.3【解析】1f

(x)

=

−

x

+

aln

x【例】

（2018新课标

I）

已知函数，讨论函数f

(x)的单调性.x2−

+1axx

ax

1

11f

(x)

=

−

−1+'=

−=−

+[a

(x

)]

(x

0)

【解析】2x2xxx1f

(x)

=

ax2−

(a

+1)x

+

ln

x【例】

已知函数f(x)，讨论函数

的单调性.21

(ax

−1)(x

−1)1f'(x)

=

ax

−

(a

+1)

+

=

=

(a

−

)(x

−1)

(x

0)【解析】xxx进一步强化知识之间的关联程度案例3：复习课《遇到含参单调性，讨论标准如何定》类型四

变号函数为准二次函数型【例】

（2017

新课标

I）

已知函数f

(x)

=

ex(ex−

a)

−

ax

，讨论函数

f

(x)

的单调性.2'=2x−x−2=x+x−【解析】

f

(x)

2e

ae

a

(2e

a)(e

a)【例】

已知函数

f

(x)

(x

2)e

a(x

1)=

−

+

−

2

，讨论函数

f(x)

的单调性.x【解析】

f

(x)

(x

1)(e

2a)

(x

1)[e

(

2a)]=

−'x+

=

−x−

−进一步强化知识之间的关联程度案例3：复习课《遇到含参单调性，讨论标准如何定》类型五

变号函数为高次函数型或超越函数型2x

−1f

(x)

=

a(x

−ln

x)

+,a

R【例】

（2016

山东）

已知函数f(x)，讨论函数

的单调性.x2(x

−1)(ax

−

2)2【解析】

f

'

(x)

=x3进一步强化知识之间的关联程度案例3：复习课《遇到含参单调性，讨论标准如何定》反思提升1.解题步骤2.变号函数为一次函数型3.变号函数为二次函数型①

求导化简定义域①

二次项系数与0的大小①

斜率与0的大小②

变号保留定号去③

恒正恒负先讨论②

判别式与0的大小（首选因式分解）②

零点与定义域的关系③

两根比大小④

研究零点得图象⑤

正负确定单调性④

定义域边界与两根的大小关键：画导函数正负的示意图数形结合5.寻找讨论标准的方法4.讨论标准的产生①

常见函数型标准②

恒正恒负先讨论③

孤立零点（因式分解）④

孤立参数①

导函数有无零点②

零点大小分类讨论可组合使用③

零点与定义域的关系进一步强化知识之间的关联程度话说同构那些事以朗博同构为例：2x−2f

(x)e2ealn

x

+e2x−2x−

2x

+1=

0

aln

x+2x

1

0−

+

=xae2x−2−aln

x

e2x−2−aln

x

+

aln

x

−

2x

+1=

0t

=

2x

−

2

−

aln

x

e

−t

−1=

0t高三后阶段的复习建议进一步加强思想方法的渗透落实案例四：高三后阶段导数与函数不等式的试题研究探析——以2022年天津卷20题为例进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析试题呈现(

)(

)=f

x

e

asin

x

g

x

b

x=

x

−.（2022

天津高考第

20

题）已知，(

)

(

(

))f

x

0,

f

0处的切线方程；（I）求在(

)

(

)f

x

g

x（II）若函数与的图像有公共点.a

=

0b（i）当时，求

的取值范围；（ii）证明:

a

b

e2

+

2

进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析试题呈现(

)(

)=x−=f

x

e

asin

x

g

x

b

x（2022

天津高考第

20

题）已知，.(

)

(

(

))f

x

0,

f

0在（I）求处的切线方程；考查导数运算、导数的几何意义，增强答题信心(

)(

)(

)=x−k

=

f

'

0

=1−

a，且f

0

=1.f

'

x

e

acos

x解：，所以切线的斜率为(

)

(

(

))f

x

0,

f

0在

处的切线方程是(

)y

=

1−

a

x

+1.所以进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析试题呈现(

)(

)==

−xf

x

e

asin

x

g

x

b

x，（2022

天津高考第

20

题）已知.−

=a

sin

x

b

x有解(

)

(

)f

x

g

x与ex（II）若函数的图像有公共点.a

=

0b时，求

的取值范围；（i）当化归转化思想抽象概括，理性思维，分析问题和解决问题+

a

b

e22（ii）证明:进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析b分离参数

，(

)(

)g

x

=

b

x(

)−h

x

=e

b

x=x

与xf

x

eex求b

=的值域有零点的图像有公共点x不分离全分离半分离进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析(

)g

x

=

b

x(

)解法1：数形结合，引入公切线=xf

x

e

与当

b

0(

)与

(

)的图像无公共点；

的图像有公共点f

x

g

x时，函数(

)

(

)f

x

g

x与

的图像在x

=

x处有公切线.b

0

，故不妨假设函数0

e

=

b

xx00

1则，解出b

=

2e,

x0

=.

be

=x02

2

x0

.

