《概率论与数理统计》课件 孟祥波 第八章 假设检验

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第八章假设检验第一节假设检验的基本概念二、假设检验的基本步骤一、假设检验的基本思想三、假设检验的两类错误四、小结某车间用一台包装机包装葡萄糖，袋装葡萄糖的净重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其平均值为0.5kg，标准差为0.015kg．某日开工后为检验包装机是否正常，随机抽取其所包装的葡萄糖9袋，测得样品的平均值为0.511kg，这些数据是否表明实际的袋装葡萄糖净重与目标值有显著性的差异呢？一、假设检验的基本思想例1：（4）根据样本值，按照一定的规则，做出接受或拒绝假设的决定，再回到原问题上就回答了“是”或“否”．（3）把“是”转化到样本分布上得到一个命题，称为假设；（2）取得样本，同时要知道样本的分布；（1）明确要解决的问题，答案只能为“是”或“否”；解决这个问题的办法我们要做到：这里的“规则”是人们在实践中普遍采用的实际推断原理，也称小概率原理，即小概率事件在一次试验中几乎不会发生．小概率值记为，称为显著性水平（检验水平）．精度要求越高，的值就越小．一般取等．

假设检验的基本思想：首先对总体的分布参数做出假设

，称为原假设，其对立面称为备择假设，记为

．在假设为真的前提下，构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件发生了，就拒绝，否则就接受．例题求解：提出假设假设在原假设成立的条件下，选取样本函数例题求解：取，查表得由该样本有即例题求解：计算样本函数值从而拒绝原假设，认为这天包装机工作不正常．此时小概率事件发生了，本题标注：小概率事件称为拒绝域或否定域，记为

拒绝域的边界点，称为临界点．样本函数称为检验统计量．二、假设检验的基本步骤第一步：根据实际问题提出合理的原假设

和备择假设，

即说明要检验的假设的具体内容；第二步：根据已知选取适当的统计量，并在原设成立的条件

下确定该统计量的分布；

第四步：根据样本的观测值计算出统计量的观测值，并与临界

值比较，从而做出拒绝原假设

还是接受原假设

的判断.第三步：根据问题的具体要求，对于给定的显著性水平

，

根据统计量的分布查表，确定统计量对应于

的临

界值，从而得到一个合理的拒绝域；三、假设检验的两类错误假设检验是利用小概率原理作出统计判断，而“小概率事件”是否发生与样本及显著性水平

有关，由于样本的随机性及显著性水平

的不同，从而做出错误的判断三、假设检验的两类错误（1）当原假设

成立时，小概率事件也可能发生，而检验结果却拒绝，犯了“弃真”错误，称为第一类错误即（2）当原假设

不成立时，但抽样检验未发生不合理结果，从而接受，犯了“取伪”错误，称为第二类错误即设总体，是该总体的样本，对于假设检验已知拒绝域为

，问：此检验犯第一类错误的概率是多少？若，则犯第二类错误的概率是多少？例2：解：设犯第一类错误的概率记为显著水平，即由，则，故有解：设犯第二类错误的概率记为显著水平，由，则，即所以小结1.主要内容：假设检验的基本思想；基本步骤；

两类错误2.基本概念：原假设、备择假；

拒绝域，临界点，检验统计量

第一类“弃真”错误

第二类“取伪”错误概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第八章假设检验第二节单个正态总体的假设检验三、小结二、正态总体方差的假设检验一、正态总体均值的假设检验给定显著水平，检验或的假设．样本均值与样本方差分别为设总体，抽取的样本为第二步：选取检验统计量第三步：按照显著水平，确定拒绝域一、正态总体均值的假设检验（1）已知方差，关于的假设检验第一步：建立假设第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值

，比较与的大小，从而得出结论．（检验法）一、正态总体均值的假设检验第二步：选取检验统计量第三步：按照显著水平，确定拒绝域（2）未知方差，关于的假设检验第一步：建立假设第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值

，比较与的大小，从而得出结论．（检验法）例8.2.1某车间用一台包装机包装精盐，额定标准每袋净重500g．在机器正常工作下，包装机包装出的每袋精盐的重量服从正态分布

，为了检查某天该车间包装机工作是否正常，某天随机抽取9袋，称得净重（单位：g）分别为497506518524488511510

515512问该天包装机工作是否正常？（取显著性水平

）

解：提出假设选取检验统计量显著水平的拒绝域由样本得，计算检验统计量的观测值

提出假设解：由于，即可以认为包装机工作正常．未落入拒绝域内，故接受例8.2.2某化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得9包化肥的质量（单位：kg）如下：49.749.8

