2015年清华大学夏令营试题解析

2015年清华大学夏令营试题解析01一质量为m、长为L的柔软绳自由悬垂，下端恰与一台秤的秤盘接触，如图1所示.某时刻放开柔软绳上端，求台秤的最大读数.解析设t时刻落到秤盘的绳长为x，此时绳速为.在时间内，有质量为的绳落到盘秤上，其中为绳的线密度.取向上为正方向，根据动量定理，有（忽略微元段绳本身的重力冲量）.解得.故.所以台秤的最大读数为3mg，出现在软绳将要全部掉到盘秤上时.02单位面积带电量为的无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为R的圆板，如图2所示.求圆孔轴线上任意一点Q（坐标为x）的电场强度.解析无限大平板挖去一个圆板所产生的场强E可以等效为一个无限大平板产生的场强减去一个半径为R的圆板产生的场强.根据高斯定理，有.由积分可求得带电圆板产生的场强为.所以合场强为.03如图3所示，一对等量异号点电荷和的间距为，求两电荷延长线上一点和中垂面上一点的场强，和到两电荷连线中点O的距离都是r.解析点的场强为点的场强为对于电偶极子，之间的距离l远比场点到它们的距离r小得多.当时，有，.所以在电偶极子延长线上，的大小为.在中垂面上，的大小为.04推导点电荷的电势表达式.解析在正点电荷Q的电场中，把正试探电荷q沿电场线从a点移到b点，我们来计算在此过程中库仑力所做的功.我们把ab分成很多足够小的小段，其中任一小段的两端到场源电荷的距离分别为和，则试探电荷在该段所受的平均力为.于是库仑力在这一小段里做的功为.对各小段的功求和，就得到库仑力对试探电荷所做的总功，即.于是a、b两点的电势差为.规定离场源电荷无穷远处（即）为电势零点，则在离场源电荷处的电势为.05如图4所示，某质子加速器使每个质子获得动能，很细的质子束射向一个远离加速器、半径为r的金属球，从球心到质子束延长线的垂直距离为.假定质子与金属球相碰后将其电荷q全部交给金属球，经足够长时间后，求金属球的最高电势值（以无穷远处的电势为零）.解析设质子初速度为，当金属球充电到电势为U时，质子与金属球相切而过，此时速度设为v.由于质子在向金属球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故质子对球心O的角动量守恒，有.解得.根据动能定理，有.解得.06如图5所示，质量为M的足够长金属导轨abcd放在光滑的绝缘水平面上.一电阻不计、质量为m的导体棒PQ放置在导轨上，始终与导轨接触良好，PQbc构成矩形.棒与导轨间的动摩擦因数为μ，棒左侧有两个固定于水平面的立柱.导轨bc段长为L，开始时PQ左侧导轨的总电阻为R，右侧导轨单位长度的电阻为。.以ef为界，其左侧匀强磁场方向竖直向上，右侧匀强磁场水平向左，磁感应强度大小均为B.在t=0时，一水平向左的拉力F垂直作用于导轨的bc边上，使导轨由静止开始做匀加速直线运动，加速度为a.（1）求回路中感应电动势及感应电流随时间变化的表达式.（2）经过多少时间拉力F达到最大值？拉力F的最大值为多少？（3）某一过程中回路产生的焦耳热为Q，导轨克服摩擦力做功为W，求导轨动能的增加量.解析（1）感应电动势为.感应电流为.（2）导轨所受安培力为.导轨所受摩擦力为.根据牛顿第二定律，有.解得.由均值不等式，得.上式取等号的条件为，即.所以拉力F的最大值为.（3）设此过程中导轨运动距离为s，根据动能定理，有.摩擦力做功为.解得.导轨动能的增加量为.07如果质量相同的小球a、b在沿一条直线运动的过程中发生弹性正碰撞，则a的碰后速度等于b的碰前速度，b的碰后速度等于a的碰前速度.如图6所示，将光滑水平绝缘的大桌面取为坐标面，空间有竖直向下（图中朝里）的匀强磁场B.（1）平面上的小球a，质量为m、电量为，初速度方向垂直于y轴，大小为，而后a将做匀速圆周运动，试求圆周运动的半径R和运动周期T.（2）图6中小球、质量同为m，电量也同为q，开始时分别位于y轴上的、（>）位置，初速度方向如图所示，大小也同为.设、间可能发生的碰撞都是弹性碰撞而且不会相互转移电荷（下同）.已知能到达处，试求-的所有可能取值.（3）图6中小球b的质量也为m，电量也为q，t=0时位于x轴上距O稍远的位置，初速度大小也为.现在给你一个质量为m、电量为-q、初速度大小为的小球.t=0时的初始位置和初始速度方向由你选定，但要求在时刻（），b球可达到x轴上与相距尽可能远的（>）位置，最后给出你所得的-的值.设b与两球发生弹性正碰，而且电量也不会转移.（注：解题时可以略去球之间的电作用力）.解析（1）洛伦兹力提供带电小球做匀速圆周运动的向心力，则解得带电小球做匀速圆周运动的周期为.（2）第一种情况如图7所示，两球未发生碰撞，转过半圈后到达处，转过半圈后到达处，则.第二种情况如图8所示，两球各自转过半圈后相碰，发生弹性碰撞并交换速度，以后转过半圈后到