1

,

e

(

)(

).f

x

e

g

x与=x=2e

x

在点

即函数处有公切线.

1

2

2

,

e

1

g

e

，即b1

e

.所以b

2e.只需x0

2

2以公切线为抓手，直观自然进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析(

)

x符号一致解法2：构造函数，探寻隐零点b

2

xex−b(

)(

)x

0

.h'

x

=ex−=计算得(

)，所以h

x

=ex

−b

x

在[0,+)

单调递增，2

x2

x(

)①当b

0h'

x

0时，(

)x−h

x

=e

b

x(

)(

)h

x

=

h

0

=1

0，此时无零点，不合题意；

min

1②当b

0时，设

x

=2

xe(

)x−b，(

)x+

(

)

(

+)有零点'

x

=e2

x0，所以x在0,单调递增

x

(

)2注意到

0

=

b

0

(

)

−

，

b

=2be

b

2b

b

b

0−

−

=

，2b隐零点()

(

)(

)0所以

x

0,+

,

x

=

0

，即

h'

x

=

0

.00(

)(

)()(

)所以

x

0,

x

时，

h'

x

0

；

x

x

,+

时，h'

x

0

，00(

)h

x−b

x

在(0,

x

)单调递减，在(x

,)+

单调递增.=ex所以00

(

)x−

h

x

=e

b

x

0,

010()xx

−

e

2

1

0，解得x

因此只需，整理得.0(

)00=x−

=h'

x

2

x

e

b

02

00011=x

b

2

x

e

2

e2=2eb，故

的取值范围是[

2e,+).所以002进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析解法3：分离参数，直接求值域exexx

=

0

ex

=

b

xb=(

)

(

)=

x

0，解：由于不是的解，于是将参数

分离，得b.

m

x设xxexx

−e

x(

)x−be

2x

1分离参数

，2

x(

)求导数

m'

x

==.exx2x

x

1

求b

=的值域x

1

2

(

)(

)x

0,

；

+

时，

m'

x

0，,当

时，m'

x

0

x

2

1

1

0,(

),+所以

m

x

在

单调递减，在

单调递增.

2

2

1

2

(

)→+→

+m

x

=

m

=

2e

.→

+.x

0

,和xy所以

又注意到时，均有min[

2e

,

)+

.b所以

的取值范围是进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析xe解后反思：b=

，

b的取值范围是[

2e

,

)

.+xex

2e切线不等式：x5.55x

+e

x

14.54x

e

exy=x+1y=ex3.532x

y=exe

2exln

x

x

−1y=x-12.52xxy=xy=ln

x

ee1.51(

)e

2x

1

1

2x2x−1

−

+

=y=lnx0.543211234560.511.52x

+e

x

12.5进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析第（II）问中（ii）的解法研究(

)(

)=x−=f

x

e

asin

x

g

x

b

x（2022

天津高考第

20

题）已知，.(

)

(

)f

x

g

x与（II）若函数的图像有公共点.a

=

0b时，求

的取值范围；（i）当2+2

a

b

e（ii）证明:主元三个变量，消元换元分别是

a,

b,

x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析a2

+

b2

e不等式放缩,消元消元,确定主元换元,确定主元asinxex

−b

xsin

x将

a=比值

三角

向量换元

换元

换元基本

柯西

三角不等式

不等式

不等式x代入a2

+b2

代入

a2

+

b2

ee

0一元二次不等式恒成立，−

2把证明a2+

b2

e

转化为证明e2x

1

sin

+x

x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析思路1代入消元，确定主元

)e

asin

x

b

x−=0,+x

0=

不是方程的根，因此只研究

的情况.xx

0方程在有解且ex−

asin

xx

0ex

asin

x

b

x

b

=−=证法1

：当时，由得，x2

−

xe

asin

x要证明

a2

+

b2

e

，只需证明

a2+

e

.

