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文档简介
期中押题模拟卷03(考试时间:120分钟试卷满分:150分)注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.测试范围:选择性必修第一册5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在棱长为1的正方体中,M,N分别为和的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如图所示空间直角坐标系:则,所以,所以,故选:D2.空间四边形OABC中,,,,且,,则(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】,故选:A.3.已知直线与以点为圆心的圆相交于A,B两点,且,则圆C的方程为(
)A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意,为等腰直角三角形,所以圆心到直线的距离,即,解得,所以圆C的方程为,故选:C.4.椭圆的焦点为、,椭圆上的点满足,则(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】椭圆的焦点为、,椭圆上的点满足,由椭圆定义得:,,①由余弦定理得:,②联立①②,得:,∴,故选:C.5.已知A,B,C是椭圆上不同的三点,且原点O是△ABC的重心,若点C的坐标为,直线AB的斜率为,则椭圆的离心率为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】设的中点,因为原点O是△ABC的重心,所以三点共线,所以,由于,所以,故选:B.6.已知O为坐标原点,设F1,F2分别是双曲线x2-y2=1的左、右焦点,P为双曲线左支上任意一点,过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足为H,则|OH|=(
)A.1 B.2C.4 D.【答案】A【解析】如图所示,延长F1H交PF2于点Q,由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q,易知,所以|PF1|=|PQ|.根据双曲线的定义,得|PF2|-|PF1|=2,即|PF2|-|PQ|=2,从而|QF2|=2.在△F1QF2中,易知OH为中位线,则|OH|=1.故选:A.7.如图,点A,B,C在抛物线上,抛物线的焦点F在上,与x轴交于点D,,,则(
)A. B.4 C. D.3【答案】B【解析】依题意设,则直线AB,AC,BC斜率分别为:,因,则,即,则,因F(1,0)在直线AB上,则,而,有,即,点A在直线上,又是等腰三角形,点F,点D关于直线对称,所以点D坐标为(5,0),|FD|=4.故选:B8.如图,在四棱锥中,平面,与底面所成的角为,底面为直角梯形,,点为棱上一点,满足,下列结论错误的是(
)A.平面平面;B.点到直线的距离;C.若二面角的平面角的余弦值为,则;D.点A到平面的距离为.【答案】D【解析】A选项,因为平面,平面,所以CD,故∠PBA即为与底面所成的角,,因为,所以PA=AB=1,因为,取AD中点F,连接CF,则AF=DF=AB=CF=BC,则四边形ABCF为正方形,∠FCD=∠FCA=45°,所以AC⊥CD,又因为,所以CD⊥平面PAC,因为CD平面PCD,所以平面平面PCD,A正确;由A选项的证明过程可知:CD⊥平面PAC,因为平面PAC所以CD⊥PC,故点P到直线CD的距离即为PC的长度,其中由勾股定理得:,B正确;以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,则,,,,其中平面ACD的法向量为,设平面ACE的法向量为,则,令得:,所以,设二面角的平面角为,显然,其中,解得:或,因为,所以,C正确;过点A作AH⊥PC于点H,由于CD⊥平面APC,平面APC,所以AH⊥CD,因为,所以AH⊥平面PCD,故AH即为点A到平面PCD的距离,因为PA⊥AC,所以,D选项错误故选:D二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。9.已知圆:和圆:则(
)A.两圆相交 B.公共弦长为C.两圆相离 D.公切线长【答案】AB【解析】圆的标准方程为:,圆心为(5,5)半径为圆的标准方程为:,圆心为(3,-1)半径为所以两圆心的距离:,两圆相交,选项A正确,选项C错误;设两圆公共弦长为L,则有:,选项B正确,选项D错误.故选:AB10.已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为(
)A.当时,曲线表示椭圆B.当或时,曲线表示双曲线C.若曲线表示焦点在轴上的椭圆,则D.若曲线表示焦点在轴上的双曲线,则【答案】BCD【解析】若曲线:表示椭圆,则且,故A不正确;若曲线:表示双曲线,则或,故B正确;若曲线:表示焦点在轴上的椭圆,则,故C正确;若曲线:表示焦点在轴上的双曲线,则,故D正确;故选:BCD11.如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60°,下列说法中不正确的是(
)A.B.平面C.向量与的夹角是60°D.直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于,,所以,选项错误;对于,所以,即,,所以,即,因为,平面,所以平面,选项正确;对于:向量与的夹角是,所以向量与的夹角也是,选项错误;对于,所以,,同理,可得,所以,所以选项正确.故选:AC.12.为椭圆:上的动点,过作切线交圆:于,,过,作切线交于,则(
