九年级上学期期中测试模拟卷01（解析版）

九年级上学期期中测试模拟卷01考试范围：九上全部；考试时间：120分钟；满分：120分一、选择题。（共10小题，每小题3分，共30分）1．（3分）如果＝，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】直接利用已知进而变形得出a，b的关系．【解答】解：∵＝，∴3a＝5a﹣5b，则2a＝5b，故＝．故选：C．2．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．打开电视，正在播放新闻 B．买一张电影票，座位号是奇数号 C．任意画一个三角形，其内角和是180° D．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上【分析】根据事件发生的可能性大小判断．【解答】解：A、打开电视，正在播放新闻，是随机事件；B、买一张电影票，座位号是奇数号，是随机事件；C、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件；D、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件；故选：C．3．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（）A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y＝（x+1）2+2．故选：B．4．（3分）点P的坐标为（3，﹣4），以P为圆心，5为半径作圆，则原点与⊙P的位置关系是（）A．原点在⊙P外 B．原点在⊙P上 C．原点在⊙P内 D．相切【分析】先计算出OP的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解．【解答】解：∵点P的坐标是（3，4），∴OP＝＝5，而⊙O的半径为5，∴OP等于圆的半径，∴点O在⊙P上．故选：B．5．（3分）如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝35°，则∠BDC＝（）A．85° B．75° C．70° D．55°【分析】由AB是直径可得∠ACB＝90°，由∠ABC＝35°可知∠CAB＝55°，再根据圆周角定理可得∠BDC的度数，即可得出答案．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝35°，∴∠CAB＝55°，∴∠BDC＝∠CAB＝55°，故选：D．6．（3分）如图是著名画家达•芬奇的名画《蒙娜丽莎》．画中的脸部被包在矩形ABCD内，点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，若AB＝2a，则BE长为（）A．（+1）a B．（﹣1）a C．（3﹣）a D．（﹣2）a【分析】直接根据黄金分割的定义求解．【解答】解：∵点E是AB的黄金分割点，BE＞AE，∴BE＝AB＝•2a＝（﹣1）a．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【解答】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．8．（3分）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1 B．y1＞y2＞y3 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．【解答】解：∵y＝2x2﹣4x+c，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，∵2﹣1＜1﹣（﹣1）＜1﹣（﹣3），∴y1＞y2＞y3．故选：B．9．（3分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．π B． C．3+π D．8﹣π【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，∵∠OFE+∠FEO＝∠OED+∠FEO＝90°，∴∠OFE＝∠OED∴△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故选：D．10．（3分）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．①③④⑤ B．①②③ C．②③⑤ D．①②③⑤【分析】①根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得∠PAE＝∠MAE＝45°，然后利用“角边角”证明△APE和△AME全等；②根据全等三角形对应边相等可得PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，证出四边形PEOF是矩形，得出PF＝OE，证得△APE为等腰直角三角形，得出AE＝PE，PE+PF＝OA，即可得到PM+PN＝AC；③根据矩形的性质可得PF＝OE，再利用勾股定理即可得到PE2+PF2＝PO2；④判断出△POF不一定等腰直角三角形，△BNF是等腰直角三角形，从而确定出两三角形不一定相似；⑤证出△APM和△BPN以及△APE、△BPF都是等腰直角三角形，从而得出结论．【解答】解：①∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵PM⊥AC，∴∠AEP＝∠AEM＝90°，在△APE和△AME中，，∴△APE≌△AME（ASA），故①正确；②∵△APE≌△AME，∴PE＝EM＝PM，同理，FP＝FN＝NP，∵正方形ABCD中，AC⊥BD，又∵PE⊥AC，PF⊥BD，∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，∴四边形PEOF是矩形．∴PF＝OE，在△APE中，∠AEP＝90°，∠PAE＝45°，∴△APE为等腰直角三角形，∴AE＝PE，∴PE+PF＝OA，又∵PE＝EM＝PM，FP＝FN＝NP，OA＝AC，∴PM+PN＝AC，故②正确；③∵四边形PEOF是矩形，∴PE＝OF，在直角△OPF中，OF2+PF2＝PO2，∴PE2+PF2＝PO2，故③正确；④∵△APE≌△AME，∴AP＝AM△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，∴△POF与△BNF不一定相似，故④错误；⑤∵△APE≌△AME，∴AP＝AM，∴△AMP是等腰直角三角形，同理，△BPN是等腰直角三角形，当△PMN∽△AMP时，△PMN是等腰直角三角形．∴PM＝PN，又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，∴AP＝BP，即P是AB的中点，故⑤正确；故选：D．二、填空题。