第12章量子力学4态叠加测不准原理方程

§12.5态叠加与测不准原理量子力学的几大假设：概率波：态叠加和不确定关系薛定谔方程力学量用算符表示算符对易关系全同粒子交换对称经典波的叠加性：干涉和衍射

1.若是粒子的可能状态，则粒子也可处在它们的线性迭加态

2.当体系处于态时，发现体系处于态的几率是，前提，归一化波函数：态叠加导致测量结果不确定性概率波叠加：一、态叠加最简单的态叠加：空间波包光的偏振，自旋过滤，电子双缝干涉两个垂直偏振方向的偏振态的线性叠加复线性叠加，圆偏振或椭圆偏振，实线性叠加，线偏振部分处于x态，部分处于y态xyY’X’或者，部分处于x’态，部分处于y’态思考：一堆光子，50%光子处于x偏振，50%处于y偏振，一个光子，50%几率x偏振，50%几率y偏振，二者描述的是否同一件事情，并说明理由。前者几率的叠加，后者几率幅的叠加前者相干叠加，有固定偏振方向后者非相干叠加，非偏振态（量子态）解答：X偏振态和y偏振态相干叠加相干项非相干叠加非量子态双缝干涉：点源处标记为s，屏幕x，从s出发到达x的态相干叠加态电子双缝衍射等概率幅的相干叠加，波粒二相设想：子弹和声波通过双缝，会是什么情形？声波：既1又2，相干叠加波的相干叠加，但是没有概率的概念等概率的非相干叠加，没有波的概念子弹穿过双缝：非1即2，概率叠加子弹和电子有区别吗？真实的子弹双缝衍射物质波，有相干效应，但是波长太小，仪器无法分辨相干效应非常微弱，既容易被破坏（观察者）尺寸的差别测量电子究竟通过哪一个缝观测破坏相干性，变成概率叠加无法同时分辨小孔和保持动量测不准原理在作怪想要分辨就破坏相干，想保持相干就无法分辨如果能看见就非此即彼，如果看不见就亦此亦彼位置和运动状态（方向，速度，动量）不可能同时确定测不准原理！

二、不确定关系量子力学：位置和动量（某一方向）不能同时确定。二者的不确定度满足不确定关系经典力学：任意时刻质点在轨道上有确定的位置和速度，表示为:

海森伯（W.Heisenberg）1927年由量子力学给出更严格的结论，位置和动量的不确定关系：海森堡获1932年诺贝尔物理学奖更一般的结论：事实上，不仅仅是坐标和动量，一切不相关（不对易）的物理量，都不能同时确定，受不确定关系限定。特殊的对耦的物理量：形象描述：倒空间和正空间，数学关系：二者满足傅里叶变换物理关系：对易子=普朗克常量对耦的物理量：坐标和动量，时间和能量，角坐标和角动量，。。。1)位置的不确定程度

电子在单缝处的位置不确定量为三、电子单缝衍射的不确定关系I2）动量的不确定程度U落在主极大条纹内电子的动量不确定度或：代入(2)式有x方向上的动量不确定度大于主条纹：四、能量与时间的不确定性关系粒子可能发生的位移能级自然宽度和寿命两边微分超出测量限度，可认为位置、动量可同时确定。2.不确定关系对宏观物体不显现作用。如m=1g的物体，不超过10-6m（这是可以做到的），讨论1.不确定关系说明：微观粒子在某个方向上的坐标和动量不能同时准确地确定，其中一个不确定量越小，另一个不确定量越大，若为零，则无穷大。隔壁车库内的汽车突然闯入了客厅

这在微观世界里是可能发生的图象。该图包含着两个物理内容：1.由不确定关系，汽车在车库中永远不会静止。2.物体在有限势阱内（车库的壁）有一定透出的概率。

该图出自伽莫夫的《物理世界奇遇记》事实上，因为h是极小的量，不确定关系对宏观物体不显现作用例1原子线度按估算，原子中的电子的动能按估算，求原子中电子运动速度的不确定量。电子速度的不确定度为解原子的线度就是原子中电子的位置不确定度，即m按照经典力学计算，电子的速度为

有相同的数量级，即粒子的速度完全不确定。

和由不确定关系例2：电视显像管中电子的加速电压为9kV，电子枪枪口的直径为0.1mm,求电子射出枪口后的横向速度。解：Δx

=0.1mm=1×10-4

mm=9.11×10-31kg

=1.2

m/s纵向速度！=6

107m/s例3．求线性谐振子的最小可能能量。解:线性谐振子沿直线在平衡位置附近振动，坐标和动量都有一定限制，即沿x方向的线性谐振子能量为：因此可以用坐标-动量不确定关系来计算其最小可能能量，为求E的最小值，先计算令可得可得最小可能能量为思考:?12.6.2定态薛定谔方程

12.6.1含时薛定谔方程

§

12.6薛定谔方程

(SchrödingerEquation)

在经典力学中，物体的运动满足牛顿定律，它给出了物体运动状态随时间的变化规律。

在量子力学中，微观粒子的运动规律用薛定谔方程描述。所谓微观粒子的运动规律,也就是波函数ψ随时间和空间的变化规律。

玻恩的统计观点解释了微观粒子波动性和粒子性之间的关系，但是并没有说明波函数是如何随时间变化的，我们还需要知道微观粒子的运动遵循什么样的规律？

薛定谔方程是量子力学的基本方程，在量子力学中的地位就相当于经典力学中牛顿方程的地位。薛定谔方程的诞生：德布罗意论文寄送到维也纳大学，德拜命中年讲师薛定谔解读论文德拜:“既然是波，总应该有一个波动方程”瑞士联邦工业大学物理讨论会（1926）德拜薛定谔再读，凑出来薛定谔方程