50.3

50.5

49.7

50.149.950.550.4设每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50kg？（取显著性水平

）解：选取检验统计量显著水平的拒绝域设每包化肥的质量提出假设

提出假设解：由样本得，计算检验统计量的值由于，即可以认为每包化肥的平均质量为50kg．未落入拒绝域内，故接受第二步：选取检验统计量第三步：按照显著水平，确定拒绝域二、正态总体方差的假设检验（1）已知均值，关于的假设检验第一步：建立假设（检验法）第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值

，比较与和的大小，从而得出结论．第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值

，比较与和的大小，从而得出结论．二、正态总体方差的假设检验第二步：选取检验统计量（2）未知均值，关于的假设检验第一步：建立假设第三步：按照显著水平，确定拒绝域（检验法）例8.2.3某供货商声称他们提供的金属线的质量非常稳定，其抗拉强度的方差为9．为了检验抗拉强度，在该金属线中随机的抽出10根，测得样本的标准差

，设该金属的抗拉强度服从正态分布

，问：是否可以相信该供货商的说法？（取显著性水平

）解：提出假设选取检验统计量显著水平的拒绝域设金属的抗拉强度

提出假设解：落入的拒绝域计算检验统计量的观测值故拒绝，即不能相信该供货商的说法．小结假设检验的具体步骤及方法：（检验法）（检验法）（检验法）（检验法）1.已知方差，关于的假设检验2.未知方差，关于的假设检验3.已知均值，关于的假设检验4.未知均值，关于的假设检验概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第八章假设检验第三节两个正态总体的假设检验三、小结二、正态总体方差之比的假设检验一、正态总体均值差的假设检验一、正态总体均值差的假设检验选取检验统计量显著水平，1.均为已知在实际问题中，经常考虑两个总体的均值是否相等的问题，即检验假设的拒绝域为一、正态总体均值差的假设检验选取检验统计量考虑检验假设显著水平，的拒绝域为2.均未知，但其中例8.3.1

在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度，一种是冷轧钢板，另一种是双面镀锌钢板．现从冷轧钢板中抽取20个样品，测得强度的均值为

从双面镀锌钢板中抽取25个样品，测得强度的均值为

，设两种钢板的强度服从正态分布

，其方差分别为

，问：两种钢板的平均强度是否有显著性的差异？（显著水平）解：提出假设选取检验统计量计算检验统计量观测值提出假设解：落入的拒绝域，故拒绝即可以认为两种钢板的平均强度有显著性的差异．显著水平例8.3.2某灯泡厂有I型灯泡和II型灯泡，分别抽取10个灯泡进行寿命试验．经计算得到I型灯泡的样本均值为2460（h），样本标准差为56（h）；II型灯泡的样本均值为2550（h），样本标准差为48（h）．设两种灯泡的使用寿命均服从正态分布且方差相等，问：两种灯泡的平均使用寿命是否存在显著性差异？（显著水平）解：提出假设选取检验统计量其中经计算得得检验统计量的观测值落入的拒绝域，故拒绝即可以认为两种灯泡的使用寿命有显著性的差异．显著性水平二、正态总体方差比的假设检验选取检验统计量在实际问题中，经常考虑两个总体方差是否相等的问题，即检验假设只讨论正态总体均值均未知的情形二、正态总体方差比的假设检验均未知显著性水平，的拒绝域为检验统计量当为真时，（检验法）例8.3.3两箱中分别装有甲、乙两厂生产的产品，欲比较它们的重量．甲厂产品重量

，乙厂产品重量

，从

中抽取10件，测得重量的平均值

，标准差

，从中抽取16件，测得重量的平均值，标准差

，问：甲、乙两厂产品重量的方差有没有显著性的差异？（显著水平）解：提出假设选取检验统计量均未知，得检验统计量的观测值未落入的拒绝域，故接受即可以认为两厂产品重量的方差没有显著性的差异．小结主要概念：1.正态总体均值差的假设检验；（1）均为已知（2）均未知，但2.正态总体方差比的假设检验，均未知的情形．概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第八章假设检验第四节单侧假设检验一、单侧假设检验二、小结一、单侧假设检验

在实际问题中，除了研究参数是否等于某个值之外，有时还需要研究参数是否大于或小于某个值．如某日生产的某一批电子元件的使用寿命均值有所提高？经过工艺的改善，某种产品生产的平均成本有所下降？此时原假设的拒绝域应该取在某一侧，这类的假设检验称为单侧假设检验．设总体，是来自总体的样本，其中已知，检验是否有所降低？考虑假设检验（1）时，给定显著水平，有考虑假设检验（2）时，给定显著水平，有由，得考虑假设检验是小概率事件，则拒绝，接受若，则接受，认为若称为左侧假设检验称为右侧假设检验例8.4.1一台机床加工轴的椭圆度（单位：mm）服从正态分布