整理成关于

的不等式a

x

()

()2+2−x+

2x

−

sin

x

x

a

2e

sin

x

a

e

ex

0

.a

Rx

0

时sin2

x

+

x

0，故只需证明判别式由于且当2()

()()

=x−2+2x

−

.2e

sin

x

4

sin

x

x

e

ex

0(x

+

x)，即证整理得e2x

e

sin2e2x−1

sin2

x

+

x

*

.（

）xe=−

=

+x=

2x

1

2x

x

xe，整理得由（i）知e

b

x

有解时，b2e.x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析思路1代入消元，确定主元(

)(

)x

0=

−u

x

x

sin

x2构造函数，(

)求导数u

'

x

=1−

2

sin

xcos

x

=1−sin

2x

0

.(

)

(

)(

)所以u

x

在

0,

+

单调递增.

由于u

0

=

0

，(

)因此u

x

0

即

x

sin

x

2

成立.2x−1

2+2+2

综上：不等式

e

sin

x

x

成立，从而

a

b

e

.进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析思路1代入消元，确定主元b证法2

以

为主元x−e

b

xx

0

时，由ex−==asin

x

b

x

a得当.sin

x2

e

b

xx

−要证明

a

b

e

，只需证明2

+

2

+

，整理成关于

的不等式b2

e

b

sin

x

主元透视问题本质()

(

)2+2−x+2x−2

sin

x

x

b

2e

x

b

e

e

sin

x

0

.由于b

R且当x

0

时sin2

x

+

x

0，只需证明判别式合理“分析”

执果索因2(

)

()()

=2e

x

4

sin

x

x

e

esin

x

0x−2+2x−2

.()2x

2+2x−1

2+sin

x

x

（*）.整理得e

e

sin

x

x

，即证e进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析2x−1

2+证明e

sin

x

x代入消元确定主元x

02x

.结论

1：对于任意的

，都有e

2exx

0

x

sin2

x

.结论

2：对于任意的

，都有进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析拉格朗日乘数法(

)u

x,

y

=

0(

)f

x,

y(

)u

x,

y

=

0在限制条件

下的极值点给定限制条件，为了寻找(

)

(

)

(

)x,

y

=+

f

x,

y

u

x,

yF

x,

y,（即取得最值时的的值），可构造三元函数中的三个

F

'

=

f

'

+

u

'

0,=xxx

x,

y，即可求出二元函数的x,

y,

=

+

=F

'

f

'

u

'

0,变量分别求导，建立方程组

解出yyy

(

)F

'

=

u

x,

y

=

0

最值.进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法3：拉格朗日乘数法()设

L

a

+b

+

e

asin

x

b

x

a,b,=

2

，

L

分别对

求偏导，并令其等于

0.2

x

−−

L'

=

2a

−

sin

x=

0,a

ex

sin

xex

xL'b

=

2b

−

x

=

0,

解得

aL'

e

asin

x

b

x

0.=,b=

于是2+2+sin

x

x

sin

x

x

=

x

−−=

22

ex

sin

xex

xe2x2

+

2

=a

b+=

.所以因为

2

+sin

x

x2

+

2

+sin

x

x

sin

x

x

e2xe

2ex2x2

a2+

=b2

=esin

x

x.，所以2+sin

x

x

2x

2x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析消元，确定主元换元，确定主元不等式放缩，消元sinxex

−bsin

x将

a=三角换元比值换元向量换元基本不等式柯西不等式三角不等式x代入a2

+b2

e代入

a2

+

b2

0一元二次不等式恒成立，−

2把证明a2+

b2

e

转化为证明e2x

1

sin

+x

x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析思路2

换元转化，化繁为简证法4：比值换元a=

0

时，b

+

a

b

e

.2e22当，此时a

sin

x

+

b

xa

0ex−

a

sin

x

=

b

x1=

.当时，由，得ex2

b

1+a2+

b2a2+

b2

a

a2+

b2==e2

x=e2

x

.2(a

sin

x

+

b

x)22

a

sin

x

+

b

xb

xa

sin

x

+

ex

(

)1+

t2e2

xba1+

t2令

t

=

，则a2+

b2=e2

x=.(sin

x

+

t

x)2sin2x

+

2t

x

sin

x

+

t2x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法5：比值换元当b

=

0时，显然=(

N)不是方程e−

=asin

x

0

的根.x

kπ

kx()x−e

sin

x

cos

xexex(

)u'

x=，=.令u

(x)

=于是有

a，sin2

xsin

xsin

x

31

x

2kπ

−

π,

2kπ+

π

k

N()(

)u'

x

0；当

时，

44

5

1x

2kπ+

π,2kπ+

π

k

N()(

)u'

x

0

.

