期中押题模拟卷03（测试范围选择性必修第一册）（解析版）

期中押题模拟卷03（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：选择性必修第一册5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则，所以，所以，故选：D2．空间四边形OABC中，，，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故选：A.3．已知直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，为等腰直角三角形，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以圆C的方程为，故选：C.4．椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】椭圆的焦点为、，椭圆上的点满足，由椭圆定义得：，，①由余弦定理得：，②联立①②，得：，∴，故选：C.5．已知A，B，C是椭圆上不同的三点，且原点O是△ABC的重心，若点C的坐标为，直线AB的斜率为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的中点，因为原点O是△ABC的重心，所以三点共线，所以，由于，所以，故选：B.6．已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任意一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝（

）A．1 B．2C．4 D．【答案】A【解析】如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，易知，所以|PF1|＝|PQ|.根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，即|PF2|－|PQ|＝2，从而|QF2|＝2.在△F1QF2中，易知OH为中位线，则|OH|＝1.故选：A.7．如图，点A，B，C在抛物线上，抛物线的焦点F在上，与x轴交于点D，，，则（

）A． B．4 C． D．3【答案】B【解析】依题意设，则直线AB，AC，BC斜率分别为：，因，则，即，则，因F(1，0)在直线AB上，则，而，有，即，点A在直线上，又是等腰三角形，点F，点D关于直线对称，所以点D坐标为(5，0)，|FD|=4.故选：B8．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（

）A．平面平面；B．点到直线的距离；C．若二面角的平面角的余弦值为，则；D．点A到平面的距离为．【答案】D【解析】A选项，因为平面，平面，所以CD，故∠PBA即为与底面所成的角，，因为，所以PA=AB=1，因为，取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，所以AC⊥CD，又因为，所以CD⊥平面PAC，因为CD平面PCD，所以平面平面PCD，A正确；由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，因为平面PAC所以CD⊥PC，故点P到直线CD的距离即为PC的长度，其中由勾股定理得：，B正确；以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，则，令得：，所以，设二面角的平面角为，显然，其中，解得：或，因为，所以，C正确；过点A作AH⊥PC于点H，由于CD⊥平面APC，平面APC，所以AH⊥CD，因为，所以AH⊥平面PCD，故AH即为点A到平面PCD的距离，因为PA⊥AC，所以，D选项错误故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知圆：和圆：则（

）A．两圆相交 B．公共弦长为C．两圆相离 D．公切线长【答案】AB【解析】圆的标准方程为：，圆心为（5，5）半径为圆的标准方程为：，圆心为（3，-1）半径为所以两圆心的距离：，两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：，选项B正确，选项D错误.故选：AB10．已知方程表示的曲线为则以下四个判断正确的为（

）A．当时，曲线表示椭圆B．当或时，曲线表示双曲线C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则【答案】BCD【解析】若曲线：表示椭圆，则且，故A不正确；若曲线：表示双曲线，则或，故B正确；若曲线：表示焦点在轴上的椭圆，则，故C正确；若曲线：表示焦点在轴上的双曲线，则，故D正确；故选：BCD11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中不正确的是（

）A．B．平面C．向量与的夹角是60°D．直线与AC所成角的余弦值为【答案】AC【解析】对于，，所以，选项错误；对于，所以，即，，所以，即，因为，平面，所以平面，选项正确；对于：向量与的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项错误；对于，所以，，同理，可得，所以，所以选项正确．故选：AC．12．为椭圆：上的动点，过作切线交圆：于，，过，作切线交于，则（

）A．的最大值为 B．的最大值为C．的轨迹是 D．的轨迹是【答案】AC【解析】根据题意，作图如下：不妨设点的坐标为，点坐标为，故切点所在直线方程为：；又点为椭圆上的一点，故切线方程所在直线方程为：；故可得.即不妨设直线交于点，故设直线方程为：，故，又，故可得三角形的面积，当且仅当，且时，即时取得最大值.因为点在椭圆上，故，又，故可得，整理得.故动点的轨迹方程为：.故选：.第ⅠⅠ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与圆交于两点，则________【答案】【解析】圆可化为即圆心坐标为，半径圆心到直线的距离故故答案为：14．二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，，，，则该二面角的大小为________．【答案】【解析】由条件，知，，.∴.∴，又∵，∴，∴二面角的大小为.故答案为：.15．设抛物线：()的焦点为，准线为，点为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交于、两点，若，的面积为，则_______.【答案】【解析】∵，∴，又∵，∴，，∴到准线的距离，∴，解得.故答案为：１.16．已知为双曲线的右焦点，经过作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为，直线与双曲线的另一条渐近线在第二象限的交点为．若，则双曲线的离心率为______．【答案】【解析】由题意可设：，由得：，即；由得：，即；，，即，，即，，解得：，即双曲线的离心率为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）如图，在直三棱柱中，底面ABC为等腰直角三角形，，AB＝AC＝2，，M是侧棱上一点，设．(1)若，求证：；(2)若，求直线与平面ABM所成角的正弦值；(3)若，求点M到平面的距离．【解析】（1）由题意可得AB，AC，两两垂直，以A为原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：当h＝1时，，，，则，∵∴．（2）当h＝2时，，，，，，，，设平面ABM的法向量则，取y＝1，得是平面ABM的一个法向量设直线与平面ABM所成角为则∴直线与平面ABM所成角的正弦值为．（3）当h＝3时，，，，，，，，设平面的法向量，则，取a＝2，得是平面的一个法向量∴点M到平面的距离．18．（12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.【解析】(1)双曲线的渐近线为，即，所以，又焦点到直线的距离，所以，又，所以，，所以双曲线方程为(2)设，，直线的斜率为，则，，所以，，两式相减得，即即，所以，解得，所以直线的方程为，即，经检验直线与双曲线有两个交点，满足条件，所以直线的方程为.19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在y轴上的圆C经过两点和，直线的方程为.(1)求圆C的方程；(2)过点作圆C切线，求切线方程；(3)当时，Q为直线上的点，若圆C上存在唯一的点P满足，求点Q的坐标.【解析】(1)设圆的方程为，将M，N坐标代入，得：，解得，所以圆的方程为；(2)当切线斜率不存在时，直线与圆相切；当切线斜率存在时，设直线方程为，即，由圆心到直线的距离，解得，故切线方程为，综上，切线方程为或；(3)设，，则，化简得，此圆与圆C相切，所以有，解得，所以或.20．（12分）如图，在三棱柱中，，，是的中点，点在平面上的射影为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的正切值．【解析】（Ⅰ）连结交于，连结．∵是三棱柱，∴四边形是平行四边形．则．在中，∵，∴．又平面，平面，∴平面．（Ⅱ）因为平面，与平面所成角为，即，又因为在中，，故，，在中，由余弦定理求得，过作，，分别以、、作为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，故，，设平面的法向量为，则

．，取，又平面的法向量为，故，所以，故，即所求二面角的平面角的正切值为．21．（12分）已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离为2．(1)求椭圆的方程；(2)是否存在斜率为k的直线l，使l与已知椭圆交于不同的两点M，N，且?若存在，请求出k的取值范围，若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为椭圆中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为A(0，-1)，由题意，可设椭圆的方程，则其右焦点，由F到直线的距离d=3，解得，所以椭圆的方程.（2）假设存在直线符合题意.与椭圆方程联立，得：，消去y得:.设则有，所以所以MN的中点P的坐标.因为AN=AM，所以AP是线MN的垂直平分线，所以AP⊥MN.根据斜率之积为-1，可得，将其代入，并整理得：，解得：.故存在满足条件的直线l，其斜率的取值范围.22．（