)A.的最大值为 B.的最大值为C.的轨迹是 D.的轨迹是【答案】AC【解析】根据题意,作图如下:不妨设点的坐标为,点坐标为,故切点所在直线方程为:;又点为椭圆上的一点,故切线方程所在直线方程为:;故可得.即不妨设直线交于点,故设直线方程为:,故,又,故可得三角形的面积,当且仅当,且时,即时取得最大值.因为点在椭圆上,故,又,故可得,整理得.故动点的轨迹方程为:.故选:.第ⅠⅠ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知直线与圆交于两点,则________【答案】【解析】圆可化为即圆心坐标为,半径圆心到直线的距离故故答案为:14.二面角的棱上有,两点,直线,分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于.已知,,,,则该二面角的大小为________.【答案】【解析】由条件,知,,.∴.∴,又∵,∴,∴二面角的大小为.故答案为:.15.设抛物线:()的焦点为,准线为,点为抛物线上一点,以为圆心,为半径的圆交于、两点,若,的面积为,则_______.【答案】【解析】∵,∴,又∵,∴,,∴到准线的距离,∴,解得.故答案为:1.16.已知为双曲线的右焦点,经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直,垂足为,直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为.若,则双曲线的离心率为______.【答案】【解析】由题意可设:,由得:,即;由得:,即;,,即,,即,,解得:,即双曲线的离心率为.故答案为:.四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17.(10分)如图,在直三棱柱中,底面ABC为等腰直角三角形,,AB=AC=2,,M是侧棱上一点,设.(1)若,求证:;(2)若,求直线与平面ABM所成角的正弦值;(3)若,求点M到平面的距离.【解析】(1)由题意可得AB,AC,两两垂直,以A为原点,AB,AC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示:当h=1时,,,,则,∵∴.(2)当h=2时,,,,,,,,设平面ABM的法向量则,取y=1,得是平面ABM的一个法向量设直线与平面ABM所成角为则∴直线与平面ABM所成角的正弦值为.(3)当h=3时,,,,,,,,设平面的法向量,则,取a=2,得是平面的一个法向量∴点M到平面的距离.18.(12分)已知双曲线的一条渐近线方程为,一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程;(2)经过点的直线交于两点,且为线段的中点,求的方程.【解析】(1)双曲线的渐近线为,即,所以,又焦点到直线的距离,所以,又,所以,,所以双曲线方程为(2)设,,直线的斜率为,则,,所以,,两式相减得,即即,所以,解得,所以直线的方程为,即,经检验直线与双曲线有两个交点,满足条件,所以直线的方程为.19.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在y轴上的圆C经过两点和,直线的方程为.(1)求圆C的方程;(2)过点作圆C切线,求切线方程;(3)当时,Q为直线上的点,若圆C上存在唯一的点P满足,求点Q的坐标.【解析】(1)设圆的方程为,将M,N坐标代入,得:,解得,所以圆的方程为;(2)当切线斜率不存在时,直线与圆相切;当切线斜率存在时,设直线方程为,即,由圆心到直线的距离,解得,故切线方程为,综上,切线方程为或;(3)设,,则,化简得,此圆与圆C相切,所以有,解得,所以或.20.(12分)如图,在三棱柱中,,,是的中点,点在平面上的射影为的中点.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若直线与平面所成角的正弦值为,求二面角的平面角的正切值.【解析】(Ⅰ)连结交于,连结.∵是三棱柱,∴四边形是平行四边形.则.在中,∵,∴.又平面,平面,∴平面.(Ⅱ)因为平面,与平面所成角为,即,又因为在中,,故,,在中,由余弦定理求得,过作,,分别以、、作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则,,,,,,故,,设平面的法向量为,则
.,取,又平面的法向量为,故,所以,故,即所求二面角的平面角的正切值为.21.(12分)已知椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为,且其右焦点到直线的距离为2.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在斜率为k的直线l,使l与已知椭圆交于不同的两点M,N,且?若存在,请求出k的取值范围,若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为椭圆中心在原点,焦点在x轴上,一个顶点为A(0,-1),由题意,可设椭圆的方程,则其右焦点,由F到直线的距离d=3,解得,所以椭圆的方程.(2)假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立,得:,消去y得:.设则有,所以所以MN的中点P的坐标.因为AN=AM,所以AP是线MN的垂直平分线,所以AP⊥MN.根据斜率之积为-1,可得,将其代入,并整理得:,解得:.故存在满足条件的直线l,其斜率的取值范围.22.(
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