当

时，

44

31

4

15

(

)−(

)(

)2kπ+

π,2kπ+

π

k

N

2kπ

π,2kπ+

π

k

Nu

x

在

上单调递增.所以上单调递减，在

4

44

ππ2kπ+

π

eeπ44(

)

+

=

=所以u

x

u

2kπ2e4

，

π

4

π44

sin

2kπ

+sin

2π

ππa

2e4a2+

b

2e

=2e

>e.2即.此时

4

2

进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法5：比值换元asin

x

+

b

x当

b

0

时，由

ex−

asin

x

=

b

x=1.，得ex

a

2

b

+1

a2+

b2a2+b2a2+

b2==e2x=e2x2)22

(

asin

x

asin

x

+b

xasin

x

+b

x+

x

bex

(

)1+

s2e2xas+12令

s

=

，则a2+

b2=e2x=.(ssin

x

+

x

)2++b22s

sin

x

2s

x

sin

x

x(

)1+

s2e2x要证明

a2

+

b2

e

，只需证明

e

，s2sin2x

+

2s

x

sin

x

+

x整理得(e2x−

esinx

s)

(−

2e

x

sin

x

s

+

e2x

−ex

0

.)222()

()()s

R

=2e

x

sin

x

4

e2x

xe

e2x

esin−−−2

.x

0因为，只证明()整理得

e2x

e

sin2x

+

x

，即证

e2x

1

sin2

x

x

（*）.以下证明同证法

1.−

+进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析asin

x

+b

xx−==，目的在于得到常数“

”和构造+a

b22e

asin

x

b

x11方程整理为exa,b的齐次式，看似化简为繁，实则化多元关系为一元关系，这是典型的常数换元.成为关于证明过程也可以优化为：2

asin

x

+

b

xa2+

b2

e

，只需证明

a2+

b

e2

要证即证

ex

(

)()(

)2x−22−+2x−2

.e

esin

x

a

2e

x

sin

x

ba

e

ex

b

02()

(

)()

=2e

x

sin

x

b2

4

e2x

xe

e2x

esin2

x

b2

0−−−

a不妨将

视为主元，通过，e2x−1

sin2

x

+

x

.进而证明进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法6：三角换元(

)a

=

r

cos

,b=

r

sin

.代入方程

sin

x

a

xb

e

=

0，得+−x设2(

)(

)sin

x

r

cos(

)

+

−xr

sin

e

0x=

，则r

sin2x

+

x

sin

+

=

ex

，故exe2x2+

r

sin

x

x

ex=2+2

=

er

a

b，即.2+sin

x

x2+sin

x

x2+2

a

b

e

.即辅助角公式a

sin

+

b

cos

=

a2(

)+

b

sin

+2进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析=++

e2xa2be

asin

x

b

x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析消元，确定主元换元，确定主元不等式放缩，消元sinxex

−bsin

x将

a=三角换元比值换元向量换元基本不等式柯西不等式三角不等式x代入a2

+b2

e代入

a2

+

b2

0一元二次不等式恒成立，−

2把证明a2+

b2

e

转化为证明e2x

1

sin

+x

x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析思路3

联想不等式，适度放缩证法7：重要不等式放缩第一次放缩x=+e

asin

x

b

x将方程两边平方2()(

)(

)2

+

2

+e2x

=

asin

x

b

x

=

a2

sin

x

b

x

2

asin

x

b

x

.+第二次放缩第三次放缩(

)(

)

22+22

asin

x

b

x

a

sin

x

b

x由重要不等式，有.()2x

22+2所以e

2

a

sin

x

b

x进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法8：均值不等式放缩x

0

sin

x

x时，

由结论

2

可知，当()(x

+.即)e

asin

x

b

x

|

asin

x

|

|

b

|

x

|

a

|

|

b

|

x

e

|

a

|

|

b

|

xx

=+

+

+所以.xe由（i）可知

2exex于是|

a

|

+

|

b|

2e

.x(|

a

|

|

b

|)2+2+2+a

b

|

a

|

|

b

|又因为

，且a

b，所以a

b

2+2>e

.2222+2

.a

b

e即进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法9：柯西不等式进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析思路4