通篇物质波，物质波到底是什么？无解，无奈，退而求其次微观粒子状态随时间变化的动力学方程薛定谔方程满足的几个条件：（1）时间一阶导（确定的坐标或动量）（3）方程是普遍适用的（系数不包括状态参量）（2）方程是线性的（态叠加原理）§

12.6.1含时薛定谔方程满足以上几个条件，由自由粒子的运动方程，引出普遍的波动方程设粒子沿x方向运动,波函数为对x求二阶偏导对t求一阶偏导（1）（2）1.以自由粒子为例操作即算符方程（2）表示波函数随时间的演化，但方程中含有状态量E，不能算是波动方程，必须借助动量算符，得到哈密顿算符的另一种表达形式讨论

通过引出自由粒子波动方程的过程可以看出，利用能量关系式E=p2/2m可以导出如下方程：即得自由粒子的薛定谔方程再做算符替换：称为能量算符称为动量算符推广到受限的粒子（势场中的粒子）2.一维势场中的薛定谔方程势场中粒子能量得一维势场中的薛定谔方程用算符代替物理量3.推广到三维势场中粒子引入拉普拉斯算符上式写成引入哈密顿算符可得一般形式的薛定谔方程

这就是薛定谔（1926）提出的描述微观粒子运动规律的非相对论的波动方程：狄拉克（1928）提出了相对论性的狄拉克方程，它们是量子力学的基本方程，二人分享了1933年诺贝尔物理学奖。将上式代入一般薛定谔方程并除以上式得势能函数U=U(r)不随时间变化,则波函数可以分离变量§

12.6.2定态薛定谔方程等式两边是相互无关的物理量，故应等于与r,t都无关的常数设此常数=E两个独立的方程：二阶微分方程一阶微分方程定态波函数先解相对简单的一阶微分方程得到时间部分的解时空合解：定态：能量确定，能量本征态，特殊态；概率密度与时间无关即在定态下概率分布不随时间改变，这正是定态这一名称的由来。概率：定态，能量确定态，能量本征态，所有物理量的平均值（概率平均）不随时间改变

算符作用到波函数上等于一个数乘这个波函数，则称这个波函数是该算符的本征函数，这个数值称为该算符的本征值，这个方程称为该算符的本征方程。定态薛定谔方程的意义：

对波函数进行某种运算或作用的符号称为算符。算符，本征值，本征函数定态薛定谔方程式也称为哈密顿算符的本征方程，或能量算符的本征方程。量子力学的建立经典物理（-1900年）德布洛意物质波海森伯矩阵力学薛定谔波动力学狄拉克量子力学

量子力学（1923-1927年）普朗克能量量子化爱因斯坦光量子论玻尔量子论旧量子论（1900-1913年）birthdayofquantummechanicsMaxPlanck(1858-1947)

NobelPrize191814December1900Planck(age42)suggeststhatradiationisquantizedE=hn

h=6.626x10-34J•s1897Thompson(age41)

NobelPrize1906

measurestheelectron"plumpudding"model1905Einstein(age26)proposesthephoton1911Rutherford(age40)infersthenucleusStatusofphysicsAlbertEinstein(1879-1955)

NobelPrize19211913,Bohr

(age28)constructsatheoryofatom1921BohrInstituteopenedinCopenhagen(Denmark)Itbecamealeadingcenterforquantumphysics(Pauli,Heisenberg,Dirac,…)

NielsBohr(1885-1962)

NobelPrize1922oldquantumtheory旧量子论matrixformulationofquantummechanicsWernerHeisenberg(1901-1976)NobelPrize1932

1925atGöttingen(Germany)M.Born(age43)W.Heisenberg(age23)P.Jordan(age22)

MaxBorn(1882-1970)NobelPrize1954

wavefunctionformulationofquantummechanicsErwinSchrödinger(1887-1961)NobelPrize1933

1923DeBroglie(age31)matterhaswavepropertiesLouisdeBroglie(1892-1987)

NobelPrize1929

1926Schrödinger(age39)Schrödingerequation1926ErwinSchrödingerinAustriaCarlEckert(age24)inAmericaProved:wavemechanics=matrixmechanics

(SchrödingerandHeisenbergtheoriesequivalentmathematically)

Schrödinger'swavemechanicseventuallybecamethemethodofchoice,becauseitislessabstractandeasiertounderstandthanHeisenberg'smatrixmechanicsNeumann(mathematician)inventedoperatortheoryLargelybecauseofhiswork(publishhisbookin1932),quantumphysicsandoperatortheorycanbeviewedastwoaspectsofthesamesubject.

wavemechanics=matrixmechanicsPaulDirac(1902-1984)NobelPrize19331925Pauli(age25)

PauliexclusionprincipleWolfgangPauli(1900-1958)NobelPrize1945

1928Dirac(age26)Diracequation(quantum+relativity)The5thSolvayConference

in1927HeldinBelgium,theconferencewasattendedbytheworld'smostnotablephysiciststodiscussthenewlyformulatedquantumtheory.M.CurieLorentzComptonSolvayBrillouinDebyAnumberofscientists,includingSchrödinger,deBroglie,andmostprominentlyEinstein,remainedunhappywiththestandardproba