考点13平面向量的应用

考点13平面向量的应用1.【2023全国乙卷】正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=A.5 B.3 C.25 D.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了求向量的数量积，属于基础题．建立平面直角坐标系，分别求出EC,【解答】解：以E点为坐标原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则D(−1,2)，C(1,2)，E(0,0)，所以EC所以EC·故选：B.

2.【2022北京】在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90∘.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则PA⋅A.[−5,3] B.[−3,5] C.[−6,4] D.[−4,6]【答案】D

【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积计算

法一：建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求解

法二：利用平面向量的线性运算与数量积运算进行求解【解答】

解：法一：建立如图所示坐标系，

由题易知，设C(0,0)，A(3,0)，B(0,4)，∵PC=1，∴设P(cosθ,sinθ)，θ∈[0,2π)

PA⋅PB=(3−cosθ,−sinθ)⋅(−cosθ,4−sinθ)=−3cosθ−4sinθ+cos2θ+sin2θ

=1−5sin(θ+φ)(sinφ=35,cosφ=45)∈[−4，6]

法二：注意：<3.【2020新高考Ⅰ卷】已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP⋅AB的取值范围是

(

)A.(−2,6) B.(−6,2) C.(−2,4) D.(−4,6)【答案】A

【解析】【分析】本题考查向量数量积，属于综合题．

根据投影的几何意义即可解答．【解答】

解：AP⋅AB=AP⋅AB⋅cos<AP,AB>=2APcos<AP,AB>,

由投影定义知，当点P与点F重合时，

AP⋅4.【2021新高考Ⅰ卷】已知O为坐标原点，点P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,−sinβ)，P3(cos(α+β),A.|OP1|=|OP2| 【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查同角三角函数基本关系式及两角和的三角函数，是中档题．

由已知点的坐标分别求得对应向量的坐标，然后逐一验证四个选项得答案．

【解答】

解：∵P1(cosα,sinα)，P2(cosβ,−sinβ)，P3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，

∴OP1=(cosα,sinα)，OP2=(cosβ,−sinβ)，

OP3=(cos(α+β),sin(α+β))，OA=(1,0)，

AP1=(cosα−1,sinα)，AP2=(cosβ−1,−sinβ)，

则|OP1|=cos2α+sin2α=15.【2022浙江】设点P在单位圆的内接正八边形A1A2⋯A8的边A1【答案】[12+2【解析】【分析】本题考查平面向量的求解，利用平面直角坐标系，考查转化能力，运算求解能力，属于较难题．

建立直角坐标系，表达出坐标，设点P(x,y)，转化为不等式的求解，进而表达出范围．【解答】解：根据题意可得，以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，A5A1所在直线为y轴建立平面直角坐标系，

则A1(0,1)，A2(22,22)，A3(1,0)，A4(22,−226.【2021浙江】已知平面向量，，满足，，，

，记平面向量在，方向上的投影分别为x，y，在方向上的投影为，则的最小值的等于__________．【答案】25．【解析】【解析】根据权方和不等式可知，

m2+n2+7.【2020北京】已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AB+AC)，则【答案】5；；−1【解析】【分析】本题考查了向量的模和向量的数量积的运算，建立直角坐标系是解题的关键．根据题意建立直角坐标系，求出点P的坐标，然后利用向量的模的计算公式和向量的数量积公式可求出答案．【解答】

解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点A0,0、B2,0、C2,2、D0,2，

AP=12(AB+AC)=12(2,0)+12(2,2)=(2,1)，

则点P(2,1)，

8.【2020天津】如图，在四边形ABCD中，∠B=60°,AB=3，BC=6，且AD=λBC,AD·AB=−32，则实数λ的值为

，若M,N是线段BC上的动点，且MN【答案】16【解析】【分析】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题．

可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点(其中)，得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值．【