联想结构特点，构造模型=

+xe

asin

x

b

x柯西不等式向量的坐标运算进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法10：构造向量，建立不等关系进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法11：联想复数模不等式复数模不等式柯西不等式进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法12：构造几何图形，建立三角不等式a

sin

x

+

b

x

a+

b

sinx

+

x222柯西不等式的几何证明.上进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析证法13：距离公式转化(

)

(

)0,0

a,b到要证

a

b

e

，只需证+2

2+

e，即证b2e

.的距离大于2a(

)a,b(

)+sin

x

a

xb

e因为在直线−

=

上，x0(

)

(

)(

)0,02+20,0a,ba

b所

以到的

距

离的

最

小

值

即

为到

直

线ex(

)+−x=

距离.sin

x

a

xb

e

02+sin

x

xex

e，即证e2x−1

sin

x

+

x

.2故只需证明2+sin

x

x以下证明同证法

1.进一步加强思想方法的渗透落实2022年天津卷高考导数压轴题解法探析解题总结在解题中，始终围绕主元、消元、换元等基本方法技巧，将多元函数最值的求解方法逐一展现，导数在“搭台”，三“元”在“唱戏”，解题时把不等式、三角函数、复数、平面向量、直线和圆的方程等基本知识当做”道具”，对数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养提出了较高的要求.是一道既考查基本功又立意新颖的好题.高三后阶段的复习建议进一步着力数学运算等能力培养案例五：模块化的计算能力提升训练介绍进一步着力数学运算等能力培养运算再认识“在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题”是一种思维过程，这种思维过程包括：理解掌握探究运算对象运算法则运算思路求得设计选择运算结果运算程序运算方法进一步着力数学运算等能力培养模块化计算1

三角函数化简

3例：已知函数

f

(x)

=

cos

xsin(x

+

)

−

3

cos2x

+

.34次数相同

化标准型y

=

Asin(

x

+)

+

B（三个“一”：一个角、一种三角函数、一次式）观察次数次数不同

换元解:“三部曲”：展开

→降次

→

辅助角

3f

(x)

=

cos

xsin(x

+

)

−

3

cos

x

+23412

=(2x

−

).3进一步着力数学运算等能力培养模块化计算2

数列求和(1)分式型数列求和：裂项相消法；注意裂项的系数，注意前后各剩几项(2)差比型数列求和：错位相减法；列和式→乘公比→错位相减求和→除系数→带n=1检验(3)含绝对值、含(−ퟏ)풏型的数列求和：分类讨论.进一步着力数学运算等能力培养模块化计算3

解析几何求弦长(1)联立直线(如y

=

kx

+1)和圆锥曲线（椭圆化为整式：22x

y如

+

=

化为22=

；1

3x

+4y

12)4

32+2−

=(

2)消元得关键方程:(4k

3)x

+8kx

8

0,自查关键方程！(3)

0,韦达定理x

+

x

,

x

x

;121

2(4)弦长公式

=

+2+

−|

AB

|

1

k

(x

x

)

4x

x2121

2

1

k=

+2（酌情用）.|

a0

|进一步着力数学运算等能力培养弦长公式：3、参数方程（直线）1、直线与圆相交=2−2|

AB|

2

R

d|

AB

|=|

t

−t

|122、直线与圆锥曲线相交

4、极坐标方程y

x

=

+2−

=

+2|

AB|

1

k

|

x

x

|

1

k消

留12|

a0

|y

=

kx

+

mx

=

my

+

t<1>设<2>设|

AB

|=|

−

|（直线过极点）211

1x

y

|

AB

|=

1+|

y

−

y

|=

1+1

2消

留k22k

|

a0

|x

y

|

AB

|=

1+

m

|

y

−

y

|2消

留122b2<3>焦点弦长公式x

a（椭圆焦点在

轴，

为倾斜角）|

AB

|=1−e2cos

22psin2

|

AB

|=

x

+

x

+

p=

（抛物线开口向右，

为倾斜角）12进一步着力数学运算等能力培养模块化计算4

用导数讨论函数的单调性进一步着力数学运算等能力培养模块化计算5

立体几何求法向量先证垂直再建系→点坐标(自查!)