，机床经调整后随机抽取20根测量其椭圆度，算得

，假定调整后椭圆度仍服从正态分布，且其方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值有无显著性降低？（显著水平）解：经调整后机床加工轴的椭圆度建立假设选取检验统计量显著水平，查表得的拒绝域检验统计量由，得检验统计量观测值未落入的拒绝域，故接受即调整后机床加工轴的椭圆度的均值无显著性降低．例8.4.2自动车床加工某种零件的直径（单位：mm）服从正态分布

，原来的加工精度

，经过一段时间后，需要检验是否保持原来的加工精度，即检验原假设

，为此，从该车床加工的零件中抽取30个，测得样本的方差

，问加工精度有无显著性降低？（显著水平）解：选取检验统计量这里提出假设未知，计算检验统计量观测值未知，落入的拒绝域，故拒绝，接受即认为该自动车床的加工精度有显著性降低．例8.4.3某灯泡厂有I型灯泡和II型灯泡，分别抽取10个灯泡进行寿命试验.经计算得到I型灯泡的样本均值为2460（h），样本标准差为56（h）；II型灯泡的样本均值为2550（h），样本标准差为48（h）．设两种灯泡的使用寿命均服从正态分布且方差相等，问是否可以认为II型灯泡的平均使用寿命有显著性提高？（显著水平）解：选取检验统计量其中提出假设均未知，但检验统计量观测值计算得查表得落入的拒绝域，故拒绝，接受即可以认为Ⅱ型灯泡的平均使用寿命有显著性提高．例8.4.4现有甲、乙两台车床加工同一型号的螺钉，根据以往经验认为两台车床加工的螺钉长度服从正态分布．现从这两台车床加工的螺钉中分别抽取15个和11个，测得长度（单位：mm）的方差分别为

，

，问乙车床的加工精度是否高于甲车床（即乙车床加工的螺钉长度的方差是否比甲车床的小）？（显著水平）其中提出假设均未知，解：设和分别表示甲、乙两台车床加工的螺钉的长度，则有选取检验统计量计算得未落入的拒绝域，故接受即不能认为乙车床的加工精度高于甲车床．查表得小结小结小结小结概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第八章假设检验第五节非正态总体参数的假设检验一、非正态大样本总体均值的假设检验二、大样本总体比率的假设检验三、小结一、非正态大样本总体均值的假设检验1.单个总体均值的假设检验第一步：建立假设第二步：选取检验统计量（1）总体方差已知：（2）总体方差未知：第三步：根据显著性水平和检验统计量的分布，查表确定临界值，得到合理的拒绝域．第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值，比较大小，从而得出结论．2.两个总体均值的假设检验第一步：建立假设第二步：选取检验统计量（1）两总体方差已知：（2）两总体方差未知：第三步：根据显著性水平和检验统计量的分布，查表确定临界值，得到合理的拒绝域．第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值，比较大小，从而得出结论．例8.5.1已知某地正常人血清转铁蛋白含量均值为273.18，某医生随机抽取了100名病毒性肝炎患者，测得血清转铁蛋白含量均值为230.08，方差为，问：病毒性肝炎患者血清转铁蛋白含量均值是否低于正常人？（取显著水平）解：提出假设构造检验统计量这里看成大样本，计算检验统计量观测值检验统计量观测值

查表得

落入的拒绝域内，故拒绝，接受即可以认为病毒性肝炎患者血清转铁蛋白含量均值低于正常人．例8.5.2某地随机抽取正常男子和正常成年女子各150名，测定其红细胞计数（单位L），男性均值为4.71，方差为

，女性均值为4.22，方差为

，问：男女红细胞计数有无显著性差别？（取显著水平）解：提出假设构造检验统计量看成大样本，计算检验统计量观测值

查表得

落入的拒绝域内，故拒绝，接受即可以认为男女红细胞计数有显著性差别．检验统计量观测值二、大样本总体比率的假设检验总体比率是指总体中具体某种相同特征的个体所占的比值，这些特征可以是数值型的（如一定的重量、厚度或规格等），也可以是品质型的（如男女性别、学历等级、职称高低等）．表示总体比率表示对总体比率的某一假设值，表示样本比率1.单个总体比率与已知定值的比较检验第一步：建立假设第二步：选取检验统计量第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值，比较大小，从而得出结论．大样本情况下，的抽样分布近似正态分布第三步：根据显著性水平和检验统计量的分布，查表确定临界值，得到合理的拒绝域2.两个总体率的比较检验第一步：建立假设第二步：选取检验统计量第四步：由样本观测值计算出统计量的观测值，比较大小，从而得出结论．大样本情况下，的抽样分布近似正态分布第三步：根据显著性水平和检验统计量的分布，查表确定临界值，得到合理的拒绝域其中例8.5.3根据国家有关质量标准，某厂生产的某种药品次品率不得超过0.6%．现从该厂生产的一批药品中随机抽取150件进行检验，发现其中有两件次品，试问该批药品的次品率是否已超标？（取显著水平）解：提出假设构造检验统计量看成大样本，计算检验统计量观测值