（共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）四条线段a，b，c，d成比例，其中b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，则a的长为cm．【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可得＝，又由b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，即可求得a的值．【解答】解：∵四条线段a、b、c、d成比例，∴＝，∵b＝3cm，c＝2cm，d＝8cm，∴＝，解得：a＝．故答案为：cm．12．（4分）在一个不透明的布袋中装有18个白球和若干个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则黑球的个数为9．【分析】设黑球的个数为x个，根据概率公式列出方程，求出x的值即可得出答案．【解答】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝9，经检验x＝9是方程的解，答：黑球的个数为9；故答案为9．13．（4分）如图，BD是△ABC的中线，点E在线段BC上，连接AE交BD于点F，点G为AE中点，连接DG，若，则＝．【分析】根据三角形中位线定理得到DG∥BC，DG＝EC，证明△GFD∽△EFB，根据相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AD＝DC，AG＝GE，∴DG∥BC，DG＝EC，∴△GFD∽△EFB，∴＝＝，∴DG＝BE，∴＝，故答案为：．14．（4分）若抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点，那么m的取值范围是m≤1．【分析】由抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点可知Δ＝b2﹣4ac≥0，从而可求得m的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x+m的图象与x轴有交点，∴令y＝0，有x2+2x+m＝0，即该方程有实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，∴m≤1．故答案是：m≤1．15．（4分）如果一个三角形的三边均满足方程x2﹣10x+25＝0，则此三角形的面积是．【分析】首先从方程x2﹣10x+25＝0中，确定三边的边长为5，5，5；不难判定边长5，5，5能构成等边三角形，从而求出三角形的面积．【解答】解：由方程x2﹣10x+25＝0，得该方程有两个相等的实数根，即5．则此三角形的三边都是5．则该三角形的面积为S＝×5×5×sin60°＝×5×5×＝．16．（4分）抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴有两个交点，且交点位于y轴两侧，则下列关于这个二次函数的说法正确的有①②④．（填序号）①a＞0；②若b＞0，则当x＞0时，y随x的增大而增大；③a+b＜3；④一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号．【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：设抛物线与x轴的交点为（x1，0）、（x2，0），∵两个交点在y轴两侧，∴x1•x2＜0，即＜0，∴a＞0，因此①符合题意；当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点为（0，﹣3），当b＞0时，而a＞0，对称轴在y轴的左侧，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因此②符合题意；当x＝1时，y＝a+b﹣3的值无法确定，故③不符合题意，一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根就是一元二次方程ax2+bx﹣3＝﹣2的两根，实际上就是抛物线y＝ax2+bx﹣3，与直线y＝﹣2的两个交点的横坐标，当抛物线的对称轴位于y轴的左侧时，a、b同号，此时一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的两根异号，故④符合题意；故答案是：①②④．三．简答题。（共8小题．17-19每题6分，20、21题8分，22、23每题10分，24题12分）17．（6分）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围．【分析】（1）把A、B两点坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法可求得其解析式，再化为顶点式即可求得其顶点坐标；（2）由解析式可求得其对称轴，再结合函数的增减性分0＜x＜1和1＜x＜3分别求y的最大值和最小值即可求得y的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，y随x的增大而增大，∴当0＜x＜1时，当x＝0时，y有最大值为﹣3，当x＝1时，y有最小值为﹣4，当1＜x＜3时，当x＝3时，y有最大值为0，当x＝1时，y有最小值为﹣4，∴当0＜x＜3时，﹣4≤y＜0．18．（6分）为响应垃圾分类处理，改善生态环境的号召，某小区将生活垃圾分成四类：厨余垃圾、可回收垃圾、不可回收垃圾、有害垃圾，分别记为a、b、c、d，且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾”箱，“可回收垃圾”箱，不可回收垃圾，“有害垃圾箱，分别记为A，B，C，D．（1）如果将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱，则投放正确的概率是；（2）小明将家里的厨余垃圾、可回收垃圾分装在两个袋中，用画树状图或列表的方法求这两袋垃圾都投放正确的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解可得答案；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【解答】解：（1）将一袋有害垃圾任意投放进垃圾箱有4种等可能结果，其中投放正确的只有1种结果，∴投放正确的概率是，故答案为：；（2）列表如下：ABCDA（A，A）（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（B，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（C，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）（D，D）所有等可能的情况数有16种，其中垃圾投放正确的有1种，∴垃圾投放正确的概率为．19．（6分）已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，4），B（﹣3，4），C（﹣5，2）．