→面内两个方向向量坐标→设法向量坐标，两个数量积为0的方程→化简，赋值模块化计算6

解析几何点差法设点→代入二次曲线方程

→作差,平方差变形→移项，相除得斜率式高三后阶段的复习建议进一步聚焦大幅提分的技巧训练案例六：选填小题的特殊化解题策略与日常训练的整体安排建议进一步聚焦于大幅提分的技巧训练日常训练的整体安排一些名校的日常经验做法介绍1

2

3

4集中与分散练习相结合专题与综合练习相结合基础与压轴

定时规范作答与自练习相结合

主探索练习相结合知识之外，关注答题心态和答题策略！进一步聚焦于大幅提分的技巧训练选填小题的解题策略1.直接法（最主流最重要的方法）；2.特例法（取一个或一些特殊值、极限值、特殊函数、特殊位置、特殊图形等）；3.图解法：即数形结合（“数中思形，以形助数”。比如：Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等）；进一步聚焦于大幅提分的技巧训练选填小题的解题策略4.构造法（构造新的数学模型，比如：构造新的函数、不等式、数列等模型，构造长方体等）；5.估算法（估算大致范围，“一叶知秋”：学会找中间量，特殊的常用对数、自然对数熟记、不等式放缩、泰勒展式、帕德逼近等）；6.排除法（常与特例法、数形结合法等联合使用）.进一步聚焦于大幅提分的技巧训练解答题的规范作答卷面整洁、书写规范、布局合理注意事项答题顺序时间分配（关注正式开考前的几分钟）草稿纸的使用细节处理到位成都市2020级高三后阶段教学复习研讨会·新课程新教材带来的命题启示02关于今年高考的几点想法与思考·高考评价改革带来的命题启示·对个别考查点的一些比较分析关于今年高考的几点想法与思考宏观新课程新教材层面

带来的命题启示中观高考评价改革层面带来的命题启示微观层面对个别考查点的一些比较分析新课程新教材带来的命题启示近年来国家教育政策2001年

教育部《基础教育课程改革纲要》2017年

教育部《普通高中课程方案》各学科《普通高中课程标准》（2017年版2020年修订）2017年

教育部《中小学综合实践活动课程指导纲要》2018年

教育部《关于做好普通高中新课程新教材实施工作的指导意见》2019年

国务院《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》2019年

国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》2019年

教育部《中国高考评价体系》《中国高考评价体系说明》2022年

教育部《义务教育课程方案》各学科《义务教育课程标准》（2022年版）学生学习方式的转变与提升已是必然！→高考评价的转变也是必然！关于今年高考的几点想法与思考宏观新课程新教材层面

带来的命题启示中观高考评价改革层面带来的命题启示微观层面对个别考查点的一些比较分析高考评价改革带来的命题启示教育部2019年版《中国高考评价体系》中对于基于情境活动的命题要求考查要求基础性考查内容考查载体基于情境活动的命题要求构成学科素养基础的必备知识和关键能力要求学生调动单一的知识或技能解决问题。基本层面的问题情境要求学生在正确思想观念引领下，综合运用多种知识或技能解决问题。必备知识、关键能力、学科素养、核心价值综合性应用性综合层面的问题情境要求学生在正确思想观念引领下，综合运用多种知识或技能来解决生活实践中的应用性问题。必备知识、关键能力、

生活实践问题情境或学习探学科素养、核心价值

索问题情境要求学生在正确思想观念引领下，必备知识、关键能力、

开放性的生活实践问题情境

在开放性的综合情境中创造性地创新性学科素养、核心价值或学习探索问题情境

解决问题形成创造性的结果或结论。关于今年高考的几点想法与思考宏观新课程新教材层面

带来的命题启示中观高考评价改革层面带来的命题启示微观层面对个别考查点的一些比较分析对个别考查点的一些比较分析三次官方模拟试卷→2020年山东、海南新高考适应性考试→2021年八省联考→2023年2月23日四省适应性测试对个别考查点的一些比较分析回看八省联考与当年高考关联2021年八省联考对个别考查点的一些比较分析回看八省联考与当年高考关联2021年八省联考对个别考查点的一些比较分析回看八省联考与当年高考关联2021年八省联考对个别考查点的一些比较分析回看八省联考与当年高考关联2021年八省联考对个别考查点的一些比较分析回看八省联考与当年高考关联2021年八省联考对个别考查点的一些比较分析回看八省联考与当年高考关联2021年八省联考对个别考查点的一些比较分析四省联考与2022年高考试卷的理性比较试卷结构比较卷别内容2022年全国老高考甲乙卷2023四省联考2022年全国新高考1、I卷选择题

单选8、多选4单选单选8道、多选4道填空题主观题选考题4道6道4道5道4道6道1道(二选一)对个别考查点的一些比较分析客观选择题考查内容比较卷别题号内容2022年全国甲卷202