查表得

未落入的拒绝域内，故接受即可以认为该批药品的次品率没有超标．检验统计量观测值例8.5.4某医生为比较槟榔煎剂和阿的平的驱虫效果，用槟榔煎剂治疗了54例绦虫患者，有效率为81.48%；用阿的平治疗了36例绦虫患者，有效率为66.67%．问两种药物驱虫效果有无显著性差异？（取显著水平）解：提出假设构造检验统计量看成大样本

查表得

未落入的拒绝域内，故接受即可以认为两种药物驱虫效果无显著性差异．计算检验统计量观测值小结1.单个总体均值的假设检验（1）总体方差已知：（2）总体方差未知：一、非正态大样本总体均值的假设检验小结2.两个总体均值的假设检验（2）两总体方差未知：（1）两总体方差已知：小结1.单个总体均值的假设检验检验统计量二、大样本总体比率的假设检验小结2.两个总体率的比较检验检验统计量二、大样本总体比率的假设检验其中概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第八章假设检验第六节综合例题例8.6.1设总体，为来自总体的样本，考虑如下检验问题：（1）试验证拒绝域分别为

或或时，犯第一类错误的概率都是（2）通过计算他们犯第二类错误的概率，说明哪个检验最好？解：（1）由可知，这里故有对于有对于有因此对于有因此（2）犯第二类错误的概率对于对于对于由此可见试验出现第二类错误的概率最小，即最好例8.6.2机器包装食盐，每袋净重量

（单位：g）服从正态分布，规定每袋净重量为500（g），标准差不能超过10（g）．某天开工后，为检验机器工作是否正常，从包装好的食盐中随机抽取9袋，测得其净重量分别为：497507510475484488524491515试在显著性水平

下，检验这天包装机工作是否正常？

解：（1）检验均值，提出假设检验包装机工作是否正常，就是要检验均值是否为

，方差是否小于未知，构造检验统计量这里则提出假设检验统计量观测值

查表得

未落入的拒绝域内，故接受即可以认为每袋平均重量为500（g）．（2）再检验方差未知，构造检验统计量计算得提出假设（2）再检验方差，提出假设

落入的拒绝域内，故拒绝，接受即可以认为标准差大于10综上，尽管包装机没有系统误差，但是工作不够稳定，因此这天包装机工作不正常例8.6.3在20世纪70年代后期人们发现，酿造啤酒时，在麦芽干燥过程中形成一种致癌物质亚硝基二甲胺(NDMA)．到了20世纪80年代初期开发了一种新的麦芽干燥过程，下面是新、老两种工艺形成的NDMA含量的抽样（以10亿份中的份数记）：设新、老两种工艺中形成的NDMA含量服从正态分布，且方差相等，试分别以

记老、新工艺的总体均值，检验（取显著水平）老工艺645565564674新工艺212210321013解：构造检验统计量记老工艺中形成的NDMA含量为

，新工艺中形成的NDMA含量为

提出假设由于与未知，但相等提出假设解：

查表得

落入的拒绝域内，故拒绝，接受这里计算得即可以认为

．例8.6.4从某厂生产的产品中随机抽取200件样品进行质量检验，发现有9件不合格品，问是否可以认为该厂产品的不合格率不大于3%？（取显著水平）分析：设服从“0-1”分布但样本容量，属于大样本，因此服从正态分布由于不合格品率，所以本题按正态总体均值进行检验解：提出假设由于构造检验统计量计算得提出假设解：

查表得

未落入的拒绝域内，故接受

即可以认为该厂产品的不合格率不大于3%．计算得例8.6.5在漂白工艺中，温度会对针织品的断裂强力有影响．假定断裂强力服从正态分布，在两种不同温度下，分别进行了8次试验，测得断裂强力的数据如下（单位：kg）700C：20.518.819.820.921.519.521.021.2800C：17.720.320.018.819.020.120.219.1

判断这两种温度下的断裂强力有无明显差异？（取显著水平）分析：判断这两种