2024届高考数学一轮复习 讲义：三角函数的概念 教师

第第页课题：三角函数的概念知识点1．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P（x，y），那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦3．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M．由三角函数的定义知，点P的坐标为（cos_α，sin_α），即P（cos_α，sin_α），其中cosα＝OM，sinα＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝AT．我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线4．同角三角函数的基本关系式（1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1（α∈R）．（2）商数关系：tanα＝eq\f(sinα,cosα)．【注1】（1）利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．（2）注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α．（3）三角函数求值与化简必会的三种方法：①弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切．②“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=（sinθ+cosθ）2-2sinθcosθ=tan等．③和积转换法:利用（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ,（sinθ+cosθ）2+（sinθ-cosθ）2=2的关系进行变形、转化．sinα，cosα，tanα的知一求二问题典型例题例1已知是第三象限角，且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是第三象限角，且，所以，故选：A．例2已知角的终边经过点，且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】点的纵坐标为，且，所以在第三象限，所以，，．故选：B例3（多选）若，则（）A．B．C．D．2【答案】AC例4已知角α和角β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－eq\f(π,3)，则sinα＝（）A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)【答案】D【解析】因为角α和角β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋eq\f(π,2)（k∈Z），又β＝－eq\f(π,3)，所以α＝2kπ＋eq\f(5π,6)（k∈Z），即得sinα＝eq\f(1,2)．例5已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】＝，故选D．例6（多选）已知，，则（

）A．B．C．D．【答案】AD例7已知角为第二象限角，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为是第二象限角，所以，，由，，可得：．故选：A．例8已知且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，即，即，即解得或．∵，∴，∴．故选：C．例9已知为三角形的内角，且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】计算得，所以，，从而可计算的，，,选项A正确，选项BCD错误．故选：A．例10已知，则__________．【答案】-3【解析】例11已知，则．【答案】【解析】．举一反三1．已知为第二象限角，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，可得，所以，所以，又因为为第二象限角，则，所以，所以，故选A．2．若，且在第四象限，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，且在第四象限，∴，∴．故选：D．3．设，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，平方得到，，，，，而，；令，则，，，故选：．4．已知，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】＝，故选D．5．已知角，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，所以，．故选：B6．已知，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，所以当，x可以是锐角也可以时钝角，所以，所以不满足充分性；当时，x必为锐角，所以成立，必要性满足故选：B7．已知，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．5【答案】A【解析】由题意得：，故选：A．8．若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】故选：A．9．若，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知：∴，∴，又==．故选C．10．已知，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，即．故选：A11．已知，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】B【解析】因为，①所以两边平方可得，则，所以是钝角，则，所以，②，联立①②可得，则．故选:B．12．已知，则的值为________．【答案】13．已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则tanθ＝________．【答案】【解析】将已知等式①两边平方得：，，，，，即，，②，联立①②，解得：，，则．故答案为：．课后练习1．若角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由点P的坐标计算可得：，则：，，．本题选择A选项．2．已知点在角的终边上，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为点在角的终边上，由三角函数的定义可知，且点在第四象限，所以．3．若点在角的终边上，则（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】由任意角的三角函数的定义可知，，故选A．4．设角的终边经过点，那么（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：根据三角函数定义知：，所以原式，答案为：C．5．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，则．．故选：D．6．已知,,则的值为________．【答案】【解析】将两边同时平方，得，即，，故，解得或．，，则，，．故答案为:7．已知角的终边经过点，则角为第__________象限角，与角终边相同的最小正角是__________．【答案】四试题分析:因,故为第四象限角；因,故,则由于是第四象限角,故当时,．故应填答案四；．8．已知，且，则的值为________．【答案】【解析】，，又，所以，所以，，故答案为：9．已知，且，则