（1）请在坐标平面内画出△ABC；（2）请在y轴上找一点P，使线段AP与BP的和最小，并直接写出P点坐标（保留作图痕迹）．【分析】（1）根据A（﹣1，4），B（﹣3，4），C（﹣5，2）．即可在坐标平面内画出△ABC；（2）作点A关于y轴的对称点A′，即可找到点P，根据两点之间，线段最短可得线段AP与BP的和最小，进而可得P点坐标．【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求；（2）如图，点P即为所求，P点坐标为（0，4）．20．（8分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD．（1）求证：△ABE∽△ACD；（2）若E是线段AD的中点，求的值．【分析】（1）先由角平分线的定义得∠BAE＝∠CAD，再由等腰三角形的性质得∠BED＝∠BDE，则∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）先由相似三角形的性质得＝＝，则BE＝CD，再由BE＝BD得BD＝CD，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE，∴∠AEB＝∠ADC，∴△ABE∽△ACD；（2）解：∵E是线段AD的中点，∴AE＝AD，∵△ABE∽△ACD，∴＝＝，∴BE＝CD，∵BE＝BD，∴BD＝CD，∴＝．21．（8分）如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A，速度为1cm/s，若AB＝10cm，点O到AC的距离为4cm．（1）求弦AC的长；（2）问经过多长时间后，△APC是等腰三角形．【分析】（1）过O作OD⊥AC于D，易知AO＝5，OD＝4，从而AD＝3，AC＝6；（2）有三种情况需要考虑：AC＝PC，AP＝AC，AP＝CP，分别求出三种情况下，PB的值，即经过的时间．【解答】解：（1）如图1，过O作OD⊥AC于D，易知AO＝5，OD＝4，从而AD＝＝3，∴AC＝2AD＝6；（2）设经过t秒△APC是等腰三角形，则AP＝10﹣t①如图2，若AC＝PC，过点C作CH⊥AB于H，∵∠A＝∠A，∠AHC＝∠ODA＝90°，∴△AHC∽△ADO，∴AC：AH＝OA：AD，即AC：＝5：3，解得t＝s，∴经过s后△APC是等腰三角形；②如图3，若AP＝AC，由PB＝x，AB＝10，得到AP＝10﹣x，又∵AC＝6，则10﹣t＝6，解得t＝4s，∴经过4s后△APC是等腰三角形；③如图4，若AP＝CP，P与O重合，则AP＝BP＝5，∴经过5s后△APC是等腰三角形．综上可知当t＝4或5或s时，△APC是等腰三角形．22．（10分）小明的爸爸想在自家院子里用长为12米的篱笆围成一个矩形小花园，爸爸问小明，矩形的相邻两边长分别设计为多少米时小花园面积最大（不考虑接缝）？小明利用学习的《函数及其图象》知识探究如下，请将他的探究过程补充完整．（1）【建立函数模型】由矩形的周长为12，设它的一边长为x，面积为y，则y与x之间的函数关系式为y＝﹣x2+6x，其中自变量x的取值范围是0＜x＜6；（2）【画出函数图象】①x与y的几组对应值列表如表：x…0.511.522.533.544.555.5…y…2.7556.7588.7598.758m52.75…其中m＝6.75；②根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中已描出了一部分对应值为坐标的点，请你画出该函数的大致图象；（3）【观察图象解决问题】①写出该函数的一条性质：当0＜x＜3时，y随x的增大而增大．；②当x＝3时，矩形小花园的面积最大．【分析】（1）①先用含x的式子表示宽，然后表示面积y，自变量x的范围与周长有关；②将x＝4.5代入解析式，求出m；（2）用平滑的曲线连接成图象；（3）①从增减性和最大值入手，性质不唯一，合理即可．②由图象的顶点求出矩形面积的最大值时的x的值．【解答】解：（1）∵周长为12，长为x，∴宽为：6﹣x，∴y＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x（0＜x＜6）．故答案为：﹣x2+6x，0＜x＜6．（2）①当x＝4.5时，y＝6.75．故答案为：6.75．②函数图象如图所示：（3）①由图象可知，当0＜x＜3时，y随x的增大而增大；当3＜x＜6时，y随x的增大而减小；x＝3时，函数的最大值为9．（答案不唯一，合理即可）故答案为：当0＜x＜3时，y随x的增大而增大（答案不唯一，合理即可）．②由图象可知，x＝3时，矩形的面积取得最大值．故答案为：3．23．（10分）（感知）如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．可知△DAP∽△PBC．（探究）如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A＝∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP∽△PBC；（2）若PD＝4，PC＝8，BC＝6，求AP的长；（应用）如图③，在△ABC中，AC＝BC＝8，AB＝12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连接CP，作∠CPE＝∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，求AP的长．【分析】（1）根据三角形的外角性质得到∠DPB＝∠A+∠PDA，得到∠PDA＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（应用）证明△ACP∽△BPE，分CP＝CE、PC＝PE、EC＝EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵∠DPB是△APD的外角，∴∠DPB＝∠A+∠PDA，即∠DPC+∠CPB＝∠A+∠PDA，∵∠A＝∠DPC，∴∠PDA＝∠CPB，∵∠A＝∠B，∴△DAP∽△PBC；（2）解：∵△DAP∽△PBC，∴＝，∵PD＝4，PC＝8，BC＝6，∴＝，解得：AP＝3；（应用）∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB＝∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB＝∠A+∠PCA，∵∠A＝∠CPE，∴∠ACP＝∠BPE，∵∠A＝∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP＝CE时，∠CPE＝∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE＝∠A＝∠B，∴CP＝CE不成立；当PC＝PE时，△ACP≌△BPE，则PB＝AC＝8，∴AP＝AB﹣PB＝12﹣8＝4；当EC＝EP时，∠CPE＝∠ECP，∵∠B＝∠CPE，∴∠ECP＝∠B，∴PC＝PB，∵△ACP∽△BPE，∴＝＝，即＝＝，解得：PB＝，∴AP＝AB﹣